FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2012. Veiledning: 4. - 7. september. Innleveringsfrist: Onsdag 12. september kl 14.

Øving 2

Oppgave 1: Sirkelbevegelse.

En partikkel utfører uniform sirkelbevegelse med konstant vinkelhastighet ω = v/r. (Som vektor: ω = ωẑ, dvs ut av planet, angitt med •, som en pil sett forfra.) Ved å betrakte figuren har vi da

r̂(t) = x̂ cos ωt + ŷsin ωt,
ϕ̂(t) = −x̂ sin ωt + ŷcos ωt.

a) Her har vi allerede antatt at ϕ(t) = ωt, dvs ϕ = 0 for t = 0. Hvordan blir uttrykkene for r̂(t) og ϕ̂(t) hvis vi velger ϕ(0) = π/2?

b) Vis at de tidsderiverte av disse enhetsvektorene blir

˙r̂ = ωϕ̂ ; ˙ ϕ̂ = −ωr̂.

(Tips: Start med uttrykkene for r̂ og ϕ̂ ovenfor.)

c) Vis deretter at

v = rωϕ̂ ; a = −rω^{2}r̂.

(Tips: Husk at r = rr̂.)

d) Vi har sammenhengen v = ω × r. Bruk dette til å vise at akselerasjonen kan uttrykkes som

a = ω × (ω × r)

når ω er konstant. (Her skal kryssproduktet inne i parentesen utføres først. Hva ville ellers skje?)

e) Vis at v og a i spm d er identiske med v og a i spm c. (Tips: Sett inn ω = ωẑ og r = rr̂ og regn ut kryssproduktene.)

Oppgave 2: Sykkelhopp.

En trial-kjører med hastighet v_{0} på ei startrampe ønsker å foreta et hopp opp til ei landingsrampe i avstand L fra startrampa. Landingsrampa ligger på sitt høyeste h over startrampa (se figur). Startrampa har helningsvinkel θ. Betrakt motorsyklisten som en punktpartikkel og se bort fra luftmotstand.

a) Velg origo øverst på startrampa og vis at syklistens bane derfra blir

z(x) = x tan θ − \frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2} cos^{2} θ} .

Bruk programmet sykkelhopp.m til å plotte banen for ulike hastigheter v_{0}, for et gitt ”rampe-oppsett” (dvs gitte verdier for L, h og θ).

b) For gitt L, h og θ, finn et uttrykk for den minste starthastigheten v_{0}^{min} som er nødvendig for et vellykket hopp. Sjekk at ditt uttrykk for v_{0}^{min} er konsistent med banene som du plottet i punkt a.

c) Vis at uansett hvor stor farten er, så må høydeforskjellen ikke overskride h_{max} = L tan θ.

d) Hvor stor er motorsyklistens akselerasjon når hun er på sitt høyeste punkt?

Oppgave 3: Pendel.

Ei kule (punktmasse) med masse m er festet til ei vektløs stang med lengde L. Stanga er festet i et punkt A som den kan bevege seg fritt om.

a) Kula trekkes ut til siden (i papirplanet) med en horisontal kraft F. Hvor stor må F være for å holde kula i ro ved vinkelen θ?

b) I stedet for å trekke med en kraft F lar vi systemet rotere om en vertikal akse gjennom opphengningspunktet A, med vinkelhastighet ω. Hvor stor vinkel θ danner stanga med vertikalaksen? Er denne løsningen riktig for alle verdier av ω? Tips: Kula har hastighet v = ωr (r = L sin θ) og sentripetalakselerasjon a = v^{2}/r.

c) Til slutt tenker vi oss at pendelen henger (uten å rotere!) i et fly som akselererer bortover rullebanen. Hva er akselerasjonen dersom θ = 30^{∘}? (Utfør eksperimentet neste gang du er ute og flyr!)

Oppgave 4: Flervalgsoppgaver.

Eksamen vil sannsynligvis inneholde noen flervalgsoppgaver. Til hvert spørsmål oppgir jeg da fire alternative svar, hvorav ett er riktig og tre er gale. Du velger ett av svarene og får poeng hvis det er riktig og null poeng hvis det er galt. Enkelt og greit. Her er noen eksempler.

a) En partikkel beveger seg i en sirkulær bane, med jevnt økende hastighet. Hvilken figur viser korrekt akselerasjon?

b) Et legeme beveger seg langs en rett linje (x) som vist i figuren til venstre. Hvilken figur viser best legemets akselerasjon a?

c) Figuren viser banen for fire prosjektiler som skytes ut under ulike vinkler, men med samme absoluttverdi av hastigheten. Hvilket prosjektil var lengst i lufta?

Ukens LaTeX-trening: • Produser de to ligningene til høyre for figuren i oppgave 1 samt ligningen i oppgave 2 i LaTeX.

• Produser følgende tekst i LaTeX:

For derivasjon med hensyn på tiden t brukes gjerne notasjonen

ẋ = \frac{dx}{dt} og ẍ = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}

som standard.