Institutt for fysikk, NTNU FY1303 Elektrisitet og magnetisme Høst 2004

Løsningsforslag til øving 4

Veiledning onsdag 15. september

a) Med motstand R og kapasitans C i serie:

V_{0} cos ωt = RI + \frac{Q}{C}

(Kirchhoffs spenningsregel) La oss først benytte anledningen til å reklamere for å bruke kompleks notasjon, ved å løse oppgaven uten kompleks notasjon! En partikulærløsning av differensialligningen

RQ̇ + \frac{Q}{C} = V_{0} cos ωt

vil generelt være på formen

Q(t) = a cos ωt + b sin ωt

eller, ekvivalent, på formen

Q(t) = Q_{0} cos(ωt + β)

Med den siste formen innsatt i ligningen fås

−ωRQ_{0} sin(ωt + β) + \frac{Q_{0}}{C} cos(ωt + β) = V_{0} cos ωt

For å bestemme Q_{0} og β bruker vi

cos(ωt + β) = cos ωt cos β − sin ωt sin β

og

sin(ωt + β) = sin ωt cos β + cos ωt sin β

Sammenligning av koeffisienter foran cos ωt og sin ωt gir da

−ωRQ_{0} sin β + \frac{Q_{0}}{C} cos β = V_{0}
−ωRQ_{0} cos β − \frac{Q_{0}}{C} sin β = 0

Den siste av disse to fastlegger fasevinkelen β:

tan β = −ωRC

Da følger det at

\frac{sin^{2} β}{cos^{2} β} = (ωRC)^{2}

dvs

\frac{1 − cos^{2} β}{cos^{2} β} = (ωRC)^{2}

eller

cos β = \frac{1}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

Da kan vi bestemme Q_{0} fra den første av de to ligningene ovenfor:

−ωRQ_{0} sin β + \frac{Q_{0}}{C} cos β = V_{0}

⇒ \frac{Q_{0}}{C} (1 − ωRC tan β) = \frac{V_{0}}{cos β}
⇒ Q_{0} = \frac{V_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

Med andre ord:

Q(t) = \frac{V_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}} cos (ωt − arctan ωRC)

Strømmen I(t) blir den tidsderiverte av Q:

I(t) = −\frac{ωV_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}} sin (ωt − arctan ωRC)

Vi har generelt at

− sin x = cos(x + π/2)

så vi kan skrive I(t) på formen

I(t) = |I_{0}| cos (ωt − α)

med

|I_{0}| = \frac{ωV_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

og

α = arctan ωRC − \frac{π}{2}

Litt kronglete, men overkommelig for en så enkel krets. Likefullt kan en vel se for seg at dette kan bli bortimot uhåndterbart for litt mer kompliserte kretser. La oss bruke kompleks notasjon og overbevise oss om at vi får samme svar, bare på en enklere måte. Vi setter

V (t) = V_{0}e^{iωt}

og tilsvarende for Q og I. Kirchhoffs spenningsregel gir da

RQ_{0}iωe^{iωt} + \frac{Q_{0}}{C} e^{iωt} = V_{0}e^{iωt}

dvs

Q_{0} = \frac{V_{0}C}{1 + iωRC}

med absoluttverdi

|Q_{0}| = \frac{V_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

og fasevinkel

β = − arctan ωRC

Strømmen blir

I(t) = Q̇ = iωQ_{0}e^{iωt} = \frac{iωV_{0}C}{1 + iωRC} e^{iωt}

dvs

I_{0} = \frac{iωV_{0}C}{1 + iωRC} = \frac{ωV_{0}C}{ωRC − i}

med absoluttverdi

|I_{0}| = \frac{ωV_{0}C}{\sqrt{1 + (ωRC)^{2}}}

og fasevinkel (idet vi setter I_{0} = |I_{0}| exp(−iα))

α = − arctan \frac{1}{ωRC}

Altså samme svar, men mye mindre arbeid... (Du kan jo sjekke selv at fasevinkelen virkelig ble den samme, dvs du må sjekke at arctan x − π/2 = − arctan 1/x.)

Til slutt: Er resultatet rimelig? La oss sjekke grensene “små” og “store” frekvenser:

ω → 0 : |I_{0}| → 0 og α → − arctan ∞ = −\frac{π}{2}

Dette virker fornuftig: Null likestrøm gjennom en kondensator. Dermed hele spenningsfallet over kondensatoren, og (-) 90 graders faseforskjell mellom spenning og strøm (dvs: den bittelille strømmen som går der dersom ω er bittelitt forskjellig fra null), alternativt β → 0, dvs null faseforskjell mellom påtrykt spenning og ladning på kondensatoren.

ω → ∞ : |I_{0}| → \frac{ωV_{0}C}{ωRC} = \frac{V_{0}}{R} og α → − arctan 0 = 0

Dette virker også fornuftig: Hele den påtrykte spenningen gjenfinnes som spenningsfall over motstanden. Strømamplituden |I_{0}| kan ikke bli større enn V_{0}/R. Sammenhengen mellom ladningsamplituden |Q_{0}| og strømamplituden |I_{0}| er |I_{0}| = ω|Q_{0}|. Når ω blir stor og |I_{0}| er begrenset til V_{0}/R, må det bety at |Q_{0}| må bli liten. b) Med motstand R og kapasitans C i parallell:

V_{0} cos ωt = RI_{R} = \frac{Q}{C}

(dvs Kirchhoffs spenningsregel anvendt på begge sløyfene). Videre

I = I_{R} + I_{C} = I_{R} + Q̇

(dvs Kirchhoffs strømregel). Her er det faktisk omtrent like enkelt å regne med reell eller kompleks formalisme. Jeg velger den komplekse:

V (t) = V_{0}e^{iωt}

Dermed:

I_{R} = \frac{V}{R} = \frac{V_{0}}{R} e^{iωt}

og

Q = V C = V_{0}Ce^{iωt}

Altså, for total strøm:

I = I_{R} + Q̇ = (\frac{V_{0}}{R} + iωV_{0}C) e^{iωt} = \frac{V_{0}}{R} (1 + iωRC) e^{iωt}

Fysisk (total) strøm på formen

I(t) = |I_{0}| cos(ωt − α)

gir amplitude

|I_{0}| = \frac{V_{0}}{R} \sqrt{1 + (ωRC)^{2}}

og fasevinkel

α = − arctan ωRC

“Grensesjekk”:

ω → 0 : |I_{0}| → \frac{V_{0}}{R} og α → − arctan 0 = 0

Dette virker fornuftig: Null likestrøm gjennom kondensatoren, all strøm gjennom motstanden.

ω → ∞ : |I_{0}| → ωV_{0}C(→ ∞) og α → − arctan ∞ = −π/2

Dette virker også fornuftig: Maksimal ladning på kondensatoren, Q_{0} = V_{0}C, oppnås veldig raskt, så strømmen inn på kondensatoren, I_{C} = ωV_{0}C, blir stor. Strømmen gjennom motstanden, I_{R} = V_{0}/R, er gitt ved Ohms lov og svinger i fase med den påtrykte spenningen, uavhengig av om ω er stor eller liten. Total strøm domineres imidlertid av I_{C}, så fasevinkelen blir den samme som i en V C-krets.

c) Med motstand R og induktans L i serie:

V − Lİ = RI

dvs

Lİ + RI = V_{0} cos ωt

Med kompleks notasjon, V = V_{0} exp(iωt), I = I_{0} exp(iωt), får vi

LiωI_{0} + RI_{0} = V_{0}

eller

I_{0} = \frac{V_{0}}{R + iωL}

med absoluttverdi

|I_{0}| = \frac{V_{0}}{\sqrt{R^{2} + ω^{2}L^{2}}}

og fasevinkel (igjen, med I_{0} på formen |I_{0}| exp(−iα))

α = arctan \frac{ωL}{R}

“Grensesjekk”:

ω → 0 : |I_{0}| → \frac{V_{0}}{R} og α → arctan 0 = 0

Dette virker fornuftig: Med likespenning representerer spolen rett og slett en kortslutning, og kretsen består bare av spenningskilden og motstanden.

ω → ∞ : |I_{0}| → \frac{V_{0}}{ωL} → 0 og α → arctan ∞ = π/2

Dette virker også fornuftig: Påtrykt spenning svinger så raskt at vi ikke får etablert noen strøm gjennom spolen. Hele den påtrykte spenningen gjenfinnes som en indusert motspenning i spolen. Dermed null spenningsfall over motstanden, og null strøm. Fasevinkelen α blir som i V L-kretsen. Vi kan også tenke slik: Spenningsfallet over motstanden har amplitude R|I_{0}|. Spenningsfallet over induktansen har amplitude Lω|I_{0}|. Ingen av disse kan uansett bli større enn amplituden til den påtrykte spenningen V_{0}. Dermed, hvis ω blir tilstrekkelig stor, nærmere bestemt hvis ω ≫ R/L, må |I_{0}| bli liten.

Skisse av strømamplituden: