Institutt for fysikk, NTNU FY1303 Elektrisitet og magnetisme Høst 2004

Øving 1

Veiledning: Onsdag 25. august Innleveringsfrist: Mandag 30. august

Halleffekt med elektroner og hull

I forelesningene diskuterte vi Halleffekten: Dersom vi plasserer en bit av et materiale i et magnetfelt B⃗ = B_{z}ẑ og driver en elektrisk strøm i x-retningen (med strømtetthet j_{x}), får vi etablert et elektrisk felt E_{y} i y-retningen, det såkalte Hallfeltet. Sammenhengen mellom disse tre størrelsene kunne uttrykkes ved Hallkonstanten R_{H}:

R_{H} ≡ \frac{E_{y}}{j_{x}B_{z}} = \frac{1}{nq}

der n er antall mobile ladninger pr volumenhet, og q er ladningen pr partikkel, dvs q = −e for elektroner. Vår utledning tok utgangspunkt i at vi kun hadde en type ladningsbærere tilstede i et gitt materiale. Vi skal (på neste forelesning) forsøke å sannsynliggjøre at i noen materialer, fortrinnsvis halvledere, vil vi ha to typer ladningsbærere tilstede, positivt ladete hull og negativt ladete elektroner. Oppgaven her består etterhvert i å vise at med både hull og elektroner tilstede i materialet generaliseres ovenstående uttrykk for Hallkonstanten til

R_{H} ≡ \frac{E_{y}}{j_{x}B_{z}} = \frac{pμ_{p}^{2} − nμ_{n}^{2}}{e(pμ_{p} + nμ_{n})^{2}}

Her er n og p henholdsvis antall elektroner og hull pr volumenhet, mens μ_{n} og μ_{p} er mobiliteten for henholdsvis elektroner og hull. Vi trenger selvsagt å vite hvordan mobiliteten er definert. Som vanlig antar vi at materialet er lineært og isotropt. Linearitet innebærer at partiklenes midlere driftshastighet v⃗ er proporsjonal med den drivende kraften F⃗, og dermed også proporsjonal med drivende kraft pr ladningsenhet, f⃗ = F⃗ /|q|. Isotropi innebærer at proporsjonalitetskonstanten er uavhengig av hvilken retning i materialet vi betrakter. (I et krystallinsk materiale vil vi typisk ikke ha isotropi, men det ser vi altså bort fra her!) Mobiliteten μ defineres nå nettopp ved

v⃗ = μf⃗

Den drivende kraften er i vårt tilfelle Lorentzkraften:

F⃗ = q(E⃗ + v⃗ × B⃗)

slik at

v⃗ = ±μ(E⃗ + v⃗ × B⃗)

der positivt (negativt) fortegn gjelder for hull (elektroner) med ladning q = e (q = −e). Med denne definisjonen er mobiliteten alltid en positiv størrelse. Det er ingen spesiell grunn til at elektroner og hull skulle oppnå samme driftshastighet for en bestemt verdi av den drivende kraften. Med andre ord, mobiliteten for elektroner og hull er generelt forskjellige:

μ_{n} ≠ μ_{p}

a) Eksperimentet utføres ved at Hallprøven påtrykkes en spenning, og dermed et elektrisk felt E_{x} i x-retningen. Magnetfeltet B_{z} i z-retningen fører til at ladningsbærerne avbøyes i yretningen og etablerer et elektrisk felt E_{y} i y-retningen. Det er med andre ord ingen (netto) bevegelse i z-retningen, så vi kan skrive

v⃗_{i} = v_{ix}x̂ + v_{iy}ŷ ; i = n, p

for driftshastigheten til elektronene (i = n) og hullene (i = p). Uttrykk de ulike komponentene av driftshastighetene (dvs v_{nx}, v_{ny}, v_{px}, v_{py}) ved mobilitetene (μ_{n}, μ_{p}) og feltene (E_{x}, E_{y}, B_{z}). Tips: Anta at driftshastigheter i x-retningen ikke påvirkes av magnetfeltet. Med andre ord, anta at v_{iy}B_{z} ≪ E_{x}.

b) Når driftshastighetene er kjent, kan vi også beregne strømtettheten j⃗:

j⃗ = −nev⃗_{n} + pev⃗_{p} = j_{x}x̂ + j_{y}ŷ

Ved stasjonære forhold har vi j_{y} = 0. Bruk dette til å vise at Hallkonstanten R_{H} blir som oppgitt på side 1.

c) På neste forelesning skal vi se at en helt ren, perfekt krystallinsk halvleder (f.eks. Si) vil ha like mange mobile elektroner og hull, dvs n = p. Vi skal også se at ved å bytte ut en andel av atomene i krystallen med andre typer atomer (såkalte forurensninger), kan vi lage halvledere med i hovedsak elektroner som ladningsbærere, dvs n ≫ p, eventuelt med i hovedsak hull som ladningsbærere, dvs p ≫ n. Dette kalles da henholdsvis n-type og p-type halvledere. Hva blir R_{H} for en n-type og en p-type halvleder?