Institutt for fysikk, NTNU FY1303 Elektrisitet og magnetisme Høst 2004

Løsningsforslag til øving 5

Veiledning onsdag 22. september

a) Magnetfeltet inne i en uendelig lang spole med viklingstetthet N/d og fylt med et magnetiserbart medium med relativ permeabilitet μ_{r} er

B = μ_{0}μ_{r}NI/d

Her er I fri strøm, dvs strømmen i spoletråden. Spolens tverrsnitt har areal A. Det betyr at N viklinger av spoletråden omslutter en magnetisk fluks

ϕ = NBA = N^{2}μ_{0}μ_{r} \frac{A}{d}I

Selvinduktans L er pr definisjon

L = \frac{ϕ}{I}

slik at

L_{i} = N_{i}^{2}μ_{0}μ_{r} \frac{A}{d}

for spole nr i (i = 1, 2).

b) Primærkretsen består av en motstand R_{1} koblet i serie med en induktans L_{1} = N_{1}^{2}μ_{0}μ_{r}A/d. Da finner vi total impedans ved simpelthen å legge sammen enkeltimpedansene:

Z_{1}(ω) = R_{1} + iωL_{1}

c) Impedansen for en kapasitans C er 1/iωC, slik at impedansen til sekundærkretsen blir

Z_{2}(ω) = R_{2} + \frac{1}{iωC}

Det er umiddelbart klart at for vinkelfrekvenser ω ≫ 1/R_{2}C kan vi neglisjere den imaginære delen (den såkalte reaktansen) av Z_{2}.

d) Spenningskilden i sekundærkretsen er den induserte motspenningen i spole 2 som følge av endringen i den magnetiske fluksen som omsluttes av de N_{2} viklingene på spolen. Denne spenningen blir

E_{2} = ϕ̇_{2} = N_{2}AḂ

Med tilnærmelsen Z_{2} ≃ R_{2} har vi

Q̇ = I_{2} = \frac{E_{2}}{R_{2}} = \frac{N_{2}AḂ}{R_{2}}

Med andre ord:

V_{C} = \frac{Q}{C} = \frac{N_{2}AB}{R_{2}C}

For lavere verdier av frekvensen må vi sette Z_{2} = R_{2} + 1/iωC. Da blir

Q̇ = I_{2} = \frac{E_{2}}{Z_{2}} = \frac{N_{2}AḂ}{R_{2} + 1/iωC}

slik at

V_{C} = \frac{Q}{C} = \frac{N_{2}AB}{R_{2}C + 1/iω}

med absoluttverdi

|V_{C}| = \frac{N_{2}AB}{\sqrt{(R_{2}C)^{2} + 1/ω^{2}}}

Kommentarer:

• Dersom vi (som her) “trekker” en strøm I_{2} i sekundærkretsen, får vi generert et bidrag til magnetfeltet i jernkjernen motsatt rettet det som genereres av strømmen I_{1} i primærkretsen. Dette har vi neglisjert i beregningene våre, og for at det skal være i orden, må vi ha I_{2} liten i forhold til I_{1}, med andre ord |Z_{2}| ≫ |Z_{1}|. (Dette er oppfylt med god margin i laboppgaven, ettersom R_{2} ≫ R_{1} og samtlige reaktanser er små i forhold til resistansene.) Hvis dette ikke var tilfelle, måtte vi ta hensyn til at magnetfeltet i de to spolene påvirkes både av strømmen i spolen selv (dvs selvinduksjon), men også av strømmen i den andre spolen (dvs gjensidig induksjon). I regningene over har vi kun tatt hensyn til selvinduksjon i spole 1 og gjensidig induksjon i spole 2.

• Med en harmonisk spenningskilde V_{0} cos ωt ( → V_{0} exp iωt på kompleks form) vil samtlige involverte “signaler” (magnetfelt i spolene, spenningsfall over motstander og kondensator, strømmer etc) svinge på samme måte, dvs med samme frekvens. Vi vet da umiddelbart at alle disse blir på samme form, dvs

Q(t) = Q_{0}e^{iωt}
I_{2}(t) = I_{20}e^{iωt}
B(t) = B_{0}e^{iωt}

osv. De ulike amplitudene Q_{0} etc. vil da generelt bli komplekse størrelser, med informasjon om både absoluttverdi og fasevinkel i forhold til påtrykt spenning, f.eks.

Q_{0} = |Q_{0}|e^{iα_{Q}}

Vi ser at med tilnærmelsen Z_{2} ≃ R_{2} vil Q (og dermed V_{C}) svinge i fase med magnetfeltet B. Med Z_{2} = R_{2} + 1/iωC ser vi at vi får en faseforskjell mellom Q og B gitt ved

− arctan \frac{1}{ωR_{2}C}