Institutt for fysikk, NTNU FY1013 Elektrisitet og magnetisme II Høst 2005

Øving 4

Veiledning: Mandag 19. og onsdag 21. september Innleveringsfrist: Fredag 23. september

Likeretter

Vi skal se på en likeretter bestående av en ideell pn-diode og en kondensator med kapasitans C = 1 mF:

Vi antar at dioden har den idealiserte strøm-spennings-karakteristikken V_{d} = 0 når I_{d} > 0 og I_{d} = 0 når V_{d} < 0:

For kondensatoren gjelder Q = CV_{C}. På utgangen (”ut”) kobles et apparat som essensielt kan betraktes som en motstand R = 100 Ω. På inngangen (”inn”) kobles ved tidspunktet t = 0 en enkel harmonisk vekselspenningskilde V_{inn} = V_{0} sin ωt med amplitude V_{0} = 5 V og frekvens f = ω/2π = 50 Hz. (For t ≤ 0 er altså spenninger, strømmer og ladninger lik null.) Pluss og minus på inngangen i figuren (neste side) angir hva som er henholdsvis høyt og lavt potensial når V_{inn} > 0. a) Ta utgangspunkt i Kirchhoffs regler og bestem strømmen I_{d}(t) = I_{C}(t) + I_{R}(t) gjennom dioden i tidsrommet t = 0 til t = t_{0}. Her er t_{0} definert som det tidspunktet når I_{d} for første gang blir lik null. Vis at t_{0} bestemmes av ligningen

tan ωt_{0} = −\frac{ω}{ω_{0}}

der ω_{0} = 1/RC er kretsens ”karakteristiske” (vinkel-)frekvens. Bestem tallverdi for t_{0}. Hva blir spenningen V_{R}(t) over motstanden R i tidsrommet 0 < t < t_{0}? Tips: Så lenge I_{d} > 0, kan vi med vår idealiserte modell erstatte dioden med en ”kortslutning”, dvs en leder uten motstand. Og husk at I_{C} = dQ/dt.

b) Anta heretter, for enkelhets skyld, at t_{0} = π/2ω, dvs nøyaktig en kvart periode. Ettersom I_{d} ikke kan være negativ, må vi ha I_{d} = 0 fra og med t = t_{0}, dvs fra og med τ ≡ t − t_{0} = 0, og en tid framover. I dette tidsintervallet kan dioden erstattes med en åpen krets. Vis at spenningen over motstanden (og kondensatoren) da faller av eksponentielt på denne måten:

V_{R}(τ) ( = V_{C}(τ) ) = V_{0} exp(−ω_{0}τ)

Tips: Så lenge dioden kan betraktes som en åpen krets, er spenningskilden effektivt ”koblet fra”. Da står vi igjen med en enkelt sløyfe med en R og en C, og det har vi jo vært borti tidligere...!

c) Ved et senere tidspunkt t = t_{1} (evt τ = t_{1} − t_{0}) vil vi igjen ha V_{inn} = V_{R}. Da har ”utspenningen” falt til en verdi V_{1} ≡ V_{inn}(t_{1}). Den såkalte ”ripple”-spenningen defineres nå som dette fallet i spenning, dvs V_{ripple} = V_{0} − V_{1}. Bestem tidspunktet t_{1} og ”ripple”-spenningen V_{ripple}. Tips: Ligningen som bestemmer t_{1}, og dermed V_{1}, kan ikke løses eksakt (dvs ”analytisk”, på lukket form). Du kan imidlertid gjøre et temmelig brukbart overslag ved rett og slett å tegne opp V_{inn}(t) og V_{R}(τ).

d) Hvordan fortsetter V_{R}(t) deretter? Skisser 3-4 perioder av tidsforløpet.

Kommentar: Forhåpentlig ser du at inngangsspenningen, som svinger mellom å være positiv og negativ, har blitt ”likerettet”, dvs at V_{R}(t) kun er positiv. Et ”adapter”, f.eks. for å lade batteriet i en mobiltelefon, fungerer essensielt på denne måten. Under lading må strømmen gjennom batteriet gå i en bestemt retning slik at den kjemiske prosessen som foregår ved bruk reverseres. (I tillegg må spenningsamplituden gjerne transformeres ned, men det er en annen historie.)

Noen tallsvar: a) t_{0} ≃ 5.1 ms c) t_{1} ≃ 23 ms, V_{ripple} ≃ 0.85 V