TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2014. Løsningsforslag til øving 7.

Oppgave 1

a) Vi antar at Hookes lov, F = −kx, gjelder for fjæra. Newtons andre lov gir da

−kx = m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}

eller

ẍ + ω_{0}^{2}x = 0

med ω_{0}^{2} = k/m. Ligningen har løsning x(t) = A cos(ω_{0}t + ϕ), som gitt i oppgaveteksten. Klossen svinger altså med vinkelfrekvens ω = \sqrt{k/m}, og dermed med periode T = 2π/ω_{0} = 2π\sqrt{m/k}. Riktig svar: C.

b) og c) Amplituden A og fasekonstanten ϕ fastlegger vi ved å bruke de oppgitte initialbetingelsene x(0) = x_{0} og v(0) = ẋ(0) = v_{0}. Vi har

v(t) = ẋ(t) = −ω_{0}A sin(ω_{0}t + ϕ)

slik at

x_{0} = A cos ϕ

og

v_{0} = −ω_{0}A sin ϕ

Herfra er det flere mulige veier å gå. Vi kan for eksempel dele disse to ligningene med hverandre, som gir

ϕ = − arctan \frac{v_{0}}{x_{0}ω_{0}}

og

A = \frac{x_{0}}{cos arctan v_{0}/x_{0}ω_{0}} .

Alternativt kan vi kvadrere de to ligningene og legge dem sammen:

1 = sin^{2} ϕ + cos^{2} ϕ = \frac{v_{0}^{2}}{ω_{0}^{2}A^{2}} + \frac{x_{0}^{2}}{A^{2}}

som gir

A = \sqrt{x_{0}^{2} + (v_{0}/ω_{0})^{2}} = x_{0}\sqrt{1 + mv_{0}^{2}/kx_{0}^{2}}

og deretter

ϕ = arccos \frac{x_{0}}{A} = arccos \frac{1}{\sqrt{1 + mv_{0}^{2}/kx_{0}^{2}}} .

Altså er både A og B riktige svar på oppgavene b) og c), dvs C er riktig svar.

d) Siden vi ikke har noe demping i systemet, er den totale energien E bevart. (Dvs: Vi har et konservativt system.) Da kan vi beregne energien ved et hvilket som helst tidspunkt, for eksempel ved maksimalt utsving, der x = x_{max} = A og v = 0:

E = E_{p}^{max} = \frac{1}{2}kA^{2} = \frac{1}{2}k (x_{0}^{2} + mv_{0}^{2}/k) = \frac{1}{2}kx_{0}^{2} + \frac{1}{2}mv_{0}^{2}

Dette gjenkjenner vi som summen av potensiell og kinetisk energi ved t = 0, E_{p0} + E_{k0}, hvilket jo også må tilsvare den totale energien. Riktig svar: C. e) Skriver vi løsningen på formen x(t) = B cos ω_{0}t + C sin ω_{0}t, har vi

ẋ(t) = −ω_{0}B sin ω_{0}t + ω_{0}C cos ω_{0}t

og dermed, ved hjelp av x(0) = x_{0} og ẋ(0) = v_{0},

B = x_{0} og C = v_{0}/ω_{0}

Riktig svar: B.

f) Maksimalt utsving:

x_{max} = A = x_{0}\sqrt{1 + mv_{0}^{2}/kx_{0}^{2}} = x_{0}\sqrt{1 + E_{k0}/E_{p0}}

Maksimal hastighet:

v_{max} = ω_{0}A = \sqrt{\frac{k}{m} (x_{0}^{2} + mv_{0}^{2}/k)} = v_{0}\sqrt{1 + kx_{0}^{2}/mv_{0}^{2}} = v_{0}\sqrt{1 + E_{p0}/E_{k0}}

Med oppgitte tallverdier:

E_{p0} = 0.5 · 10 · 0.010^{2} = \frac{1}{2000} , E_{k0} = 0.5 · 0.100 · 0.10^{2} = \frac{1}{2000}

begge i enheten J, ettersom vi kun har brukt SI–enheter underveis. Følgelig er x_{max} = \sqrt{2}x_{0} ≃ 1.4 cm og v_{max} = \sqrt{2}v_{0} ≃ 14 cm/s. Riktig svar: A.

g) Bevegelsesligning for klossen:

mÿ = −ky + mg

Her har vi valgt positiv y-retning nedover. Uten tyngdefelt til stede (g = 0) er klossens likevektsposisjon y = 0. I tyngdefeltet bestemmes den nye likevektsposisjonen Δy ved å sette total kraft lik null, følgelig

−kΔy + mg = 0
Δy = mg/k

Med ny posisjonsvariabel

z = y − Δy

får vi bevegelsesligningen

mz̈ = −k(z + Δy) + mg = −kz

som betyr at klossen vil svinge harmonisk med vinkelfrekvens ω_{0} = \sqrt{k/m} omkring likevektsposisjonen z = 0, dvs y = Δy = mg/k. (Med tallverdiene fra oppgave 1 har vi Δx = 0.100 · 9.8/10 = 9.8 cm.) Riktig svar: A.

h) Fra figuren ser vi f.eks. at x(0) = 1 og x(5T) = 0.5, der T er svingningens periode. Dermed:

e^{−5T/τ} = e^{−5·2π/ωτ} = 0.5
⇒ \frac{10π}{ωτ} = ln 2
⇒ ωτ = 45

Riktig svar: D. i) Med utsving x fra likevektsstilling er kraften på massen m de to fjærkreftene −k_{1}x og −k_{2}x. N2 gir svingeligningen

−k_{1}x − k_{2}x = mẍ  ⇒  ẍ + (\frac{k_{1}}{m} + \frac{k_{1}}{m} ) x = 0 .

Sammenligning med ”standardligningen” ẍ + ω^{2}x = 0 gir at svingefrekvensen ω er gitt av

ω^{2} = \frac{k_{1}}{m} + \frac{k_{2}}{m} = ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}, alts \underline{ω = \sqrt{ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}}} .

Sammenligning med ẍ + \frac{k}{m}x = 0 viser også at effektiv fjærstivhet for parallellkoblede fjærer er k = k_{1} + k_{2}. Riktig svar: C.

j) Når m forskyves x mot høyre, strekkes fjærene x_{1} og x_{2}, og slik at x_{1} og x_{2} er forskjellige dersom k_{1} ≠ k_{2}. Kraften F på massen m forplanter seg gjennom begge fjærene med samme strekk (N3 og masseløse fjærer). Dermed er F = −k_{1}x_{1} = −k_{2}x_{2}, som gir x = x_{1} + x_{2} = − (1/k_{1} + 1/k_{2}) F. Dermed er kraften som virker på klossen lik

F = −\frac{1}{1/k_{1} + 1/k_{2}} x = −\frac{k_{1}k_{2}}{k_{1} + k_{2}} x

og N2 gir

−\frac{k_{1}k_{2}}{k_{1} + k_{2}} x = mẍ  ⇒  ẍ + \frac{k_{1}k_{2}}{(k_{1} + k_{2})m}x = 0 .

Sammenligning med ẍ + ω^{2}x = 0 gir at svingefrekvensen ω er gitt av

\frac{1}{ω^{2}} = \frac{(k_{1} + k_{2})m}{k_{1}k_{2}} = \frac{1}{ω_{2}^{2}} + \frac{1}{ω_{1}^{2}} = \frac{ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}}{ω_{1}^{2}ω_{2}^{2}} , alts \underline{ω = \frac{ω_{1}ω_{2}}{\sqrt{ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}}}} .

Sammenligning med ẍ+ \frac{k}{m}x = 0 viser også at effektiv fjærstivhet for seriekoblede fjærer er k = \frac{k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}} . Riktig svar: B.

k) Med utsving x fra likevektsstilling vil høyre fjær k_{2} presses sammen x og gi en kraft −k_{2}x mot venstre på massen. Venstre fjær vil strekkes x og gi en kraft −k_{1}x mot venstre. Kreftene er altså de samme som i a), og \underline{ω = \sqrt{ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}}}. Riktig svar: C.

Oppgave 2

Forslag til fungerende program er pendel_los.m. Vi kjører dette programmet (med g = 9.81 m/s^{2} og L = 1 m) for verdier av v_{0} = v(1) lik f.eks 1.0 (A; lite utsving), 6.2641 (B; svinger nesten opp til toppen) og 6.5 m/s (C; svinger rundt og rundt). Vi ser da at svingningen blir harmonisk i det første tilfellet, at svingeperioden blir lang og at svingningen blir langt fra harmonisk i det andre tilfellet, og endelig at vinkelen bare øker monotont i det tredje tilfellet. En enda større v_{0} ville ha gitt en bortimot lineær funksjon av tiden t. Mekanisk energi pr masseenhet er

\frac{E}{m} = \frac{1}{2}v^{2} + gL(1 − cos θ).

Plotting av denne størrelsen (D) viser at den er konstant.

Plotting av svingeperioden T som funksjon av v_{0} viser at denne er praktisk talt konstant, og omtrent lik 2 s, så lenge maksimalt vinkelutslag θ_{max} er lite. Når θ_{max} blir større, ser vi at T begynner å avvike fra denne verdien: