Institutt for fysikk, NTNU FY1013 Elektrisitet og magnetisme II Høst 2005

Løsningsforslag til øving 2

Veiledning mandag 5. og onsdag 7. september

Oppgave 1

a) Ettersom bølgefunksjonen her bare avhenger av x, har vi

∇^{2}ψ(x) = \frac{d^{2}ψ}{dx^{2}}

slik at Schrödingerligningen blir

−\frac{h̄^{2}}{2m} \frac{d^{2}ψ}{dx^{2}} = Eψ(x)

To ganger derivasjon av den oppgitte planbølgeløsningen gir

\frac{d^{2}}{dx^{2}} e^{ikx} = (ik)^{2}e^{ikx} = −k^{2}e^{ikx}

Dermed:

\frac{h̄^{2}k^{2}}{2m} ψ(x) = Eψ(x)

og vi ser at den plane bølgen oppfyller ligningen. Vi ser også at energien E er gitt ved bølgetallet k:

E(k) = \frac{h̄^{2}k^{2}}{2m}

b) I punkt a viste vi at plane bølger er egenfunksjoner til Hamiltonoperatoren Ĥ for et fritt elektron,

Ĥ = −\frac{h̄^{2}}{2m} \frac{d^{2}}{dx^{2}}

dvs med potensiell energi U = 0. Tilhørende egenverdier E ble bestemt av ligningen

Ĥψ = Eψ

og tilsvarer energien til et slik elektron. På tilsvarende måte kan vi vise at slike plane bølger også er egenfunksjoner for impulsoperatoren

p̂ = −ih̄∇

med andre ord, at de oppfyller ligningen

−ih̄\frac{d}{dx}ψ(x) = pψ(x)

Tilhørende egenverdi p tilsvarer da impulsen til elektronet. Innsetting gir:

−ih̄\frac{d}{dx}e^{ikx} = −ih̄(ik)e^{ikx} = h̄ke^{ikx}

Konklusjon: Planbølgeløsningen er også egenfunksjon til impulsoperatoren, med egenverdi p = h̄k. Dermed kan vi skrive

E = \frac{h̄^{2}k^{2}}{2m} = \frac{p^{2}}{2m}

som vi gjenkjenner fra klassisk mekanikk.

c) Som i punkt a deriverer vi den oppgitte løsningen to ganger:

\frac{d^{2}}{dx^{2}} (A sin kx + B cos kx) = −k^{2} (A sin kx + B cos kx)

slik at

\frac{h̄^{2}k^{2}}{2m} ψ(x) = Eψ(x)

dvs

E(k) = \frac{h̄^{2}k^{2}}{2m}

som for fri partikkel. Men nå kan vi ikke ha hvilke som helst verdier for k og E. Vi bruker først grensebetingelsen ψ(0) = 0 og får

A sin 0 + B cos 0 = 0

dvs

B = 0

Mulige løsninger er med andre ord rene sinus-funksjoner:

ψ(x) = A sin kx

Grensebetingelsen ψ(L) = 0 gir oss de mulige k-verdiene:

A sin kL = 0

dvs

k = \frac{nπ}{L}

der n = 1, 2, 3, . . .. Merk at vi ikke kan ha A = 0 eller n = 0, for da forsvinner hele bølgefunksjonen overalt. De tillatte energiverdiene er:

E_{n} = \frac{h̄^{2}n^{2}π^{2}}{2mL^{2}}

Med L = 5 Å = 5 · 10^{−10} m har vi, dersom partikkelen er et elektron,

E_{n} ≃ 2.4 · 10^{−19} n^{2} J = 1.5 n^{2} eV

Skisse av de tre tilstandene med lavest energi, med tilhørende energinivåer:

I forelesningene nevnte vi Coulombpotensialet, der energinivåene også var bestemt ved en heltallig indeks n. I det tilfellet var E_{n} proporsjonal med −1/n^{2}, for partikkel i boks har vi E_{n} ∼ n^{2}. Et tredje eksempel er den såkalte ”harmoniske oscillator”, U(x) ∼ x^{2}. Da blir energinivåene ekvidistante, dvs E_{n} ∼ n.

Oppgave 2

a) Dersom konduktiviteten er proporsjonal med tettheten av mobile ladninger, må vi øke ladningstettheten med en faktor 10^{7} for å oppnå en tilsvarende økning i konduktiviteten. Det betyr at ladningstettheten må økes fra 1.45 · 10^{10} pr cm^{3} til 1.45 · 10^{17} pr cm^{3}, som dermed blir antall fosforatomer som må tilføres. [Egentlig differansen mellom disse to tallene, men 1.45 · 10^{10} er jo tilnærmet lik null i forhold til 1.45 · 10^{17}.]

b) I silisium har vi 5 · 10^{22} atomer pr cm^{3}. Brøkdelen atomer som erstattes av fosfor er dermed

\frac{n_{P}}{n_{Si}} = \frac{1.45 · 10^{17}}{5 · 10^{22}} = 2.9 · 10^{−6}

Altså tilstrekkelig å bytte ut ett av ca 350000 Si-atomer med fosfor for å øke konduktiviteten med en faktor 10^{7}!