FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2012. Veiledning: 2. - 5. oktober. Innleveringsfrist: Onsdag 10. oktober kl 14.

Øving 6

Oppgave 1: β-decay

En atomkjerne med masse 3.90·10^{−25} kg ligger opprinnelig i ro og emitterer et elektron med impuls 9.22·10^{−21} kg m/s og et antinøytrino med impuls 5.33 · 10^{−21} kg m/s. De to emitterte partiklenes hastigheter står vinkelrett på hverandre. Hva blir atomkjernens impuls og hastighet? Angi både absoluttverdi og retning. (Velg selv notasjon (symboler) og et passende koordinatsystem; tegn figur.)

Oppgave 2: Kulekollisjoner

To kuler med masse m_{1} og m_{2} er hengt opp i samme punkt med tynne, vektløse snorer med lengde L. Kula med masse m_{1} trekkes ut til snora er horisontal og slippes. Den svinger nedover og treffer kula med masse m_{2} i et sentralt støt. Betrakt kulene som punktmasser slik at snorene er vertikale når kollisjonen skjer.

a) Hva er hastigheten v_{1} til kula med masse m_{1} og strekket S_{1} i snora som masse m_{1} henger i, like før støtet?

b) Anta at kulene er klebrige og kollisjonen fullstendig uelastisk. Hvor høyt kommer kulene etter kollisjonen?

c) Finn forholdet mellom mekanisk energi etter og før denne fullstendig uelastiske kollisjonen.

Anta heretter at kollisjonen er elastisk.

d) Finn uttrykk for hastighetene til kule 1 og kule 2 like etter kollisjonen.

e) Hva må masseforholdet m_{1}/m_{2} minst være for at kule 2 etter støtet skal svinge helt rundt, dvs nå topp-punktet med stram snor?

Oppgave 3: Matematisk pendel

Kule nr 2 i forrige oppgave vil, etter kollisjonen med kule nr 1, oppføre seg som en såkalt matematisk pendel. La oss erstatte snora med ei vektløs stang, slik at kula hele tiden følger sirkelbanen med radius L (og ikke går over i et skrått kast, jf øving 5, oppgave 1c). Vis at kulas bevegelse er bestemt ved ligningen

\frac{d^{2}α}{dt^{2}} + \frac{g}{L} sin α = 0.

Tips: N2 tangentielt til sirkelbanen, og sammenhengen mellom kulas hastighet og α.

Denne ligningen for vinkelen α kan, såvidt jeg vet, ikke løses analytisk. (Det er mulig å finne et analytisk uttrykk for svingeperioden T, men bare med betydelig strev.) Numerisk er det imidlertid ingen problemer. Den enkleste og mest intuitive numeriske måten å bestemme α(t) på er den såkalte Euler-metoden: N2 kan skrives på formen

dv = \frac{F}{m} dt.

Det betyr at hastigheten ved tidspunktet t+dt kan bestemmes dersom vi kjenner hastigheten ved tidspunktet t:

v(t + dt) = v(t) + dv = v(t) + \frac{F}{m} dt.

Med et endelig tidssteg Δt blir ligningen

v(t + Δt) = v(t) + Δv = v(t) + \frac{F (t)}{m} Δt

bare tilnærmet riktig, men formodentlig en riktig god tilnærmelse dersom Δt velges tilstrekkelig liten. Samme oppskrift kan vi bruke i neste omgang for å bestemme posisjonen, eller som her, vinkelen α(t). Vi har v = dl/dt = L dα/dt, dvs

dα = \frac{v}{L} dt,

og med endelig tidssteg gir dette

α(t + Δt) = α(t) + Δα = α(t) + \frac{v(t)}{L} Δt.

Hvis vi nå, som her, kjenner α(t = 0) og v(t = 0), for eksempel α(0) = 0 og v(0) = v_{0}, kan ligningene over brukes til å finne α(Δt) og v(Δt), deretter α(2Δt) og v(2Δt) osv. I vårt konkrete tilfelle er det tyngdens tangentialkomponent som bestemmer akselerasjonen, og dermed hastigheten tangentielt,

\frac{F}{m} = −g sin α.

I MATLAB-programmet pendel_{−}matematisk.m er denne oppskriften implementert. Kjør programmet med ulike verdier av starthastigheten v_{0} (dvs v(1) i programmet), les av tilhørende maksimalt vinkelutslag, og plott svingeperioden T som funksjon av α_{max}. Vis at mekanisk energi (pr masseenhet), E/m = (K +U)/m, er bevart, ved å regne den ut og plotte den som funksjon av t i programmet.

Oppgave 4: Sprettballer

To baller, begge med hull gjennom sentrum, kan gli friksjonsfritt nedover en stang. Den nederste ballen har masse M og den øverste har masse m. Ballene slippes, med null starthastighet, fra en høyde h over bakken. Alle kollisjoner er i denne oppgaven fullstendig elastiske og har neglisjerbar varighet.

a) Bestem ballenes hastighet v_{0} rett før den nederste ballen støter mot bakken. Hva er den nederste ballens hastighet rett etter støtet mot bakken? (Vi antar at støtet mot bakken er fullført før de to ballene kolliderer med hverandre.)

b) Som sagt, umiddelbart etter at nederste ball har fullført støtet mot bakken kolliderer de to ballene med hverandre. Bestem den øverste ballens hastighet v rett etter kollisjonen. Finn også ut hvor høyt, y, den vil sprette. Uttrykk v og y ved h og masseforholdet α = M/m. Hvor stor blir y i de to grensetilfellene M ≫ m og M ≪ m, samt spesialtilfellet M = m? (Evt: α ≫ 1, α ≪ 1 og α = 1.)

—————————

Diverse fasitsvar: 1b: 2.73 · 10^{4} m/s. 2a: S_{1} = 3m_{1}g; 2b: ((m_{1}/(m_{1} + m_{2}))^{2}L; 2c: m_{1}/(m_{1} + m_{2}); 2d: v_{1}(m_{1} − m_{2})/(m_{1} + m_{2}), 2v_{1}m_{1}/(m_{1} + m_{2}) (positive mot venstre); 2e: \sqrt{5}/(\sqrt{8} − \sqrt{5}). 4b: y = h · ((3α − 1)/(α + 1))^{2}.