Institutt for fysikk, NTNU FY1013 Elektrisitet og magnetisme II Høst 2005

Øving 3

Veiledning: Mandag 12. og onsdag 14. september Innleveringsfrist: Fredag 16. september

pn-overgang (diode): elektrostatiske forhold i nærheten av grenseflaten

Benytt anledningen til å friske opp kunnskapene i elektrostatikk!

Innledning: En pn-overgang har en uniform fordeling av N_{A} akseptoratomer pr volumenhet på p-siden og N_{D} donoratomer pr volumenhet på n-siden. Vi antar at alle akseptorer og donorer er ionisert, dvs at alle donorer har bidratt med 1 elektron til ledningsbåndet og at alle akseptorer har bidratt med 1 hull til valensbåndet til halvlederkrystallen. Vi antar videre at både N_{A} og N_{D} er mye større enn halvlederens intrinsikke konsentrasjon n_{i} = p_{i} av hhv elektroner og hull (dvs den konsentrasjonen av elektroner og hull som vi ville ha hatt i en helt ren halvleder av samme type). Langt unna grenseflaten har vi derfor n = N_{D} ≫ p på n-siden og p = N_{A} ≫ n på p-siden. I et tynt sjikt på begge sider av grenseflaten, i den såkalte sperresonen, dvs i området [−x_{p}, x_{n}], blir både hull- (p) og elektronkonsentrasjonen (n) neglisjerbar i forhold til N_{A} og N_{D}. Dette kan vi forstå på følgende måte: I det vi setter de to halvdelene sammen, har vi ved grenseflaten at konsentrasjonen av elektroner i ledningsbåndet er mye større på n-siden enn på p-siden. Dermed vil elektroner i ledningsbåndet diffundere fra n- til p-siden av overgangen. Tilsvarende vil hull i valensbåndet diffundere fra p- til n-siden av overgangen. Men da vil den dynamiske likevekten (gitt ved n · p = temperaturavhengig konstant) være forstyrret på begge sider av grenseflaten, og på en slik måte at elektroner i ledningsbåndet ”faller ned” og okkuperer hull i valensbåndet. Vi kaller dette for elektron-hull rekombinasjon. Nettoresultatet av denne prosessen er at konsentrasjonen av både elektroner og hull blir betydelig redusert i et lite område på begge sider av grenseflaten. Netto ladningsfordeling ρ(x) blir derfor tilnærmet som vist i figuren:

Diffusjonsprosessen beskrevet ovenfor, elektroner fra n- til p-siden og hull fra p- til n-siden, fører til at det blir et overskudd av positiv ladning på n-siden og et overskudd av negativ ladning på p-siden av grenseflaten. Følgelig genereres det et elektrisk felt i nærheten av grenseflaten, og dette elektriske feltet sørger for å utligne diffusjonsstrømmen. I likevekt går det selvsagt ingen netto strøm gjennom grenseflaten. I oppgaven nedenfor skal vi se nærmere på det genererte elektriske feltet og det tilhørende potensialet. Kommentar til figuren over: Overgangen til elektrisk nøytralitet ved x = −x_{p} og x = x_{n} er i virkeligheten ikke helt skarp men foregår over en viss lengdeskala. Denne lengdeskalaen er imidlertid typisk liten i forhold til sperresonens utstrekning W = x_{n} + x_{p}. Det samme gjelder for overgangen fra ρ = −eN_{A} til ρ = eN_{D} ved x = 0. Dermed er ρ(x) i virkeligheten en kontinuerlig funksjon overalt, noe som igjen garanterer at det elektriske feltet E⃗ = E(x)x̂ også er kontinuerlig overalt. Systemet antas å være fullstendig uniformt i y- og z-retning, dvs ingen fysiske størrelser avhenger av y eller z.

Nå til selve oppgaven!

a) Anta at konsentrasjonene av forurensningsatomer, N_{D} og N_{A}, er gitt. Vi antar dessuten at x_{n} er kjent. Hva blir da x_{p} og W når hele systemet er elektrisk nøytralt?

b) Utled Poissons ligning,

∇^{2}V = −\frac{ρ}{ε},

med utgangspunkt i Gauss’ lov (på differensialform, se side 3) og sammenhengen mellom E⃗ og V. Her er ρ fri ladning pr volumenhet, og ε er permittiviteten til det materialet som vi betrakter. ∇^{2} er den såkalte laplaceoperatoren,

∇^{2} = \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂z^{2}}

I vårt system, der ingenting varierer med y og z, har vi altså

\frac{d^{2}V}{dx^{2}} = −\frac{ρ(x)}{ε}

Bruk denne ligningen til å bestemme potensialet V (x) og det elektriske feltet E(x) for pnovergangen som er vist i figuren på side 1. Vis at det såkalte innebygde potensialet ΔV = V (x → ∞) − V (x → −∞) kan uttrykkes på formen

ΔV = \frac{eN_{D}x_{n}^{2}}{2ε} (1 + \frac{N_{D}}{N_{A}} )

Tips: Integrer Poissons ligning to ganger. Du har tilstrekkelig informasjon til å bestemme E(x) entydig. I sperresonen må E bli en lineær funksjon av x, utenfor sperresonen må E være lik null. (Hvorfor?) Potensialet V (x) kan du selvsagt bare bestemme på en konstant nær: Nullpunkt for potensialet velger vi som kjent etter eget ønske!

Kommentar: Vi har her antatt at halvlederen kan beskrives som et lineært og isotropt dielektrikum med permittivitet ε = ε_{r}ε_{0}. For Si er ε_{r} = 11.8. “Bundet” ladning er altså assosiert med polarisering av atomene i halvlederkrystallen og er dermed “innbakt” i permittiviteten ε. Ladningen ρ(x) blir i dette tilfellet det vi i vår kalte fri ladning, selv om den her faktisk er bundet opp til immobile forurensningsatomer. Husk at fri ladning, pr definisjon, innbefattet all ladning som ikke var assosiert med polariseringen av mediet. Sammenhengen mellom den elektriske forskyvningen D⃗ og det elektriske feltet E⃗, D⃗ = εE⃗, samt Gauss’ lov for D⃗, ∇·D⃗ = ρ(x), gir umiddelbart sammenhengen mellom V (x) og ρ(x), dvs Poissons ligning. Vakuumpermittiviteten er ε_{0} = 10^{7}/4πc^{2} ≃ 8.85 · 10^{−12}, med enhet C/Vm.

c) Regn ut tallverdien til ΔV når n-siden er dopet med 10^{17} antimonatomer pr cm^{3}, p-siden er dopet med 10^{16} boratomer pr cm^{3}, og verdien av x_{n} er 30 nm. Hvor stort er det maksimale elektriske feltet E_{max} (dvs ved x = 0)?

Tallsvar: ΔV = 758 mV, E_{max} = −4.6 MV/m.

Utledning av Gauss’ lov på differensialform:

Gauss’ lov på integralform:

ε_{0} ∮ E · dA = q

Divergensteoremet:

∮_{S} G · dA = ∫_{V} ∇ · G dV

Her er S en lukket flate som omslutter volumet V, mens G representerer et vilkårlig vektorfelt. Anvender vi divergensteoremet på det elektriske feltet, kan vi skrive:

∮_{S} E · dA = ∫_{V} ∇ · E dV

Netto ladning q i volumet V kan uttrykkes ved (rom-)ladningstettheten ρ:

q = ∫_{V} ρ dV

Dermed må vi, ifølge Gauss’ lov for E, kunne skrive

∫_{V} ∇ · E dV = ∫_{V} \frac{ρ}{ε_{0}} dV

Ettersom dette skal være riktig for vilkårlige lukkede flater S (med tilhørende volum V), må ikke bare disse integralene være like store – integrandene må også overalt være like store:

∇ · E = \frac{ρ}{ε_{0}}

Dette er Gauss’ lov for det elektriske feltet på differensialform. Dersom vi befinner oss i et dielektrikum, dvs et polariserbart medium, med permittivitet ε, har vi akkurat samme ligning, med ε i stedet for ε_{0}. Da representerer ρ fri ladning pr volumenhet.