Institutt for fysikk, NTNU FY1013 Elektrisitet og magnetisme II Høst 2005

Løsningsforslag til øving 7

Veiledning mandag 10. og onsdag 12. oktober

Oppgave 1

Vi har utledet et generelt uttrykk for total effekt overført fra vekselspenningskilden V_{0} cos ωt til kretsen:

⟨P ⟩ ≡ \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} P (t) dt = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} V (t)I(t) dt = \frac{1}{2}V_{0}|I_{0}| cos α

Her er da

I(t) = |I_{0}| cos(ωt − α)

den totale strømmen som går i kretsen. Vi har sammenhengene

|I_{0}| = \frac{V_{0}}{|Z|}
Z = R + iX = |Z|e^{iα}
tan α = \frac{X}{R}
cos α = \frac{R}{|Z|}
|Z| = \sqrt{R^{2} + X^{2}}

så alternative uttrykk for midlere total effekt er

⟨P ⟩ = \frac{V_{0}^{2}R}{2|Z|^{2}} = \frac{V_{0}^{2}R}{2 (R^{2} + X^{2})}

Så langt generelt! La oss se hva dette gir for kretsen vår. Impedansen er

Z = R_{0} + R_{1} + iωL

slik at

R = R_{0} + R_{1}

og

X = ωL

Dermed har vi for totaleffekten:

⟨P ⟩ = \frac{V_{0}^{2} (R_{0} + R_{1})}{2 [(R_{0} + R_{1})^{2} + (ωL)^{2}]}

Innsetting av oppgitte tallverdier (ωL = 2πfL = 2π · 50 · 0.16 = 50.265 Ω, R_{0} + R_{1} = 60 Ω, V_{0} = 310 V) gir

⟨P ⟩ = 470.57 W ≃ 471 W

Her er det vel temmelig opplagt hvordan totaleffekten fordeler seg på kretsens to motstander ettersom summen av R_{0} og R_{1} inngår i uttrykket for ⟨P ⟩:

⟨P_{0}⟩ = \frac{V_{0}^{2}R_{0}}{2 [(R_{0} + R_{1})^{2} + (ωL)^{2}]} = \frac{⟨P ⟩}{6} = 78.43 W ≃ 78 W

⟨P_{1}⟩ = \frac{V_{0}^{2}R_{1}}{2 [(R_{0} + R_{1})^{2} + (ωL)^{2}]} = \frac{5⟨P ⟩}{6} = 392.14 W ≃ 392 W

Samme strøm passerer gjennom begge motstander, så uttrykket for utviklet effekt i hver av dem må rimeligvis bli på samme form. For å være helt sikker regner vi ut f.eks. ⟨P_{0}⟩ fra ”scratch”: Spenningsfallet over R_{0} er R_{0}I dersom det går en strøm I gjennom den. Instantan effekt i R_{0} er dermed P_{0}(t) = R_{0}I(t) · I(t) = R_{0}I(t)^{2}, slik at midlere effekt blir

⟨P_{0}⟩ = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} R_{0}I^{2}dt
= \frac{ω}{2π} ∫_{0}^{2π/ω} R_{0}|I_{0}|^{2} cos^{2}(ωt − α) dt

Integralet av cos^{2} x over en hel periode av argumentet x er lik 1/2 slik at

⟨P_{0}⟩ = \frac{ω}{2π} · R_{0}|I_{0}|^{2} · \frac{1}{2} · \frac{2π}{ω} = \frac{1}{2}R_{0}|I_{0}|^{2} = \frac{R_{0}V_{0}^{2}}{2|Z|^{2}}

Samme framgangsmåte gir selvsagt et tilsvarende uttrykk for ⟨P_{1}⟩.

Det kan jo bemerkes at spenningskilden her nettopp tilsvarer det du har i stikk-kontakten hjemme, nemlig vekselspenning med effektivverdi 310/\sqrt{2} ≃ 220 V og frekvens f = 50 Hz.

Oppgave 2

a)

(Her har jeg brukt ω = 1, slik at perioden er T = 2π.)

Vi ser at v_{5} tilsvarer de tre første leddene i g(t). Skulle det være noen tvil om hvor dette bærer hen, er det jo bare å ta med noen flere ledd og tegne opp på ny. Men allerede med tre ledd får en vel en mistanke om at g(t) må bli et ”firkantsignal”. I figuren nedenfor har jeg tatt med ledd til og med n = 49:

b) Kirchhoffs spenningsregel gir

RQ̇ + \frac{Q}{C} = V_{inn}(t)

Innsetting av

V_{inn}(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{V_{0}}{n} e^{inωt}

og

Q(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} Q_{n}e^{inωt}

gir

∑_{n=1,3,5,...}^{∞} (inωR + \frac{1}{C} ) Q_{n}e^{inωt} = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{V_{0}}{n} e^{inωt}

Hvis denne ligningen skal være oppfylt ved alle tidspunkt t, må vi ha likhet mellom høyre og venstre side for alle verdier av n:

Q_{n} (inωR + \frac{1}{C} ) = \frac{V_{0}}{n}
⇒ Q_{n} = \frac{V_{0}C}{n + in^{2}ωRC}

Dermed blir spenningsfallet over kondensatoren (på kompleks form)

V_{ut}(t) = \frac{Q(t)}{C} = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{V_{0}}{n(1 + inωRC)}e^{inωt}

som vi skulle vise.

c) Dersom ω ≫ 1/RC, kan vi neglisjere 1 i forhold til inωRC i nevneren i uttrykket for V_{ut}(t). Det gir

V_{ut}(t) ≃ ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{V_{0}}{in^{2}ωRC} e^{inωt}

Her erstatter vi 1/i med exp(−iπ/2), som gir

V_{ut}(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{V_{0}}{n^{2}ωRC} e^{i(nωt−π/2)}

Dermed blir det fysiske spenningsfallet over kondensatoren, gitt ved imaginærdelen:

V_{ut}(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{V_{0}}{n^{2}ωRC} sin (nωt − π/2)

Vi kan skrive

sin(nωt − π/2) = − cos nωt

slik at

V_{ut}(t) = − ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{V_{0}}{n^{2}ωRC} cos nωt

Og det var det vi skulle vise.

Vi ser at dersom vi deriverer V_{ut}(t) med hensyn på t, får vi tilbake V_{inn}(t)/RC. Altså representerer V_{ut}(t) integralet av V_{inn}(t) (dividert med konstanten RC).