Institutt for fysikk, NTNU FY1303 Elektrisitet og magnetisme Høst 2004

Øving 3

Veiledning: Onsdag 8. september Innleveringsfrist: Mandag 13. september

I endel problemer har man gitte (frie, målbare) strømmer I i kombinasjon med magnetiske materialer, hvoretter oppgaven består i å bestemme det resulterende magnetfeltet B i systemets ulike områder. Da er det ofte nyttig å kjenne til såkalte grenseflatebetingelser for magnetfeltet, dvs hvordan B endrer seg idet vi krysser en grenseflate mellom to materialer med forskjellig permeabilitet μ (f.eks. luft og jern). I oppgave 1 skal vi se hvordan grenseflatebetingelsene for B følger av Maxwells ligninger. I oppgave 2 ser vi så på et eksempel der vi kombinerer de utledete grenseflatebetingelsene med Amperes lov for å beregne magnetfeltet i en smal luftspalte i en smultringformet spole med jernkjerne.

Oppgave 1

Bruk de to Maxwell-ligningene

∮ B · dl = μ_{0}I_{in}
∮ B · dA = 0

(hhv Amperes lov og Gauss’ lov) til å vise at diskontinuiteten (“spranget”) i magnetfeltet B når vi krysser et strømførende plan med strøm pr lengdeenhet i er

ΔB = μ_{0} i × n̂

Her er n̂ en enhetsvektor normalt til planet, med retning slik at ΔB i figuren nedenfor blir en vektor mot høyre:

Tips: Bruk Gauss’ lov for B til å vise at B_{n}, dvs komponenten av B normalt til planet, er kontinuerlig når vi krysser det strømførende planet. En fornuftig gaussflate er en fyrstikkeske med to av sideflatene parallelt med planet, beliggende på hver sin side av planet. Bruk deretter Amperes lov til å vise at B_{t∥} også er kontinuerlig ved kryssing av planet, mens B_{t⊥} er diskontinuerlig med et sprang μ_{0}i. Her betrakter vi komponenten B_{t} av B tangentielt til planet. Denne kan igjen dekomponeres i en komponent parallelt med strømretningen, B_{t∥}, og en komponent normalt til strømretningen, B_{t⊥}. Fornuftige amperekurver for denne delen av oppgaven er rektangler beliggende symmetrisk i forhold til det strømførende planet (jfr oppgave 2 i øving 13 i vår), med ulik orientering i forhold til strømretningen, avhengig av om vi skal ende opp med en grenseflatebetingelse for B_{t∥} eller B_{t⊥}. Følgende figur kan muligens være til hjelp:

Kontroller til slutt at de tre grenseflatebetingelsene du har endt opp med, for hhv B_{n}, B_{t∥} og B_{t⊥}, kan sammenfattes i den oppgitte ligningen for ΔB.

Oppgave 2

En smultringformet ring (toroide) av jern har relativ permeabilitet μ_{r}. Midlere radius i toroiden er R. Tverrsnittradien r til toroiden er mye mindre enn R slik at vi kan anta at radius R gjelder for hele ringen. Rundt jernkjernen er det viklet opp en ledning som fører en strøm I og har N viklinger (se figur). Anta at viklingene er jevnt og tett fordelt rundt hele toroiden. Det er skåret bort en liten bit av toroidekjernen med bredde x. Den resulterende spalten er luftfylt. Så lenge x er liten, kan vi med brukbar tilnærmelse anta at magnetfeltet B, og dermed også H, er tangentielt rettet, både inne i jernringen og i det luftfylte gapet.

a) Bruk Amperes lov for H til å vise at

LH_{j} + xH_{g} = NI

Her er L = 2πR − x, og indeks j og g angir hhv jern og gap.

b) Vis at, ettersom normalkomponenten av B er kontinuerlig (jfr oppgave 1), er H_{g} = μ_{r}H_{j}.

c) Bruk resultatene i a og b til å vise at

B_{g} = \frac{μ_{r}(L + x)}{L + μ_{r}x}B_{0}

der B_{0} er magnetfeltet vi ville hatt uten jernkjernen til stede.

d) Anta at R = 10 cm, NI = 1000 A og μ_{r} = 1000. Hva blir da B_{0}, dvs feltet i en luftfylt toroide? Hva blir B i toroiden med jernkjerne men uten luftgap? Regn ut og skisser forholdet B_{g}/B_{0} som funksjon av luftgapets bredde x mellom 1 og 10 mm.

Amperes lov for H:

∮ H · dl = I_{fri}