FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2012. Veiledning: 9. - 12. oktober. Innleveringsfrist: Onsdag 17. oktober kl 14.

Øving 7

Oppgave 1: Tyngdepunkt

a) En tynn, jevntykk bøyle er en del av en sirkel og har sektorvinkel 2α, som vist i figuren. Sirkelradien er R. Vis at tyngdepunktet er

X = R \frac{sin α}{α}.

Hva blir resultatet for α = π og α → 0? Er svarene rimelige?

b) Bøylen erstattes av en sirkelsektor (dvs ei tynn, jevntykk skive) med samme åpningsvinkel 2α og radius R. Vis at tyngdepunktet er

X = \frac{2}{3}R \frac{sin α}{α}.

Hva blir resultatet for α = π og α → 0? Er svarene rimelige?

Oppgave 2: Lenke over kanten av et bord

En lenke med mange små ledd henger utover en bordkant. Lenkens totale lengde er L, massen er m, og en lengde y henger til enhver tid utenfor bordkanten. Lenken holdes initielt i ro med en lengde y = c utenfor bordkanten. Så slippes lenken slik at den begynner å gli, med økende hastighet v(y). Antall ledd er mye større enn antydet i figuren, slik at lenken kan betraktes som kontinuerlig. Vi antar at det ikke er friksjon mellom lenken og den horisontale bordflaten. Bestem hastigheten v(L) til lenken idet siste ledd glir over bordkanten. Tips: Differensialligning i v og y fra N2, med v̇ = v·dv/dy. Alternativ: Energibevarelse. Sistnevnte metode er nok enklest, men prøv gjerne begge to.

Oppgave 3: Saturn V, trinn 1

Rakett-typen som blant annet sørget for å bringe Apollo 11 fra jorda til månen i juli 1969 kalles Saturn V. I det første av i alt tre rakett-trinn ble 13.2 tonn drivstoff forbrent pr sekund og blåst ut bakover med en hastighet 2.58 km/s relativt raketten. Etter 2.5 minutter var alt drivstoff i trinn 1 brukt opp. Oppskytingen startet med raketten i ro på bakken, der tyngdens akselerasjon er g = 9.81 m/s^{2}. Total masse før avreise var 3.04 · 10^{6} kg. a) Bruk ”rakettligningen” (utledet i forelesningene)

ma = F_{ytre} + F_{skyv}

til å vise at rakettens hastighet etter en tid t blir

v(t) = u ln \frac{m_{0}}{m} − gt.

Her er m_{0} startmassen, mens m = m(t) er gjenværende masse ved tidspunktet t. Vi har valgt positiv retning oppover, slik at ytre kraft på raketten er −mg. Skyvkraften er uβ, der u er eksosens hastighet relativt raketten og β = −dm/dt angir forbrent masse pr tidsenhet. Her er både u og β definert som positive størrelser, og vi antar at de begge er konstante, som antydet innledningsvis.

b) Hvor stor må skyvkraften minst være for at raketten i det hele tatt skal ta av fra bakken? Sjekk at dette var tilfelle for Saturn V. Regn ut drivstoffmassen m_{d} ved avreise, t = 0, og rakettens sluttmasse m_{f} ved tidspunktet t_{f}, dvs idet alt drivstoff er brukt opp.

c) Vis at rakettens akselerasjon kan skrives som

a(t) = \frac{uβ}{m_{0} − βt} − g.

Bestem akselerasjonen ved t = 0. Bestem også akselerasjon og hastighet ved slutten av trinn 1, dvs ved t = t_{f}.

d) Det oppgis at dersom |x| ≪ 1, er det en god tilnærmelse å erstatte brøken 1/(1 − x) med polynomet 1 + x. (Prøv for eksempel med x = 0.01.) Bruk Rottmann til å verifisere at 1/(1 − x) ≃ 1 + x når |x| ≪ 1. Bruk deretter denne opplysningen til å vise at

a_{lin}(t) = a(0) + \frac{uβ^{2}}{m_{0}^{2}} t

er en god tilnærmelse for a(t) så lenge t ≪ m_{0}/β. Ta utgangspunkt i Matlab-programmet rakett.m og modifiser linjene 25 og 48 slik at du får plottet a(t) og a_{lin}(t) i samme figur, for 0 < t < t_{f}. Anslå på øyemål ved hvilket tidspunkt a_{lin}(t) begynner å bli en ”mindre god” tilnærmelse for a(t). Modifiser videre linje 27 slik at du får plottet v(t) i en annen figur. (For innlevering, lagre figurene i pdf-format og send som vedlegg pr epost til din studass.)

e) (Utfordring?) Hvor høyt, h_{f}, kommer raketten i løpet av dette første oppskytingstrinnet? Raketten trekkes mot jorda med gravitasjonskraften

F_{G} = \frac{GMm}{r^{2}},

der G er gravitasjonskonstanten, M er jordmassen, m er rakettmassen og r er avstanden mellom raketten og jordas sentrum. Anta at jorda er kuleformet med radius R = 6.37 · 10^{3} km. Hvis du har regnet riktig, har du kommet fram til at h_{f} er i underkant av 60 km. Bruk disse verdiene til å anslå hvor stor feil du har gjort underveis i dine regninger ved å bruke den konstante verdien 9.81 m/s^{2} for tyngdens akselerasjon.

—————————

Noen fasitsvar:

2: v(L) = \sqrt{g(L^{2} − c^{2})/L} 3b: 29.8 MN, 1.98 · 10^{6} kg, 1.06 · 10^{6} kg

3c: 1.39 m/s^{2}, 22.3 m/s^{2}, 1.25 km/s 3e: 58.4 km, feilen i g(h_{f}) er ca 2 %