TFY4215 Innføring i kvantefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Øving 9.

Oppgave 1 En av tilstandene (en 2p-tilstand) i hydrogenatomet er ψ_{211} = R_{21}Y_{11}. (Se formelark, bøker eller Tillegg 5.) Oppgavene 1 – 6 dreier seg om denne tilstanden. Hva er de klassiske venderadiene (dvs indre og ytre grense for det klassisk tillatte området for elektronet)?

A (2 ± \sqrt{2})a_{0} B (3 ± \sqrt{2})a_{0} C (4 ± \sqrt{2})a_{0} D (3 ± 2\sqrt{2})a_{0} E (4 ± 2\sqrt{2})a_{0}

Oppgave 2 Hvor er sannsynlighetstettheten ρ_{211} = |ψ_{211}|^{2} størst?

A På z-aksen i z = ±a_{0} B På z-aksen i z = ±2a_{0} C I xy-planet på en sirkel med radius a_{0} D I xy-planet på en sirkel med radius 2a_{0} E I origo

Oppgave 3 Tilstanden ψ_{211} er egenfunksjon til paritetsoperatoren P̂. Hva er tilhørende egenverdi?

A −2 B −1 C 0 D 1 E 2

Oppgave 4 Hvor (i det klassisk tillatte området) er sannsynlighetstettheten ρ_{211} lik null?

A På z-aksen B På y-aksen C På x-aksen D I xy-planet E Ingen steder

Oppgave 5 Radialtettheten u_{21}^{2} = (R_{21} r)^{2} er størst i … A origo B r = a_{0} C r = 2a_{0} D r = 4a_{0} E r = 8a_{0}

Oppgave 6 Dersom elektronet er eksitert til tilstander med hovedkvantetall n = 3, kan atomet emittere et foton slik at elektronet havner i tilstanden ψ_{211}. Fra hvor mange (romlige) tilstander med n = 3 er en slik overgang mulig, når utvalgsreglene Δl = ±1 og Δm = 0, ±1 skal oppfylles?

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5

\underline{OPPGAVE 20} Grunntilstanden i hydrogenlignende atom

I denne oppgaven våger vi oss igjen ut i den tredimensjonale verden, og ser på et elektron med ladning −e og masse m_{e} som beveger seg i feltet fra en ladning +Ze som ligger fast i origo, altså en forenklet modell av et såkalt hydrogenlignende atom. ^{1} Potensialet (den potensielle energien) kan da skrives på formen

V (r) = −\frac{Ze^{2}}{4πϵ_{0}} \frac{1}{r} = −\frac{Zh̄^{2}}{m_{e}a_{0}} \frac{1}{r}, der a_{0} ≡ \frac{4πϵ_{0} h̄^{2}}{m_{e} e^{2}} = 0.529 Å = 0.529 · 10^{−10} m.

Her er a_{0} den såkalte Bohr-radien, som er et naturlig lengdemål i atomfysikk. I Tillegg 1 og i en tidligere øving har vi sett på spesialtilfellet Z = 1, og fant da at dette systemet har en egenfunksjon (i realiteten grunntilstanden) på formen ψ_{1} = C_{1} exp(−r/a_{0}), med energien E_{1} = −\frac{1}{2}α^{2}m_{e}c^{2}.

\underline{a.} Det viser seg at den tilsvarende egenfunksjonen (også kalt en orbital) for Z > 1 har lignende form:

ψ = C e^{−r/a}.

Finn, ved å sette denne inn i egenverdiligningen, den korrekte verdien av a uttrykt ved a_{0} og Z, og finn energiegenverdien E uttrykt ved E_{1} og Z. Hint: Egenverdiligningen uttrykker generelt at Ĥψ skal være lik Eψ, der E er en konstant, dvs uavhengig av r i dette tilfellet. Oppgitt: Laplace-operatoren i kulekoordinater:

∇^{2} = \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{∂}{∂r} + \frac{1}{r^{2}} (\frac{∂^{2}}{∂θ^{2}} + cot θ \frac{∂}{∂θ} + \frac{1}{sin^{2} θ} \frac{∂^{2}}{∂ϕ^{2}} ) .

(Se Rottmann.) Også oppgitt:

α = \frac{e^{2}}{4πϵ_{0}h̄c} ≈ \frac{1}{137.036} (finstrukturkonstanten); 1 Rydberg = h̄^{2}/2m_{e}a_{0}^{2} = \frac{1}{2}α^{2}m_{e}c^{2} ≈ 13.6 eV.

Beskriv med ord hvordan a og E “skalerer” som funksjoner av Z.

1I det virkelige hydrogenlignende atomet er både elektronet og kjernen med ladning Ze i bevegelse omkring tyngdepunktet. Men fordi protonet er 1836 ganger tyngre enn elektronet, og en kjerne er enda tyngre, gjør vi en liten feil ved å anta at kjernen ligger i ro. I ikke-relativistisk teori er det forøvrig lett å korrigere for denne feilen, ved å erstatte elektronmassen m_{e} i modellen ovenfor med den reduserte massen μ = \frac{m_{e}M}{m_{e}+M} , der M er kjernemassen. Se “Oppsummering” side 111 i boka, og jf også oppgave 12A.