Filterkretser (forelest 11.02.04)

Vi så på en veldig enkel elektrisk krets, nemlig en vekselspenningskilde V (t) = V_{0} cos ωt koblet til en seriekobling av en motstand R og en kapasitans C. Impedansen til en motstand er Z_{R} = R og impedansen til en kapasitans er Z_{C} = 1/iωC. Kretsens totale impedans er dermed

Z = Z_{R} + Z_{C} = R + \frac{1}{iωC}

Da kan vi bestemme amplituden |I_{0}| til strømmen som vil gå i kretsen:

|I_{0}| = \frac{V_{0}}{|Z|} = \frac{V_{0}}{\sqrt{R^{2} + (1/ωC)^{2}}}

Amplituden til spenningsfallet over motstanden blir dermed

V_{R0} = R|I_{0}| = \frac{V_{0}R}{\sqrt{R^{2} + (1/ωC)^{2}}}

For å bestemme amplituden til spenningsfallet over kapasitansen, må vi først finne amplituden til ladningen Q på kondensatoren. Sammenhengen mellom strømmen i kretsen, I, og ladningen på kondensatoren, Q, er

I = \frac{dQ}{dt}

På kompleks form har vi

I = I_{0}e^{iωt}

og

Q = Q_{0}e^{iωt}

Dermed er

\frac{dQ}{dt} = iωQ_{0}e^{iωt} = I = I_{0}e^{iωt}

slik at

Q_{0} = \frac{I_{0}}{iω}

Amplituden til spenningsfallet over kondensatoren er følgelig

V_{C0} = \frac{|Q_{0}|}{C} = \frac{|I_{0}|}{ωC} = \frac{V_{0}}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

Vi ser at amplituden til spenningen over motstanden, V_{R0}, går mot null i grensen ω → 0, mens den går mot V_{0} i grensen ω → ∞, dvs for høye verdier av frekvensen. Tilsvarende ser vi at amplituden til spenningen over kapasitansen, V_{C0}, går mot V_{0} i grensen ω → 0, mens den går mot null i grensen ω → ∞, dvs for høye verdier av frekvensen. Ved å måle spenningen over motstanden, vil derfor en slik enkel RC-krets fungere som et såkalt ”høypassfilter”, dvs den målte ”ut-spenningen” vil ha liten amplitude for lave frekvenser og stor amplitude for høye frekvenser.

Tilsvarende: Ved å måle spenningen over kapasitansen, vil kretsen fungere som et såkalt ”lavpassfilter”, dvs den målte ”ut-spenningen” vil ha stor amplitude for lave frekvenser og liten amplitude for høye frekvenser. Dersom spenningskilden V_{0} cos ωt, som altså kun består av en enkelt (vinkel-)frekvens ω, erstattes av et ”sammensatt” signal,

V_{inn}(t) = ∑_{i} V_{0i} cos(ω_{i}t + α_{i}),

dvs en superposisjon av flere harmoniske signaler (generelt med faseforskyvning α_{i}), vil en slik krets filtrere bort henholdsvis lave eller høye frekvenskomponenter av V_{inn}.