Institutt for fysikk, NTNU FY1013 Elektrisitet og magnetisme II Høst 2005

Øving 2

Veiledning: Mandag 5. og onsdag 7. september Innleveringsfrist: Fredag 9. september

Oppgave 1

Som nevnt i forelesningene, er det bare for noen enkle systemer at Schrödingerligningen,

−\frac{h̄^{2}}{2m}∇^{2}ψ(r) + U(r)ψ(r) = Eψ(r),

lar seg løse eksakt. I denne oppgaven skal vi se på det enkleste systemet vi kan tenke oss, nemlig et fritt elektron (med masse m) som beveger seg i en bestemt retning. At elektronet er fritt betyr rett og slett at det ikke påvirkes av noe som helst, dvs U = 0. Videre velger vi koordinater slik at bevegelsen er i positiv x-retning.

a) Skriv ned Schrödingerligningen for det frie elektronet, og vis ved direkte innsetting at plane bølger

ψ(x) = e^{ikx}

er løsning av ligningen. Hva blir elektronets energi E(k) for en slik plan bølge med bølgetall k (og dermed bølgelengde λ = 2π/k)?

b) Når en bølgefunksjon ψ(r) er løsning av Schrödingerligningen, sier vi gjerne at ψ(r) er en egenfunksjon til ”energioperatoren”

Ĥ = −\frac{h̄^{2}}{2m}∇^{2} + U(r)

med tilhørende egenverdi E. (Ĥ fordi energioperatoren ofte kalles Hamiltonoperatoren). I oppgave a har du altså vist at for frie elektroner er plane bølger egenfunksjoner for energioperatoren, med egenverdier E(k). Vis at plane bølger også er egenfunksjoner for impulsoperatoren p̂, som i en dimensjon reduserer seg til −ih̄d/dx. Bestem tilhørende egenverdi for impulsen. Kontroller at sammenhengen mellom E og p er den samme som du kjenner fra klassisk mekanikk.

c) Problemet ”fri partikkel” (dvs U = 0 overalt) er kanskje litt i enkleste laget: Vi fikk for eksempel ikke kvantiserte energinivåer, ettersom bølgetallet k kunne ha hvilken som helst verdi. La oss derfor se på den enkleste modellen som gir diskrete energinivåer, nemlig partikkel i boks. Vi ser fortsatt kun på bevegelse i en dimensjon (så vi bør kanskje heller kalle det ”partikkel på linje”), men antar nå at partikkelen ikke kan bevege seg utenfor intervallet mellom x = 0 og x = L. Med andre ord, U(x) = 0 når 0 < x < L, og U(x) = ∞ ellers.

Bølgefunksjonen ψ(x) er, på intervallet 0 < x < L, på formen

ψ(x) = A sin kx + B cos kx

med (inntil videre) ubestemte konstanter A og B. Vis dette ved å sette ψ(x) inn i Schrödingerligningen. I kvantemekanikken forlanger vi at bølgefunksjonen skal være kontinuerlig overalt, slik at ”sannsynlighetstettheten” |ψ|^{2} er en kontinuerlig størrelse. Følgelig må vi her ha ψ(x = 0) = ψ(x = L) = 0. Bruk disse to betingelsene til å fastlegge verdien av konstanten B, samt å bestemme de mulige verdiene for bølgetallet k, og dermed energien E. [Konstanten A kan bestemmes ved å forlange at sannsynligheten er lik 1 for at partikkelen befinner seg på intervallet (0, L), dvs ∫_{0}^{L} |ψ(x)|^{2} dx = 1. Det gjør du bare hvis du har veldig lyst!] Bestem tallverdier for E i enheten eV når partikkelen er et elektron, og L = 5 Å. Skisser bølgefunksjonene for de tre tilstandene som har lavest energi.

Oppgitt: m = 9.11 · 10^{−31} kg, h̄ = 1.05 · 10^{−34} Js

Oppgave 2

I en perfekt krystall av halvledermaterialet silisium vil, ved romtemperatur, bare en liten andel av valenselektronene være mobile og bidra til den elektriske ledningsevnen. Tettheten av mobile elektroner vil være n_{i} = 1.45 · 10^{10} pr cm^{3} (der indeks i står for intrinsikk, som er en vanlig betegnelse på en ren, perfekt halvleder). Til sammenligning er tettheten av Si-atomer ca 5 · 10^{22} pr cm^{3}. Tettheten av mobile ladninger kan økes betraktelig ved såkalt doping, dvs ved å erstatte en andel av Si-atomene med andre atomer. En kan f.eks. benytte fosfor (P), og ved romtemperatur vil praktisk talt hvert eneste P-atom bidra med ett mobilt elektron og derved øke den elektriske ledningsevnen.

a) Den elektriske ledningsevnen (konduktiviteten) til ren silisium er σ_{i} = 4 · 10^{−4} Ω^{−1}m^{−1} (ved “normale” forhold, dvs romtemperatur og atmosfærisk trykk). Under forutsetning av at konduktiviteten σ er proporsjonal med tettheten av mobile ladningsbærere n, hvor mange fosforatomer må vi tilføre (pr cm^{3}) for å øke konduktiviteten med 7 størrelsesordener, dvs til en verdi σ = 4 · 10^{3} Ω^{−1}m^{−1}?

[Kommentar: I virkeligheten vil ikke σ øke lineært med tettheten av mobile ladningsbærere når disse tilføres ved hjelp av doping, som her. Grunnen er at jo flere fosforatomer vi introduserer i silisiumkrystallen, desto oftere vil de mobile elektronene kollidere på sin vei gjennom materialet, noe som igjen resulterer i en redusert driftshastighet og tilsvarende redusert strømstyrke. I denne oppgaven ser du bort fra denne effekten og antar lineær sammenheng mellom σ og n.]

b) Dopingen i punkt a) tilsvarer at en viss brøkdel av silisiumatomene er erstattet med fosfor. Hvor stor er denne brøkdelen?