Institutt for fysikk, NTNU FY1303 Elektrisitet og magnetisme Vår 2004

Løsningsforslag til øving 3

Veiledning tirsdag 27. januar

Oppgave 1

Stålkulene magnetiseres i feltet B_{0} fra permanentmagnetene:

Både M_{m} (magnetiseringen i magnetene) og M_{k} (magnetiseringen i kula) tilsvarer en magnetiseringsstrøm i overflaten, i samme retning:

Parallelle strømmer tiltrekker hverandre, hvilket forklarer at vi har tiltrekning mellom magneten og kula.

Med to kuler:

Magnetiseringen i magneten er betydelig større enn i kulene. Hvorvidt magnetiseringen i de to kulene er like store eller ei, er ikke så godt å si. Det kommer an på om feltet fra magneten er tilstrekkelig sterkt til å rette inn samtlige domener i begge de to kulene. La oss anta at det er tilfelle:

M_{m} ≫ M_{k1} ≃ M_{k2}

Magnetfeltet B_{0} fra magneten svekkes imidlertid forholdsvis raskt når vi fjerner oss fra dens overflate. Dermed blir den magnetiske kraften på overflatestrømmen i kule 2 betydelig svakere enn den på overflatestrømmen i kule 1. Følgelig:

F_{1} > F_{2}

Vi må utføre et større arbeid for å fjerne kule 1 enn kule 2. Altså har kule 1 lavere potensiell energi U_{1} enn kule 2 (U_{2}):

Med to kuler mellom to magneter:

Potensiell energi før støt:

U_{før} = U_{1} + U_{2}

Potensiell energi etter støt:

U_{etter} = 2U_{1} < U_{før}

Kula som slippes:

Dersom U_{0} − U_{1} > U_{mellom} − U_{2}, og vi har tilnærmet elastisk støt og ikke for mye friksjon, vil kula som slippes overføre sin kinetiske energi T_{0} = U_{0} − U_{1} til kule 2, som da har tilstrekkelig energi til å komme fra posisjon 2 til posisjon 1:

T_{2} ≃ T_{0} = U_{0} − U_{1} > U_{mellom} − U_{2}

Dermed:

Kula som starter som 2 og ender opp som 1 overfører i sin tur sin kinetiske energi til kule 2 bak neste magnet osv. Med f.eks. 3 magneter:

I alt 3 “toere” har gått over til å bli “enere”. Vi har mistet

3(U_{2} − U_{1})

potensiell energi som kan ha gått over til kinetisk energi for den siste kula. Maksimal hastighet er da bestemt ved

\frac{1}{2}mv_{max}^{2} = 3(U_{2} − U_{1}) ⇒ v_{max} = \sqrt{\frac{6(U_{2} − U_{1})}{m}}

Kommentar: Vi har ikke sagt noe om hvorvidt de ulike magnetene er orientert i samme eller motsatt retning. Det spiller da heller ikke så stor rolle i praksis. Riktignok vil magnetfeltet i “posisjon 1” være litt sterkere dersom nabomagneten er orientert i samme retning, men rett ved overflaten er feltet uansett stort sett bestemt av den nærmeste magneten. I “posisjon 2” vil kula få magnetisering med retning bestemt av den magneten som er nærmest. Nabomagneten vil da enten trekke til seg eller frastøte kula i posisjon 2, avhengig av orienteringen, og dermed til en viss grad påvirke hvor sterkt kule 2 “sitter fast”. Men igjen er det nok den nærmeste magneten som har mest å si.

Oppgave 2

Her kjenner vi påtrykt (“fri”) strøm i spoletråden og bruker derfor Amperes lov for H:

∮ H · dl = I_{fri}

Både H og B (og dermed også M) ligger tangentielt til toroiden inne i toroiden, så vi får

H_{j} (2πR − l) + H_{l}l = NI

der H_{j} = |H| inne i jernet og H_{l} tilsvarende i luftspalten. Omsluttet fri strøm må bli strømmen I i spoletråden ganget med antall viklinger N. Sammenhengen mellom B og H gir oss videre

B_{j} = μ_{0}H_{j} + μ_{0}M_{j} = μ_{0}μ_{r}H_{j}
B_{l} = μ_{0}H_{l} + μ_{0}M_{l} = μ_{0}H_{l}

for B-feltet i hhv jernet og luftspalten (da M_{l} = 0, null magnetisering i luftspalten). Fra øving 14 i høst har vi at normalkomponenten av B er kontinuerlig når vi krysser en grenseflate. (Det fulgte av Gauss’ lov for B-feltet.) Her står B normalt på grenseflaten mellom jern og luft i den smale spalten, så vi må ha

B_{j} = B_{l}

Følgelig er

H_{l} = μ_{r}H_{j}

og vi kan bestemme f.eks. H_{j}:

H_{j} (2πR − l) + μ_{r}H_{j}l = NI
⇒ H_{j} = \frac{NI}{2πR − l + μ_{r}l}

Magnetfeltet blir

B = B_{j} = B_{l} = μ_{0}μ_{r}H_{j} = \frac{μ_{0}μ_{r}NI}{2πR − l + μ_{r}l}

mens H-feltet i luftspalten blir

H_{l} = μ_{r}H_{j} = \frac{μ_{r}NI}{2πR − l + μ_{r}l}

Med andre ord, H-feltet er mye større i luftspalten enn inne i jernet. Det reflekterer det faktum at i jernet utgjøres B_{j} stort sett av magnetiseringen M_{j}, mens i lufta er M_{l} = 0, og dermed utgjøres B_{l} utelukkende av H_{l}.

Utregningene ovenfor forutsetter at vi har konstante felt både inne i jernet og i luftspalten. For at dette skal være en bra tilnærmelse, må bredden på luftspalten være liten.

Den påtrykte spenningen V_{1} må, ifølge Kirchhoffs spenningsregel, tilsvare indusert (mot-)spenning i primærspolen:

V_{1} = N_{1}ϕ̇_{1} = N_{1}AḂ = N_{1}Aμ\frac{N_{1}}{l} İ = μN_{1}^{2} \frac{A}{l}İ = Lİ

Selvinduktansen til primærspolen er med andre ord

L = μN_{1}^{2} \frac{A}{l}

Ettersom samme magnetfelt B omsluttes av sekundærspolen, blir indusert spenning i denne spolen

V_{2} = N_{2}ϕ̇_{2} = N_{2}AḂ = N_{2}Aμ\frac{N_{1}}{l} İ = μN_{1}N_{2} \frac{A}{l}İ = Mİ

Gjensidig induktans mellom de to spolene er med andre ord

M = μN_{1}N_{2} \frac{A}{l}

Vi ser at de to spenningene V_{1} og V_{2} er relatert ved

V_{2} = \frac{N_{2}}{N_{1}} V_{1}

Med N_{2} > N_{1} blir spenningen transformert opp, og med N_{2} < N_{1} blir den transformert ned.