Institutt for fysikk, NTNU FY1303 Elektrisitet og magnetisme Vår 2004

Løsningsforslag til øving 4

Veiledning tirsdag 3. februar

a) Med motstand R og kapasitans C i serie:

V_{0} cos ωt = RI + \frac{Q}{C}

(Kirchhoffs spenningsregel) La oss først benytte anledningen til å reklamere for å bruke kompleks notasjon, ved å løse oppgaven uten kompleks notasjon! En partikulærløsning av differensialligningen

RQ̇ + \frac{Q}{C} = V_{0} cos ωt

vil generelt være på formen

Q(t) = a cos ωt + b sin ωt

eller, ekvivalent, på formen

Q(t) = Q_{0} cos(ωt + β)

Med den siste formen innsatt i ligningen fås

−ωRQ_{0} sin(ωt + β) + \frac{Q_{0}}{C} cos(ωt + β) = V_{0} cos ωt

For å bestemme Q_{0} og β bruker vi

cos(ωt + β) = cos ωt cos β − sin ωt sin β

og

sin(ωt + β) = sin ωt cos β + cos ωt sin β

Sammenligning av koeffisienter foran cos ωt og sin ωt gir da

−ωRQ_{0} sin β + \frac{Q_{0}}{C} cos β = V_{0}
−ωRQ_{0} cos β − \frac{Q_{0}}{C} sin β = 0

Den siste av disse to fastlegger fasevinkelen β:

tan β = −ωRC

Da følger det at

\frac{sin^{2} β}{cos^{2} β} = (ωRC)^{2}

dvs

\frac{1 − cos^{2} β}{cos^{2} β} = (ωRC)^{2}

eller

cos β = \frac{1}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

Da kan vi bestemme Q_{0} fra den første av de to ligningene ovenfor:

−ωRQ_{0} sin β + \frac{Q_{0}}{C} cos β = V_{0}

⇒ \frac{Q_{0}}{C} (1 − ωRC tan β) = \frac{V_{0}}{cos β}
⇒ Q_{0} = \frac{V_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

Med andre ord:

Q(t) = \frac{V_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}} cos (ωt − arctan ωRC)

Strømmen I(t) blir den tidsderiverte av Q:

I(t) = −\frac{ωV_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}} sin (ωt − arctan ωRC)

Vi har generelt at

− sin x = cos(x + π/2)

og

cos x = cos(−x)

så vi kan skrive I(t) på formen

I(t) = I_{0} cos (ωt − α)

med

I_{0} = \frac{ωV_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

og

α = \frac{π}{2} − arctan ωRC

Litt kronglete, men overkommelig for en så enkel krets. Likefullt kan en vel se for seg at dette kan bli bortimot uhåndterbart for litt mer kompliserte kretser. La oss bruke kompleks notasjon og overbevise oss om at vi får samme svar, bare på en enklere måte. Vi setter

V (t) = V_{0}e^{iωt}

og tilsvarende for Q og I. Kirchhoffs spenningsregel gir da

RQ_{0}iωe^{iωt} + \frac{Q_{0}}{C} e^{iωt} = V_{0}e^{iωt}

dvs

Q_{0} = \frac{V_{0}C}{1 + iωRC}

med absoluttverdi

|Q_{0}| = \frac{V_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

og fasevinkel

β = − arctan ωRC

Strømmen blir

I(t) = Q̇ = iωQ_{0}e^{iωt} = \frac{iωV_{0}C}{1 + iωRC} e^{iωt}

dvs

I_{0} = \frac{iωV_{0}C}{1 + iωRC} = \frac{ωV_{0}C}{ωRC − i}

med absoluttverdi

|I_{0}| = \frac{ωV_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

og fasevinkel (idet vi setter I_{0} = |I_{0}| exp(−iα))

α = arctan \frac{1}{ωRC}

Altså samme svar, men mye mindre arbeid... (Du kan jo sjekke selv at fasevinkelen virkelig ble den samme, dvs du må sjekke at π/2 − arctan x = arctan 1/x.)

Til slutt: Er resultatet rimelig? La oss sjekke grensene “små” og “store” frekvenser:

ω → 0 : |I_{0}| → 0 og α → − arctan ∞ = −\frac{π}{2}

Dette virker fornuftig: Null likestrøm gjennom en kondensator. Dermed hele spenningsfallet over kondensatoren, og (-) 90 graders faseforskjell mellom spenning og strøm (dvs: den bittelille strømmen som går der dersom ω er bittelitt forskjellig fra null), alternativt β → 0, dvs null faseforskjell mellom påtrykt spenning og ladning på kondensatoren.

ω → ∞ : |I_{0}| → \frac{ωV_{0}C}{ωRC} = \frac{V_{0}}{R} og α → − arctan 0 = 0

Dette virker også fornuftig: Hele den påtrykte spenningen gjenfinnes som spenningsfall over motstanden. Det svinger for fort til at vi rekker å få ladet opp kondensatoren, |Q_{0}| → 0.

Når vi nå har bestemt I med absoluttverdi og fasevinkel, har vi jo også bestemt kretsens impedans Z:

Z = \frac{V_{0}}{I_{0}} = \frac{1 + iωRC}{iωC} = R + \frac{1}{iωC}

Vi ser at seriekoblingens impedans rett og slett er lik summen av hvert enkelt seriekoblet element sin impedans, henholdsvis R for motstanden og 1/iωC for kapasitansen. En slik kompleks impedans kan vi skrive i “kartesiske koordinater”,

Z = ReZ + iImZ

eller i “polarkoordinater”,

Z = |Z|e^{iα}

For denne kretsen er

ReZ = R
ImZ = −\frac{1}{ωC}
|Z| = \sqrt{R^{2} + (1/ωC)^{2}}
α = arctan \frac{ImZ}{ReZ} = − arctan \frac{1}{ωRC}

b) Med motstand R og kapasitans C i parallell:

V_{0} cos ωt = RI_{R} = \frac{Q}{C}

(dvs Kirchhoffs spenningsregel anvendt på begge sløyfene). Videre

I = I_{R} + I_{C} = I_{R} + Q̇

(dvs Kirchhoffs strømregel). Her er det faktisk omtrent like enkelt å regne med reell eller kompleks formalisme. Jeg velger den komplekse:

V (t) = V_{0}e^{iωt}

Dermed:

I_{R} = \frac{V}{R} = \frac{V_{0}}{R} e^{iωt}

og

Q = V C = V_{0}Ce^{iωt}

Altså, for total strøm:

I = I_{R} + Q̇ = (\frac{V_{0}}{R} + iωV_{0}C) e^{iωt} = \frac{V_{0}}{R} (1 + iωRC) e^{iωt}

Fysisk (total) strøm på formen

I(t) = |I_{0}| cos(ωt − α)

gir amplitude

|I_{0}| = \frac{V_{0}}{R} \sqrt{1 + (ωRC)^{2}}

og fasevinkel

α = − arctan ωRC

“Grensesjekk”:

ω → 0 : |I_{0}| → \frac{V_{0}}{R} og α → − arctan 0 = 0

Dette virker fornuftig: Null likestrøm gjennom kondensatoren, all strøm gjennom motstanden.

ω → ∞ : |I_{0}| → ωV_{0}C(→ ∞) og α → − arctan ∞ = −π/2

Dette virker også fornuftig: Maksimal ladning på kondensatoren, Q_{0} = V_{0}C, oppnås veldig raskt, så strømmen inn på kondensatoren, I_{C} = ωV_{0}C, blir stor. Strømmen gjennom motstanden, I_{R} = V_{0}/R, er gitt ved Ohms lov og svinger i fase med den påtrykte spenningen, uavhengig av om ω er stor eller liten. Total strøm domineres imidlertid av I_{C}, så fasevinkelen blir den samme som i en V C-krets. Impedansen blir

Z = \frac{V_{0}}{I_{0}} = \frac{R}{1 + iωRC} = \frac{R − iωR^{2}C}{1 + (ωRC)^{2}}

Med andre ord,

ReZ = \frac{R}{1 + (ωRC)^{2}}
ImZ = −\frac{ωR^{2}C}{1 + (ωRC)^{2}}
|Z| = \frac{R}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}
α = − arctan ωRC

For små ω er Z ≃ R og for store ω er Z ≃ 1/iωC. Med dette har vi omtrent nok informasjon til å tegne en brukbar skisse av |Z(ω)|. Er vi litt nøye, kan vi jo sørge for å få riktig helning på kurven ved ω = 0:

\frac{d}{dω} |Z(ω)|_{ω=0} = [−\frac{1}{2} · R (1 + (ωRC)^{2})^{−3/2} · 2ωRC · RC]_{ω=0} = 0

Med andre ord, kurven går flatt ut fra |Z(0)| = R:

Altså: Høy motstand for lave frekvenser, lav motstand for høye frekvenser; et såkalt “høypassfilter”, som diskutert i forelesningene.

c) Med induktans L og kapasitans C i serie:

V − Lİ = \frac{Q}{C}

dvs

LQ̈ + \frac{Q}{C} = V_{0} cos ωt

Med kompleks notasjon, V = V_{0} exp(iωt), I = I_{0} exp(iωt) og Q = Q_{0} exp(iωt), får vi

L(iω)^{2}Q_{0} + \frac{Q_{0}}{C} = V_{0}

eller

Q_{0} = \frac{V_{0}C}{1 − ω^{2}LC}

og dermed

I_{0} = iωQ_{0} = \frac{iωV_{0}C}{1 − ω^{2}LC}

med absoluttverdi

|I_{0}| = \frac{ωV_{0}C}{|1 − ω^{2}LC|}

og fasevinkel (igjen, med I_{0} på formen |I_{0}| exp(−iα))

α = ± arctan \frac{i}{0} = ± arctan ∞ = ±\frac{π}{2}

Dersom ω < 1/\sqrt{LC}, blir α = −π/2, dersom ω > 1/\sqrt{LC}, blir α = +π/2. Impedansen for denne kretsen blir

Z = \frac{V_{0}}{I_{0}} = \frac{1 − ω^{2}LC}{iωC} = i\frac{ω^{2}LC − 1}{ωC}

altså rent imaginær. På resonansfrekvensen

ω_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

har induktansen og kapasitansen like stor impedans (i aboluttverdi), men motsatt fortegn, slik at total impedans da blir lik null. Vi ser at strømamplituden da blir (uendelig) stor. I praksis vil en slik krets aldri ha null resistans. (Både tilførselsledninger og spolen har en viss resistans, muligens liten, men aldri helt lik null.) Da vil strømmens amplitude være begrenset oppad til V_{0}/R, der R er total resistans i kretsen.