Institutt for fysikk, NTNU FY1303 Elektrisitet og magnetisme Vår 2004

Løsningsforslag til øving 7

Veiledning tirsdag 24. februar

Oppgave 1

Her finner vi igjen den påtrykte spenningen V_{0} cos ωt som et spenningsfall, både over kapasitansen C og over seriekoblingen av R og L. Total strøm “levert” av spenningskilden fordeler seg på de to parallellkoblede grenene:

I = I_{C} + I_{R}

der

I_{C} = \frac{V_{0}}{Z_{C}} = iωCV_{0}

og

I_{R} = \frac{V_{0}}{Z_{R} + Z_{L}} = \frac{V_{0}}{R + iωL}

Det er kun i motstanden at vi får dissipert effekt (dvs “taper” energi i form av varme). Det betyr at maksimal dissipert effekt må inntreffe når strømmen gjennom grenen med motstanden er størst mulig. Vi ser at det skjer når ω_{P} = 0, dvs i grensen at spenningskilden leverer likestrøm. Da blir

I_{R} = \frac{V_{0}}{R}

og

I_{C} = 0

Null faseforskjell mellom V og I inntreffer dersom (den komplekse) amplituden til strømmen I er rent reell, dvs

I_{0} = |I_{0}|e^{−iα} = |I_{0}| cos α − i|I_{0}| sin α = ReI_{0} + iImI_{0}

med

ImI_{0} = 0

Vi finner:

I = I_{C} + I_{R} = iωCV_{0} + \frac{V_{0}}{R + iωL} = V_{0} [\frac{R}{R^{2} + (ωL)^{2}} + i (ωC − \frac{ωL}{R^{2} + (ωL)^{2}} )]

Null imaginærdel betyr

ωC − \frac{ωL}{R^{2} + (ωL)^{2}} = 0

eller

ω = \sqrt{\frac{L − CR^{2}}{L^{2}C}}

Oppgave 2

For svært lave vinkelfrekvenser, dvs ω ≪ 1/RC, blir kondensatorens impedans |Z_{C}| = 1/ωC mye større enn motstandens impedans |Z_{R}| = R. Det betyr at strømmen fortrinnsvis vil passere motstanden R på sin vei gjennom parallellkoblingen av C og R. (Tenk på grensen ω → 0, dvs likespenning: Da tilsvarer kondensatoren en åpen krets, og gjennom en åpen krets går det ingen likestrøm.) Det betyr at kretsen essensielt består av to seriekoblede motstander, og Ohms lov gir direkte I = V_{0}/(R + R) = 800/(4 · 10^{5}) = 2 · 10^{−3} = 2 mA. For å bestemme I ved en vilkårlig vinkelfrekvens ω, regner vi først ut kretsens totale impedans. Ettersom vi her har en parallellkobling av C og R i serie med R, får vi:

Z = R + (iωC + 1/R)^{−1}
= R + \frac{R}{1 + iωRC}
= R · \frac{1 + iωRC + 1}{1 + iωRC}
= R · \frac{2 + iωRC}{1 + iωRC}
= R · \frac{(2 + iωRC)(1 − iωRC)}{1 + (ωRC)^{2}}
= R · \frac{2 + (ωRC)^{2} − iωRC}{1 + (ωRC)^{2}}
≡ |Z|e^{iα}

Dermed:

|Z| = \frac{R}{1 + (ωRC)^{2}} \sqrt{(2 + (ωRC)^{2})^{2} + (ωRC)^{2}}
= \frac{2R}{1 + (ωRC)^{2}} \sqrt{1 + \frac{5}{4}(ωRC)^{2} + \frac{1}{4}(ωRC)^{4}}
α = arctan (\frac{−ωRC}{2 + (ωRC)^{2}} ) = − arctan \frac{ωRC}{2 + (ωRC)^{2}}

Faktoren ωRC (som er dimensjonsløs) er med de oppgitte verdier 1000·2·10^{5} ·4.7·10^{−9} = 0.94, slik at |Z| = 1.61R = 0.32 MΩ og α = −18^{∘}. Strømamplituden blir I_{0} = V_{0}/|Z| ≃ 2.5 mA. Størst faseforskyvning mellom V og I har vi når argumentet til arctan-funksjonen har sin maksimale verdi. Den finner vi ved å sette den deriverte lik null (x ≡ ωRC):

\frac{d}{dx} (\frac{x}{2 + x^{2}} ) = \frac{1}{2 + x^{2}} − \frac{2x^{2}}{(2 + x^{2})^{2}}
= \frac{2 − x^{2}}{(2 + x^{2})^{2}}
= 0 for x = \sqrt{2}

Altså: Maksimal faseforskyvning når ω = \sqrt{2}/RC ≃ 1504 s^{−1}.