Institutt for fysikk, NTNU FY1013 Elektrisitet og magnetisme II Høst 2005

Lynkurs i kvantemekanikk, med anvendelser i faststoff-fysikk.

Schrödingerligningen

I et system der kreftene som virker er konservative, er total energi E bevart. I klassisk mekanikk uttrykkes dette ved

T + U = E

der

T = kinetisk energi = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{p^{2}}{2m}
(p = mv = impuls (bevegelsesmengde))
U = potensiell energi
E = total energi

Overgangen til en kvantemekanisk beskrivelse gjøres ved at

1. impulsen p erstattes med en ”operator”:

p → −ih̄∇

der

i = \sqrt{−1}
h̄ = \frac{h}{2π} = 1.05 · 10^{−34} Js (Planck′s konstant)
∇ = x̂\frac{∂}{∂x} + ŷ\frac{∂}{∂y} + ẑ\frac{∂}{∂z}

Dermed blir også kinetisk energi en operator:

T = \frac{p^{2}}{2m} → −\frac{h̄^{2}}{2m}∇^{2}

2. ligningen som beskriver energibevarelse erstattes av en differensialligning:

−\frac{h̄^{2}}{2m}∇^{2}ψ(r) + U(r)ψ(r) = Eψ(r),

ψ(x) = e^{ikx}

Ĥ = −\frac{h̄^{2}}{2m}∇^{2} + U(r)

Faste stoffer (krystaller): Energibånd. Halvledere.