Institutt for fysikk, NTNU FY1013 Elektrisitet og magnetisme II Høst 2005

Øving 7

Veiledning: Mandag 10. og onsdag 12. oktober Innleveringsfrist: Fredag 14. oktober

Oppgave 1

En vekselspenningskilde har alltid en viss indre motstand R_{0}. En slik reell spenningskilde kan vi representere som en ideell spenningskilde V = V_{0} cos ωt i serie med R_{0}, som vist i figuren til venstre:

Vi tenker oss nå at denne spenningskilden skal brukes til å drive et eller annet elektrisk apparat (f.eks. en motor) som kan beskrives ved en ”lastmotstand” R_{1} i serie med en induktans L, se figuren over til høyre. Med apparatet koblet til spenningskilden har vi dermed følgende krets:

Finn et uttrykk for (den gjennomsnittlige) effekten ⟨P_{1}⟩ som overføres fra spenningskilden til det elektriske apparatet. Finn også effekten ⟨P_{0}⟩ som ”tapes” i spenningskilden (dvs i motstanden R_{0}). Bestem tallverdier for ⟨P_{0}⟩ og ⟨P_{1}⟩ når spenningskilden har en amplitude på 310 V, frekvens f = 50 Hz og indre motstand 10 Ω, mens apparatets motstand er 50 Ω og dets induktans 0.16 H.

Tallsvar: 392 W, 78 W Oppgave 2 (litt signalanalyse, eller såkalt Fourieranalyse)

a) Tegn opp funksjonene

v_{1}(t) = sin ωt
v_{3}(t) = v_{1}(t) + \frac{1}{3} sin 3ωt
v_{5}(t) = v_{3}(t) + \frac{1}{5} sin 5ωt

i intervallet 0 ≤ t ≤ 2π/ω, dvs over en periode av u_{1}. (Plottetips på side 3.) Med utgangspunkt i det du har tegnet opp, hvordan tror du funksjonen

g(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{1}{n} sin nωt

blir seende ut?

b) En spenningskilde

V_{inn}(t) = V_{0} ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{sin nωt}{n}

er koblet til en RC-krets, som vist i figuren:

Hvis vi her velger å benytte en kompleks notasjon,

V_{inn}(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{V_{0}}{n} e^{inωt},

og tilsvarende for f.eks. ladningen Q på kondensatoren,

Q(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} Q_{n}e^{inωt},

må vi huske på at fysiske spenninger, ladninger etc i dette tilfellet er representert ved imaginærdelen, ettersom

sin ωt = Im e^{iωt}

Vis at dersom vi legger ”utgangssignalet” V_{ut}(t) over kondensatoren, får vi (på kompleks form)

V_{ut}(t) = \frac{Q(t)}{C} = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{V_{0}}{n(1 + inωRC)}e^{inωt}

c) La oss nå anta at vinkelfrekvensen ω er svært stor i forhold til 1/RC. Vis at spenningen over kondensatoren V_{ut}(t) da med god tilnærmelse kan skrives på formen

V_{ut}(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} V_{n}^{ut} cos nωt

med amplituder (”Fourier-koeffisienter”)

V_{n}^{ut} = −\frac{V_{0}}{n^{2}ωRC}

Hva slags matematisk ”operasjon” på inngangssignalet representerer dermed utgangssignalet for slike høye frekvenser?

Oppgitt:

arctan x ≃ \frac{π}{2}

dersom x ≫ 1.

Et par tips for den som ikke allerede har sitt ”favorittopplegg” for kurvetegning:

Med gnuplot (hvis du bruker linux e.l.):

hostname:~$ gnuplot
gnuplot> set style data lines
gnuplot> set xrange [0:6.283]
gnuplot> f(x) = sin(x) + sin(3*x)/3 + sin(5*x)/5
gnuplot> plot f(x)

Med matlab:

hostname:~$ matlab

...eller hvordan du nå måtte starte opp matlab. Deretter i ”Command window”:

>> x = 0:pi/100:2*pi;
>> f = sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5;
>> plot (x,f)

Begge disse variantene skulle gi et plott av funksjonen v_{5}. Fortsett gjerne med v_{7} osv. så ser du tydelig hvor dette bærer hen.