Institutt for fysikk, NTNU FY1303 Elektrisitet og magnetisme Høst 2004

Løsningsforslag til øving 2

Veiledning onsdag 1. september

Oppgave 1

a) Dersom konduktiviteten er proporsjonal med tettheten av mobile ladninger, må vi øke ladningstettheten med en faktor 10^{7} for å oppnå en tilsvarende økning i konduktiviteten. Det betyr at ladningstettheten må økes fra 1.45 · 10^{10} pr cm^{3} til 1.45 · 10^{17} pr cm^{3}, som dermed blir antall fosforatomer som må tilføres. [Egentlig differansen mellom disse to tallene, men 1.45 · 10^{10} er jo tilnærmet lik null i forhold til 1.45 · 10^{17}.]

b) I silisium har vi 5 · 10^{22} atomer pr cm^{3}. Brøkdelen atomer som erstattes av fosfor er dermed

\frac{n_{P}}{n_{Si}} = \frac{1.45 · 10^{17}}{5 · 10^{22}} = 2.9 · 10^{−6}

Altså tilstrekkelig å bytte ut ett av ca 350000 Si-atomer med fosfor for å øke konduktiviteten med en faktor 10^{7}!

Oppgave 2

I forelesningene fant vi følgende uttrykk for Hall-spenningen V_{H}:

V_{H} = \frac{1}{nq} jBw

der j = I/A er strømtettheten, B er magnetfeltet, w er Hall-prøvens tykkelse, n er tettheten av mobile ladninger, og q er ladningen pr ladningsbærer, |q| = e = 1.6 · 10^{−19} C. Ifølge oppgaven bidrar et fosforatom i silisium med ett elektron, slik at de mobile ladningene er negative i dette tilfellet. Her spiller fortegnet liten rolle, det var kun spørsmål om antall ladninger. Med de oppgitte tallene finner vi

n = \frac{IBw}{eAV_{H}} = \frac{2.5 · 10^{−3} · 0.8 · 10^{−3}}{1.6 · 10^{−19} · 3 · 10^{−6} · 2.0 · 10^{−3}} = \frac{1}{4.8} · 10^{22} ≃ 0.2 · 10^{22}pr m^{3}

Følgelig er tettheten av fosforatomer i Hall-prøven ca 0.2 · 10^{16} pr cm^{3}.

Oppgave 3

I rent Ge har vi like mange hull i valensbåndet som elektroner i ledningsbåndet, dvs n_{i} = p_{i} (i for “intrinsikk”). Det betyr at produktet er n_{i} · p_{i} = 9 · 10^{26}. Etter tilsats av 10^{17} As-atomer pr cm^{3} har vi en elektrontetthet n tilnærmet lik 10^{17}. Produktet av n og p er uforandret, så hulltettheten må nå være

p = \frac{9 · 10^{26}}{10^{17}} = 9 · 10^{9},

altså redusert til ca 1/10000 av sin opprinnelige verdi. Det som har skjedd er følgende: Tilførsel av As-atomer og frigivelse av ett elektron pr As-atom til ledningsbåndet forstyrrer elektron-hull likevekten (på samme måte som tilsats av en syre forstyrrer likevekten mellom [OH^{−}] og [H_{3}O^{+}] i vann). Overskuddet på elektroner fører midlertidig til en større rekombinasjonsrate (dvs: elektroner faller ned fra ledningsbånd til valensbånd og rekombinerer med hull) enn generasjonsrate (dvs: elektroner eksiteres fra valensbånd opp i ledningsbåndet og genererer elektron-hull par), inntil likevekt er gjenopprettet, uttrykt ved n · p = 10^{26}. Alternativt kunne vi tenke slik: Start med T = 0 og As-atomene på plass. Til å begynne med er systemet i grunntilstanden, med n = p = 0 og ingen As-atomer ionisert. Når temperaturen økes, vil det være mye lettere å rive løs et elektron fra hvert As-atom enn å eksitere elektroner fra valensbåndet til ledningsbåndet. Ved romtemperatur er så godt som alle As-atomene ionisert, mens langt færre elektroner er eksitert fra valens- til ledningsbånd. Termisk likevekt er en dynamisk likevekt (derav termodynamisk!) der ledningselektroner i middel faller like ofte ned i valensbåndet som valenselektroner eksiteres opp til ledningsbåndet. Dopingen med As-atomer har resultert i at det totale antall ladningsbærere har økt dramatisk: Før tilsats av arsen hadde vi n_{i} + p_{i} = 6 · 10^{13} ladningsbærere pr cm^{3}. Etter tilsats av arsen har vi n + p ≃ n = 10^{17} ladningsbærere pr cm^{3}.