FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2012. Veiledning: 20. - 23. november. Innleveringsfrist: Onsdag 28. november kl 14.

Øving 13

Oppgitt (for oppgavene 1 – 3): F = GMm/r^{2} U = −GMm/r Jordmassen: M = 5.974 · 10^{24} kg. Jordradien: R = 6378 km. G = 6.6742 · 10^{−11} Nm^{2}/kg^{2}. Trondheims breddegrad: 63^{∘}26’ nord (’ = minutter = 1/60 grad).

Oppgave 1: Pendelur ved sjøen og på fjellet

a) Hvordan varierer en pendels svingetid T med høyden over havet h?

b) Hvor mye vil et pendelur saktne seg i løpet av ei uke hvis du flytter det fra hytta ved sjøen (der uret går riktig) til hytta på fjellet 630 moh?

Oppgave 2: Satellitt i atmosfæren

En satellitt med masse m = 5000 kg går i sirkulær bane i høyde 8000 km over jordoverflaten. Den blir utsatt for atmosfærisk friksjon slik at banehøyden over tid reduseres til 650 km. Anta at banen til enhver tid er sirkulær. Finn for denne baneendringen forandringen i satellittens a) hastighet; b) kinetiske energi; c) potensielle energi; d) totale mekaniske energi.

Oppgave 3: Geostasjonær satellitt

En satellitt som alltid holder seg på samme plass over et fast sted på jorda kalles geostasjonær. Satellittens omløp må da følge jordas omløp. Geostasjonære satellitter brukes bl.a. til radio- og TV-kommunikasjon (“paraboler”).

a) I hvilken høyde over jordoverflaten må en geostasjonær satellitt befinne seg?

b) Hva er den største breddegrad på jorda hvor man kan ha fri sikt til satellitten? Husk at en geostasjonær satellitt må ligge rett over ekvator. Anta at horisonten er flat (dvs ingen fjell).

c) Hvilken vinkel over horisonten må en parabol i Trondheim peke for å peke rett mot satellitten?

Oppgave 4: Faseplott for endimensjonal harmonisk oscillator

Hvis vi tegner opp posisjon x og impuls p for en oscillator i samme diagram, får vi et såkalt faseplott. Generelt kaller man rommet med en akse for hver komponent av posisjon og impuls for et faserom, på engelsk phase space. Et punkt i faserommet representerer da oscillatorens mekaniske tilstand, gitt ved posisjon r og impuls p, eller, som her, i en dimensjon x og p. Hvis oscillatorens masse er m = 1, fjærkonstanten er k = 1 og amplituden er A = 1, blir ligningen for tilfellet uten demping

ẍ + x = 0,

med løsning

x(t) = sin t ; p(t) = cos t,

og kurven for (x, p) blir den blå (dvs den største) sirkelen i figuren til venstre. Den grønne sirkelen (den minste) viser (x, p) med amplitude A = 1/2. Figuren er laget i Matlab, med programmet xp_{−}eksempel.m, som er lagt ut under Dokumenter. Etter hvert som tiden går (variabelen tid i programmet), følger oscillatoren (evt massen eller partikkelen) den aktuelle kurven i faserommet, her med klokka, slik at ett omløp tar tiden lik en periode T. Her er T = 2π.

Hvis vi inkluderer en dempingskraft −bẋ, blir bevegelsesligningen

mẍ + bẋ + kx = 0.

Divisjon med m og innførsel av γ ≡ b/2m og ω_{0}^{2} ≡ k/m gir

ẍ + 2γẋ + ω_{0}^{2}x = 0.

Løsningen med underkritisk demping, γ < ω_{0}, er

x(t) = Ae^{−γt} sin ωt,

der ω ≡ \sqrt{ω_{0}^{2} − γ^{2}}. Løsningen med overkritisk demping, γ > ω_{0}, er

x(t) = Ae^{−γt} cosh αt,

der α ≡ \sqrt{γ^{2} − ω_{0}^{2}}. (I disse to uttrykkene for x(t) kan vi tenke oss at vi allerede har brukt en initialbetingelse til å fastlegge den ene integrasjonskonstanten. Vis gjerne, ved direkte innsetting, at disse uttrykkene for x(t) er løsninger av bevegelsesligningen.)

Oppgaven: Sett massen m = 1, regn ut oscillatorens impuls p = mẋ → ẋ, og legg til de nødvendige linjene i Matlab-programmet som lager faseplottene for de to tilfellene underkritisk og overkritisk demping. Velg selv tallverdier for A, γ og ω_{0}. For tilfellet med underkritisk demping kan du gjerne plotte kurven for to ulike verdier av amplituden A.

Noen svar:

1b : Ca et minutt.  2a : 2266 m/s  2c : -145 GJ
3a : 35868 km  3b : 81^{∘}19’  3c : 18^{∘}20’