Institutt for fysikk, NTNU FY1303 Elektrisitet og magnetisme Høst 2004

Løsningsforslag til øving 7

Veiledning onsdag 6. oktober

Vi har utledet et generelt uttrykk for total effekt overført fra vekselspenningskilden V_{0} cos ωt til kretsen:

⟨P ⟩ ≡ \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} P (t) dt = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} V (t)I(t) dt = \frac{1}{2}V_{0}|I_{0}| cos α

Her er da

I(t) = |I_{0}| cos(ωt − α)

den totale strømmen som går i kretsen. Vi har sammenhengene

|I_{0}| = \frac{V_{0}}{|Z|}
Z = R + iX = |Z|e^{iα}
tan α = \frac{X}{R}
cos α = \frac{R}{|Z|}
|Z| = \sqrt{R^{2} + X^{2}}

så alternative uttrykk for midlere total effekt er

⟨P ⟩ = \frac{V_{0}^{2}R}{2|Z|^{2}} = \frac{V_{0}^{2}R}{2 (R^{2} + X^{2})}

Så langt generelt! La oss se hva dette gir for kretsen vår. Impedansen er

Z = R_{0} + R_{1} + iωL

slik at

R = R_{0} + R_{1}

og

X = ωL

Dermed har vi for totaleffekten:

⟨P ⟩ = \frac{V_{0}^{2} (R_{0} + R_{1})}{2 [(R_{0} + R_{1})^{2} + (ωL)^{2}]}

Innsetting av oppgitte tallverdier (ωL = 2πfL = 2π · 50 · 0.16 = 50.265 Ω, R_{0} + R_{1} = 60 Ω, V_{0} = 310 V) gir

⟨P ⟩ = 470.57 W ≃ 471 W

Her er det vel temmelig opplagt hvordan totaleffekten fordeler seg på kretsens to motstander ettersom summen av R_{0} og R_{1} inngår i uttrykket for ⟨P ⟩:

⟨P_{0}⟩ = \frac{V_{0}^{2}R_{0}}{2 [(R_{0} + R_{1})^{2} + (ωL)^{2}]} = \frac{⟨P ⟩}{6} = 78.43 W ≃ 78 W

⟨P_{1}⟩ = \frac{V_{0}^{2}R_{1}}{2 [(R_{0} + R_{1})^{2} + (ωL)^{2}]} = \frac{5⟨P ⟩}{6} = 392.14 W ≃ 392 W

Samme strøm passerer gjennom begge motstander, så uttrykket for utviklet effekt i hver av dem må rimeligvis bli på samme form. For å være helt sikker regner vi ut f.eks. ⟨P_{0}⟩ fra ”scratch”: Spenningsfallet over R_{0} er R_{0}I dersom det går en strøm I gjennom den. Instantan effekt i R_{0} er dermed P_{0}(t) = R_{0}I(t) · I(t) = R_{0}I(t)^{2}, slik at midlere effekt blir

⟨P_{0}⟩ = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} R_{0}I^{2}dt
= \frac{ω}{2π} ∫_{0}^{2π/ω} R_{0}|I_{0}|^{2} cos^{2}(ωt − α) dt

Integralet av cos^{2} x over en hel periode av argumentet x er lik 1/2 slik at

⟨P_{0}⟩ = \frac{ω}{2π} · R_{0}|I_{0}|^{2} · \frac{1}{2} · \frac{2π}{ω} = \frac{1}{2}R_{0}|I_{0}|^{2} = \frac{R_{0}V_{0}^{2}}{2|Z|^{2}}

Samme framgangsmåte gir selvsagt et tilsvarende uttrykk for ⟨P_{1}⟩.

Ved første øyekast kan det kanskje se ut som om utnyttelsesgraden ⟨P_{1}⟩/(⟨P_{0}⟩ + ⟨P_{1}⟩) ikke kan bli større enn det tilsvarende forholdet mellom lastmotstand og totalmotstand, R_{1}/(R_{0} + R_{1}). La oss imidlertid se hva som skjer dersom vi kobler inn en ”passende” kapasitans C i parallell med R_{1} og L. Vi starter med å regne ut kretsens totale impedans:

Z = R_{0} + [iωC + \frac{1}{R_{1} + iωL}]^{−1}
= R_{0} + [iωC + \frac{R_{1}}{R_{1}^{2} + (ωL)^{2}} − iω \frac{L}{R_{1}^{2} + (ωL)^{2}} ]^{−1}

Dette kan vi skrive ned på direkten, ettersom vi vet hva impedansen til hver enkelt komponent er, og dessuten kjenner reglene for å regne ut total impedans til serie- og parallellkoblede impedanser. Vi ser nå at ved å velge en kapasitans C = L/ (R_{1}^{2} + (ωL)^{2}), forsvinner imaginærdelen (den såkalte reaktansen X) til impedansen, og vi står igjen med

Z = R_{0} + \frac{R_{1}^{2} + (ωL)^{2}}{R_{1}} = R_{0} + R_{1} + \frac{(ωL)^{2}}{R_{1}}

Siden Z nå er en reell størrelse, har vi selvsagt Z = R = |Z| og α = 0, dvs V og total strøm I svinger i fase. Amplituden til I blir

|I_{0}| = \frac{V_{0}}{|Z|} = \frac{V_{0}}{R_{0} + R_{1} + (ωL)^{2} /R_{1}}

og vi kan regne ut både totaleffekten,

⟨P ⟩ = \frac{V_{0}^{2}}{2R} = \frac{V_{0}^{2}}{2 (R_{0} + R_{1} + (ωL)^{2} /R_{1})}

og effekten tapt i spenningskildens indre motstand,

⟨P_{0}⟩ = \frac{1}{2}R_{0}|I_{0}|^{2} = \frac{R_{0}V_{0}^{2}}{2R^{2}} = \frac{R_{0}V_{0}^{2}}{2 (R_{0} + R_{1} + (ωL)^{2} /R_{1})^{2}}

Innsetting av aktuelle tallverdier gir ⟨P ⟩ = 434.71 W ≃ 435 W og ⟨P_{0}⟩ = 39.33 W ≃ 39 W. Differansen mellom disse må da tilsvare overført effekt til R_{1},

⟨P_{1}⟩ = ⟨P ⟩ − ⟨P_{0}⟩ = 395.38 W ≃ 395 W

som utgjør ca 91 % av den totale effekten. Så hva er det egentlig som foregår? Vi ser at ⟨P_{1}⟩, og dermed (amplituden til) I_{1}, er omtrent like stor i de to kretsene, mens ⟨P_{0}⟩, og dermed (amplituden til) I, har blitt betydelig redusert. Dette oppnås ved at kondensatorstrømmen I_{C} svinger med ”riktig” fasevinkel i forhold til I og I_{1}, slik at spenningskilden kan levere en redusert strømstyrke I uten at ”laststrømmen” I_{1} påvirkes i særlig grad. La oss regne ut hva de ulike strømbidragene blir, både med amplituder og fasevinkler. Vi har allerede slått fast at I svinger i fase med V, så

I(t) = |I_{0}| cos ωt

med amplitude

|I_{0}| = \frac{V_{0}}{Z} = \frac{310}{10 + 50 + 50.265^{2}/50} = 2.80 A

Kirchhoffs spenningslov gir oss for ladningen Q på kondensatoren:

\frac{Q}{C} = V − R_{0}I

Med I i fase med V må da også Q svinge i fase med V. På kompleks form:

Q = C(V_{0} − R_{0}|I_{0}|)e^{iωt}

slik at kondensatorstrømmen blir

I_{C} = \frac{dQ}{dt} = iωC(V_{0} − R_{0}|I_{0}|)e^{iωt} = ωC(V_{0} − R_{0}|I_{0}|)e^{i(ωt+π/2)}

dvs for fysisk strøm:

I_{C}(t) = ωC(V_{0} − R_{0}|I_{0}|) cos(ωt + π/2) = 2.83 A cos(ωt + π/2)

Kirchhoffs spenningslov gir oss også laststrømmen I_{1}:

R_{1}I_{1} + L\frac{dI_{1}}{dt} = V − R_{0}I

Innsetting av V, I og I_{1} på kompleks form gir

(R_{1}I_{10} + iωLI_{10}) e^{iωt} = (V_{0} − R_{0}|I_{0}|) e^{iωt}

og dermed

I_{10} = \frac{V_{0} − R_{0}|I_{0}|}{R_{1} + iωL} = \frac{V_{0} − R_{0}|I_{0}|}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ωL)^{2}}} e^{−i arctan(ωL/R_{1})}

Med andre ord,

I_{1}(t) = |I_{10}| cos(ωt − α_{1})

med amplitude

|I_{10}| = \frac{V_{0} − R_{0}|I_{0}|}{\sqrt{R_{1}^{2} + (ωL)^{2}}} = 3.98 A

og fasevinkel

α_{1} = arctan (ωL/R_{1}) = 45.2^{∘}

Skisse av strømbidragene:

Med de valgte positive retninger på de ulike strømmene i figuren i oppgaveteksten, er det klart, med bruk av Kirchhoffs strømregel, at I = I_{C} + I_{1}. Vi ser at dette stemmer med grafen over. Legg forøvrig merke til at spenningskilden her nettopp tilsvarer det du har i stikk-kontakten hjemme, nemlig vekselspenning med effektivverdi 310/\sqrt{2} ≃ 220 V og frekvens f = 50 Hz.