Institutt for fysikk, NTNU FY1303 Elektrisitet og magnetisme Høst 2004

Øving 6 (litt signalanalyse)

Veiledning: Onsdag 29. september Innleveringsfrist: Mandag 4. oktober

a) Tegn opp funksjonene

u_{1}(t) = − cos ωt
u_{3}(t) = u_{1}(t) − \frac{1}{9} cos 3ωt
u_{5}(t) = u_{3}(t) − \frac{1}{25} cos 5ωt

i intervallet 0 ≤ t ≤ 2π/ω (dvs over en periode av u_{1}). Tegn også opp funksjonene

v_{1}(t) = sin ωt
v_{3}(t) = v_{1}(t) + \frac{1}{3} sin 3ωt
v_{5}(t) = v_{3}(t) + \frac{1}{5} sin 5ωt

i det samme intervallet. (Plottetips på side 3.)

b) Med utgangspunkt i oppgave a), hvordan tror du funksjonene

f(t) = − ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{1}{n^{2}} cos nωt

og

g(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{1}{n} sin nωt

blir seende ut?

c) En spenningskilde

V_{inn}(t) = V_{0} ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{sin nωt}{n}

er koblet til en RC-krets, som vist i figuren:

Hvis vi her velger å benytte en kompleks notasjon,

V_{inn}(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{V_{0}}{n} e^{inωt},

og tilsvarende for f.eks. ladningen Q på kondensatoren,

Q(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} Q_{n}e^{inωt},

må vi huske på at fysiske spenninger, ladninger etc er representert ved imaginærdelen, ettersom

sin ωt = Im e^{iωt}

Vis at dersom vi legger “utgangssignalet” V_{ut}(t) over kondensatoren, får vi (på kompleks form)

V_{ut}(t) = \frac{Q}{C} = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{V_{0}}{n(1 + inωRC)}e^{inωt}

d) Vis at det fysiske (reelle) spenningssignalet over kondensatoren da kan skrives på formen

V_{ut}(t) = ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} V_{n}^{ut} sin(nωt + ϕ_{n})

og bestem de såkalte “Fourier-koeffisientene” V_{n}^{ut} og de tilhørende fasevinklene ϕ_{n}.

e) Vi antar nå at vinkelfrekvensen ω er stor, dvs at ωRC ≫ 1

Vis at spenningssignalet over kondensatoren da blir på formen

V_{ut}(t) = −V_{0} ∑_{n=1,3,5,...}^{∞} \frac{1}{n^{2}ωRC} cos nωt

Hva slags matematisk “operasjon” på inngangssignalet representerer dermed utgangssignalet for slike høye frekvenser?

Oppgitt:

arctan x ≃ \frac{π}{2}

dersom x ≫ 1.

Et par tips for den som ikke allerede har sitt ”favorittopplegg” for kurvetegning:

Med gnuplot (linux, unix):

hostname:~$ gnuplot
gnuplot> set data style lines
gnuplot> set xrange [0:6.283]
gnuplot> f(x) = sin(x) + sin(3*x)/3 + sin(5*x)/5
gnuplot> plot f(x)

Med matlab:

hostname:~$ matlab

...eller hvordan du nå måtte starte opp matlab. Deretter i ”Command window”:

>> x = 0:pi/100:2*pi;
>> f = sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5;
>> plot (x,f)

Begge disse variantene skulle gi et plott av funksjonen v_{5}. Fortsett gjerne med v_{7} osv. så ser du tydelig hvor dette bærer hen.