Institutt for fysikk, NTNU FY1013 Elektrisitet og magnetisme II Høst 2005

Øving 6

Veiledning: Mandag 3. og onsdag 5. oktober Innleveringsfrist: Fredag 7. oktober

Figuren nedenfor viser en elektrisk krets som kan brukes til å måle magnetfeltet i jernkjernen midt i kretsen:

(Du skal senere bruke en tilsvarende krets på laben til å måle magnetisk hysterese.) På jernkjernen er det viklet opp spoletråd med henholdsvis N_{1} og N_{2} viklinger på venstre og høyre side, begge over en lengde d. Dette er essensielt en transformator. Spole 1 er en del av den såkalte primærkretsen, som i tillegg består av en motstand R_{1} og en vekselspenningskilde V_{0} cos ωt, eventuelt V_{0} exp(iωt) på kompleks form. Spole 2 er en del av sekundærkretsen, som i tillegg består av en motstand R_{2} og en kondensator med kapasitans C. Vi ser av figuren at V_{1} og V_{2} er spenningen over henholdsvis motstanden i primærkretsen og kondensatoren i sekundærkretsen. Jernets relative permeabilitet er μ_{r}. Tverrsnittet av jernkjernen har areal A. Hvis det genereres et magnetfelt B ved at det sendes en strøm gjennom den ene eller andre spolen, vil magnetfeltlinjene med god tilnærmelse holdes inne i jernet. Dermed vil essensielt samme magnetiske fluks passere innenfor samtlige viklinger på begge de to spolene. Vi antar derfor at B = 0 overalt utenfor jernkjernen.

a) Bestem selvinduktansene L_{1} og L_{2} til de to spolene. Du kan regne som om begge de to spolene er uendelig lange. (Dvs: Bruk det du vet om magnetfeltet inne i en uendelig lang og tett viklet spole. Se også øving 14 fra i vår.)

b) Bestem primærkretsens impedans Z_{1}(ω). (ω representerer vinkelfrekvensen til den påtrykte spenningen V_{0} cos ωt.)

c) Sekundærkretsen er en seriekobling av motstanden R_{2} og kapasitansen C. Hva er da sekundærkretsens impedans Z_{2}(ω)? (Merk at spole 2 ikke blir en del av Z_{2}, ettersom spolen representerer spenningskilden i denne kretsen!) Vis at vi for vinkelfrekvenser ω ≫ 1/R_{2}C kan gjøre tilnærmelsen Z_{2} ≃ R_{2}.

d) Vis at dersom vi kan gjøre tilnærmelsen Z_{2} ≃ R_{2}, vil kondensatorens ladning, og dermed spenningsfallet over kondensatoren bli proporsjonal med magnetfeltet B inne i jernkjernen:

V_{2} = \frac{Q}{C} = \frac{N_{2}AB}{R_{2}C}

Hvordan modifiseres denne sammenhengen dersom vi ikke har så stor vinkelfrekvens at ω ≫ 1/R_{2}C (dvs: dersom vi ikke kan anta Z_{2} ≃ R_{2})?

Kommentar: Vi gjør samme antagelse her som i laboppgaven om magnetisk hysterese, nemlig at R_{2} ≫ R_{1}. Da blir strømmen i sekundærkretsen mye mindre enn strømmen i primærkretsen, slik at gjensidig induksjon fra spole 2 til spole 1 kan neglisjeres.