Institutt for fysikk, NTNU FY1013 Elektrisitet og magnetisme II Høst 2005

Løsningsforslag til øving 3

Veiledning mandag 12. og onsdag 14. september

Oppgave om pn-overgang

a) Vi må ha like mye negativ ladning i området [−x_{p}, 0] som positiv ladning i området [0, x_{n}]. Dermed:

x_{p}N_{A} = x_{n}N_{D} ⇒ x_{p} = x_{n} \frac{N_{D}}{N_{A}}

Sperresonens utstrekning blir

W = x_{n} + x_{p} = x_{n} (1 + \frac{N_{D}}{N_{A}} )

b) Utledning av Poissons ligning: Gauss’ lov for E, på differensialform:

∇ · E = \frac{ρ}{ε}

Her er ρ fri ladning pr volumenhet, og ε er mediets permittivitet. Sammenhengen mellom felt og potensial:

E = −∇V

som innsatt i Gauss’ lov gir

∇^{2}V = −\frac{ρ}{ε}

For å bestemme E(x) og V (x) integrerer vi Poissons ligning henholdsvis en og to ganger. La oss begynne utenfor sperresonen. Her er ρ = 0 slik at

E(x) = −\frac{dV}{dx} = E_{±} = 0

Det konstante elektriske feltet E_{+} (evt E_{−}) på n-siden (evt p-siden) må være lik null. I motsatt fall ville potensialforskjellen mellom høyre og venstre side bare vokse og vokse jo lenger unna sperresonen vi kommer, hvilket ikke kan stemme. (Legg merke til at vi kan betrakte sperresonen som en slags platekondensator.) Potensialet finner vi ved å integrere en gang til:

V (x) = V_{±}

Forskjellen mellom potensialet på n-siden, V_{+}, og p-siden, V_{−} er nettopp det vi har kalt det innebygde potensialet:

ΔV = V_{+} − V_{−}

Deretter ser vi på forholdene inne i sperresonen. Først området [−x_{p}, 0]:

\frac{d^{2}V}{dx^{2}} = \frac{eN_{A}}{ε}
⇒ E(x) = −\frac{dV}{dx} = −\frac{eN_{A}}{ε} x + E_{0}
⇒ V (x) = \frac{eN_{A}}{2ε} x^{2} − E_{0}x + V_{0}

Og dernest området [0, x_{n}]:

\frac{d^{2}V}{dx^{2}} = −\frac{eN_{D}}{ε}
⇒ E(x) = −\frac{dV}{dx} = \frac{eN_{D}}{ε} x + E_{0}
⇒ V (x) = −\frac{eN_{D}}{2ε} x^{2} − E_{0}x + V_{0}

Vi må få den samme integrasjonskonstanten E_{0} = E(x = 0) i de to tilfellene ettersom det elektriske feltet skal være kontinuerlig overalt. E_{0} kan fastlegges ved å benytte at E(x_{n}) = 0:

0 = \frac{eN_{D}}{ε} x_{n} + E_{0} ⇒ E_{0} = −\frac{eN_{D}}{ε} x_{n}

(Bruk av E(−x_{p}) = 0 vil gi akkurat det samme.) Kontinuitet av V (x) ved x_{n} og −x_{p} gjør oss i stand til å bestemme henholdsvis V_{+} og V_{−}:

V_{+} = V (x_{n}) = −\frac{eN_{D}}{2ε} x_{n}^{2} + \frac{eN_{D}}{ε} x_{n}^{2} + V_{0}
= \frac{eN_{D}}{2ε} x_{n}^{2} + V_{0}

V_{−} = V (−x_{p}) = \frac{eN_{A}}{2ε} x_{p}^{2} − \frac{eN_{D}}{ε} x_{n}x_{p} + V_{0}
= \frac{eN_{A}}{2ε} (\frac{N_{D}}{N_{A}} )^{2} x_{n}^{2} − \frac{eN_{D}}{ε} \frac{N_{D}}{N_{A}} x_{n}^{2} + V_{0}
= −\frac{eN_{D}}{2ε} x_{n}^{2} \frac{N_{D}}{N_{A}} + V_{0}

Den gjenværende integrasjonskonstanten V_{0} gjenspeiler vår frihet til å velge nullpunkt for potensialet etter eget forgodtbefinnende. Det innebygde potensialet kan nå uttrykkes på formen

ΔV = V_{+} − V_{−} = \frac{eN_{D}}{2ε} x_{n}^{2} (1 + \frac{N_{D}}{N_{A}} )

c) Innsetting av tallverdier N_{D} = 10^{23} m^{−3}, N_{A} = 10^{22} m^{−3} og x_{n} = 3 · 10^{−8} m gir

ΔV = \frac{1.6 · 10^{−19} · 10^{23} · 9 · 10^{−16}}{2 · 11.8 · 8.85 · 10^{−12}} · (1 + 10) ≃ 0.758

dvs 758 mV. Det elektriske feltet E(x) er lineært avhengig av x gjennom hele sperresonen. Feltet har sin maksimale verdi (dvs absoluttverdi) E_{max} i x = 0, mens E = 0 i x = −x_{p} og i x = x_{n}. Det betyr at det innebygde potensialet ΔV, som tilsvarer arealet under kurven E(x), må kunne skrives som

ΔV = \frac{1}{2}W E_{max}

Dermed er

E_{max} = \frac{2ΔV}{W} = \frac{2 · 0.758}{3.3 · 10^{−7}} ≃ 4.6 · 10^{6} V/m

(Egentlig med et minustegn; med positiv ladning til høyre og negativ ladning til venstre må jo det elektriske feltet peke mot venstre, dvs i negativ x-retning.)

Skisse av elektrisk felt E(x) og potensial V (x) gjennom sperresonen: