FY6019 Moderne fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2015. Løsningsforslag til øving 1.

Oppgave 1: Interferens med C_{60}–molekyler

a) C_{60}–molekyler, såkalte buckyballs, har form som en fotball, med karbonatomer i alle hjørnene av overflatens femkanter og sekskanter. I eksperimentene sublimerer materialet i en keramisk ovn ved temperatur 900 K. Hva betyr det at stoffet sublimerer?

Sublimasjon betyr at stoffet gjennomgår en faseovergang direkte fra fast stoff til gass. Dette skjer så lenge partialtrykket av stoffet i den omgivende atmosfæren er mindre enn trykket som tilsvarer stoffets trippelpunkt.

b) Bestem massen til ett slik molekyl. Avstanden mellom to nærmeste nabo karbonatomer, dvs bindingslengden, er ca 1.4 Å. Bruk dette til å anslå molekylets diameter. (Tips: Ikke foreta omstendelige geometriske utregninger; et estimat holder. Men ta med i betraktningen at ”elektronskyen” rundt atomene bidrar med ca en hel bindingslengde på utsiden, slik at ca 3 Å må legges til det du får ved å måle avstanden mellom to diametralt motsatt plasserte atomer.)

Massen til 1 karbonatom er ca 12 u, der 1 u er ca 1.66·10^{−27} kg. En buckyball har da masse 60·12·1.66·10^{−27} kg ≃ 1.2 · 10^{−24} kg. Inspeksjon av en fotball eller et bilde av en fotball eller en buckyball på nett viser at det går ca 5 bindingslengder på lengden mellom diametralt motsatte atomer. Med bindingslengde 1.4 Å er dette ca 7 Å. Et tillegg på 3 Å for elektronskyen på utsiden gir en diameter omkring 1 nm.

c) Uten hastighetsfiltrering kommer de fleste av molekylene ut av ovnen med hastigheter mellom 100 og 400 m/s, og med middelhastighet ca 200 m/s. Med et mekanisk hastighetsfilter og kollimatorer (en innretning med forholdsvis smale åpninger; se Fig. 3 i artikkelen) oppnår man en tynn stråle med molekyler med smal hastighetsfordeling omkring 117 m/s. Hva er impulsen til et molekyl med hastighet 117 m/s? Hva er kinetisk energi? Bruk svarene dine til å bestemme molekylenes bølgeegenskaper, dvs de Broglie bølgelengden λ = h/p og den tilhørende frekvensen ν = E/h.

Impuls: p = mv = 1.2 · 10^{−24} · 117 = 1.4 · 10^{−22} kg m. Kinetisk energi: K = mv^{2}/2 = 1.2 · 10^{−24} · 117^{2}/2 = 8.2 · 10^{−21} J = 0.051 eV = 51 meV. Bølgelengde: λ = h/p = 6.626 · 10^{−34}/1.4 · 10^{−22} = 4.7 · 10^{−12} m = 4.7 pm. Frekvens: ν = E/h = K/h = 8.2 · 10^{−21}/6.626 · 10^{−34} = 1.2 · 10^{13} Hz.

Molekylene sendes inn mot et diffraksjonsgitter med spalteavstand d = 100 nm. Bølger som passerer gjennom et slik diffraksjonsgitter, kan interferere konstruktivt eller destruktivt, på samme vis som i dobbeltspalteeksperimentet, som vi diskuterte på første samling. Resultatet er det samme som med to spalter: Maksimal intensitet observeres i retninger bestemt ved

d sin θ = nλ (n = 0, ±1, ±2, …),

mens minimal intensitet observeres i retninger bestemt ved

d sin θ = (n + \frac{1}{2}) λ.

Her angir θ vinkelen relativt molekylenes fartsretning før de treffer diffraksjonsgitteret (se evt side 14 i notatene). d) Hvis bølgelengden λ er liten i forhold til spalteavstanden (”gitterkonstanten”) d, blir avbøyningen θ også liten, i hvert fall for de laveste ordens interferensmaksima (n = 1, 2, …). Vis at dette er tilfelle her. Da kan beregningen av f.eks 1. ordens maksimum (n = 1) forenkles ved å bruke tilnærmelsen sin θ ≃ θ. Hva blir avbøyningsvinkelen for 1. ordens maksimum i dette eksperimentet (for molekylene med hastighet 117 m/s)? Avstanden fra diffraksjonsgitteret til detektoren er 1.2 m. Hvor stor blir da avstanden mellom 0. og 1. ordens maksimum på detektoren? Angi svaret i μm. Stemmer svaret ditt med det observerte interferensmønsteret i Fig. 7 i artikkelen?

Her er λ/d = 4.7 · 10^{−12}/100 · 10^{−9} = 4.7 · 10^{−5}, som er mye mindre enn 1. Dermed er θ = λ/d = 4.7 · 10^{−5} (radianer) for 1. ordens maksimum. Hvis vi kaller avstanden mellom 0. og 1. ordens maksimum på detektoren for z, har vi tan θ = z/L, med L = 1.2 m. Med θ ≪ 1 kan vi sette tan θ = θ, slik at z = θL = 4.7·10^{−5} ·1.2 = 5.7 · 10^{−5} m = 57 μm. Dette stemmer bra med Fig. 7 i artikkelen.

e) Til slutt vil vi vurdere om det er grunnlag for å påstå at molekylene interfererer med seg selv eller ei på sin vei gjennom diffraksjonsapparaturen. For å kunne si noe om dette, må vi kunne sammenligne relevante tids- eller lengdeskalaer, f.eks midlere (minste-)avstand L mellom to molekyler i strålen og diffraksjonsapparaturens utstrekning, målt langs strålegangen. Sistnevnte størrelse er i artikkelen oppgitt å være ca 200 nm. Det er videre oppgitt at med middelhastighet 200 m/s er partikkelfluksen ca 3 · 10^{9}, målt i enheten pr kvadratcentimeter og pr sekund. (Dvs: ca 3 milliarder molekyler passerer et tverrsnitt på en kvadratcentimeter pr sekund.) Bruk tallverdiene for partikkelfluks og middelhastighet til å beregne partikkeltettheten, dvs antall molekyler pr volumenhet i strålen. Beregn deretter midlere volum pr molekyl, og vis til slutt at dette innebærer en midlere avstand mellom molekylene L ∼ 200 μm. (Kommentar: Dette er ca 1000 ganger lenger enn diffraksjonsapparaturens utstrekning langs strålegangen. Videre kan kreftene (”vekselvirkningen”) mellom to slike molekyler i innbyrdes avstand 200 μm trygt neglisjeres. Det er derfor grunnlag for å hevde at disse knøttsmå molekylene farer gjennom apparaturen som bølger og interfererer med seg selv.)

Antall molekyler pr volumenhet i strålen (med partikkelfluks I og hastighet v): n = I/v = 3 · 10^{13}/200 = 1.5 · 10^{11} m^{−3}. Midlere volum pr molekyl: V = 1/n = 6.7 · 10^{−12} m^{3}. Dette tilsvarer en boks med sidekanter L = V^{1/3} = 1.9 · 10^{−4} m = 190 μm. Dette blir da omtrentlig avstand mellom ”nabomolekyler” i strålen, og dette er mye lenger enn apparaturens utstrekning i strålens retning. Vi må derfor konkludere med at molekylene stort sett interfererer med seg selv.

Oppgave 2: Operatorer, egenfunksjoner og egenverdier

a) Når en operator virker på en funksjon, fås vanligvis en ny funksjon. Hva blir f.eks resultatene om du lar operatoren ∂/∂x virke på funksjonene exp(−x^{2}), sin kx og cos kx?

\frac{∂ exp(−x^{2})}{∂x} = −2x exp(−x^{2})
\frac{∂ sin kx}{∂x} = k cos kx
\frac{∂ cos kx}{∂x} = −k sin kx

b) Det kan også hende at en operator anvendt på en funksjon gir som resultat samme funksjon multiplisert med en konstant. Funksjonen kalles da en egenfunksjon til vedkommende operator, og konstanten kalles en egenverdi til operatoren. Vis f.eks at exp(ikx)[= cos kx + i sin kx] er en egenfunksjon til operatoren p̂_{x} = (h̄/i)∂/∂x, og finn egenverdien.

\frac{h̄}{i} \frac{∂ exp(ikx)}{∂x} = h̄k exp(ikx),

dvs vi har fått tilbake samme funksjon som vi startet med, multiplisert med en konstant, h̄k. Følgelig er funksjonen exp(ikx) en egenfunksjon til operatoren p̂_{x} = (h̄/i)∂/∂x, og den tilhørende egenverdien er h̄k.

c) Vis at funksjonen e^{−x^{2}/2} er en egenfunksjon til operatoren

ĥ = −\frac{1}{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{1}{2}x^{2},

og bestem egenverdien. Vi trenger den 2. deriverte av den oppgitte funksjonen:

\frac{d exp(−x^{2}/2)}{dx} = −x exp(−x^{2}/2),
\frac{d^{2} exp(−x^{2}/2)}{dx^{2}} = − exp(−x^{2}/2) + x^{2} exp(−x^{2}/2).

Dermed:

ĥ exp(−x^{2}/2) = (−\frac{1}{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{1}{2}x^{2}) exp(−x^{2}/2)
= +\frac{1}{2} exp(−x^{2}/2) − \frac{x^{2}}{2} exp(−x^{2}/2) + \frac{x^{2}}{2} exp(−x^{2}/2)
= \frac{1}{2} exp(−x^{2}/2).

Dette viser at e^{−x^{2}/2} er egenfunksjon til operatoren ĥ, med egenverdi 1/2.

Oppgave 3: Noen kontrollspørsmål og små oppgaver

1. Hvilken fysisk observabel (dvs: observerbar (målbar) fysisk størrelse) svarer til operatoren

p̂_{x} = \frac{h̄}{i} \frac{∂}{∂x}?

Til operatoren p̂_{x} = (h̄/i)(∂/∂x) svarer x-komponenten av partikkelens impuls p.

2. Hvilken operator K̂ svarer til den kinetiske energien

K = \frac{1}{2}mv^{2} = p^{2}/2m?

Operatoren for kinetisk energi K(p) bestemmes ved å erstatte p med operatoren (h̄/i)∇ i det klassiske uttrykket for K. Dermed:

K̂ = \frac{(h̄/i)^{2}∇^{2}}{2m} = −\frac{h̄^{2}∇^{2}}{2m} .

3. Vis at de Broglie-bølgen Ψ_{3} = exp[i(px − p^{2}t/2m)/h̄] er en egenfunksjon til impulsoperatorene p̂_{x}, p̂_{y} og p̂_{z} og til kinetisk-energi-operatoren K̂, og bestem de respektive egenverdiene. Siden Ψ_{3} kun avhenger av x, og ikke av y eller z, er det klart at egenverdiene p_{y} og p_{z} begge er lik null. Derivasjon av Ψ_{3} mhp x gir ipΨ_{3}/h̄, som multiplisert med h̄/i gir egenverdien p_{x} = p. Derivasjon to ganger mhp x gir −p^{2}Ψ_{3}/h̄^{2}, som multiplisert med −h̄^{2}/2m gir egenverdien K = p^{2}/2m.

4. Samme sak for Ψ_{4} = exp[i(−px − p^{2}t/2m)/h̄]. Sammenlignet med Ψ_{3} så gir en gangs derivasjon samme resultet, men med motsatt fortegn, slik at her er p_{x} = −p, en plan bølge som forplanter seg i negativ x-retning (hvis p > 0). To gangers derivasjon gir samme resultat som med Ψ_{3}, slik at K blir den samme.

5. Hvilke fysiske impulser svarer de to de Broglie-bølgene ovenfor til? Ψ_{3} svarer til fysisk impuls p = p x̂, Ψ_{4} svarer til fysisk impuls p = −p x̂.

6. Vis at cos kx ikke er en egenfunksjon til p̂_{x}. Derivasjon av cosinus gir sinus, dermed kan ikke cos kx være egenfunksjon til p̂_{x}.

7. Vis at Ψ_{3} oppfyller den tidsavhengige Schrödingerligningen (SL) (T1.24) for en fri partikkel.

\frac{∂Ψ_{3}}{∂t} = −\frac{ip^{2}}{2mh̄}Ψ_{3}

og

∇^{2}Ψ_{3} = \frac{∂^{2}Ψ_{3}}{∂x^{2}} = −\frac{p^{2}}{h̄^{2}} .

Dermed er

ih̄Ψ_{3} = −\frac{h̄^{2}∇^{2}}{2m} Ψ_{3},

som vi skulle vise.

8. Vis at realdelen av Ψ_{3} ikke oppfyller (T1.24). Realdelen av Ψ_{3} er en cosinus-funksjon. En gangs derivasjon mhp t gir som resultat en sinus, mens to gangers derivasjon mhp x gir som resultat en cosinus. Dermed kan realdelen av Ψ_{3} umulig oppfylle SL.

9. Ifølge superposisjonsprinsippet (T1.35) er Ψ_{9} = Ψ_{3} + Ψ_{4} en løsning av (T1.24), og derfor en fysisk akseptabel bølgefunksjon for en fri partikkel. Er Ψ_{9} en egenfunksjon til K̂? Er Ψ_{9} en egenfunksjon til p̂_{x}? Beskriver Ψ_{9} en fysisk tilstand med veldefinert impuls?

K̂Ψ_{9} = \frac{p^{2}}{2m}Ψ_{9},
p̂Ψ_{9} = p (Ψ_{3} − Ψ_{4}) .

Med andre ord, Ψ_{9} er egenfunksjon til K̂ (med egenverdi p^{2}/2m), men ikke egenfunksjon til p̂ eller p̂_{x}. Dermed kan Ψ_{9} ikke beskrive en fysisk tilstand med veldefinert impuls.

10. Ved termisk likevekt vil atomene i en enatomig gass (ifølge det såkalte ekvipartisjonsprinsippet) ha en gjennomsnittlig energi \frac{1}{2}k_{B}T pr frihetsgrad, dvs \frac{3}{2}k_{B}T pr atom. Når nøytroner bremses opp i en såkalt moderator i en kjernereaktor, ender de opp som “termiske” nøytroner, i likevekt med omgivelsene, dvs med en gjennomsnittlig kinetisk energi \frac{3}{2}k_{B}T. Anta T = 300 K og finn den gjennomsnittlige kinetiske energien K til nøytronene i elektronvolt (eV). Regn også ut de Broglie-bølgelengden som svarer til denne kinetiske energien K. [Svar: λ = 1.46 Å.]

Ved temperatur 300 K har vi K = 3k_{B}T/2 = 3 · 1.38 · 10^{−23} · 300/2 = 6.2 · 10^{−21} J, dvs ca 39 meV. Med K = p^{2}/2m og p = h/λ har vi λ = h/p = h/\sqrt{2mK} = h/\sqrt{3mk_{B}T} = 6.626·10^{−34}/\sqrt{(3 · 1.67 · 10^{−27} · 1.38 · 10^{−23} · 300)} = 1.45 · 10^{−10} m = 1.45 Å.

11. Vis at funksjonen ψ = Ce^{ikx} er en egenfunksjon til impulsoperatoren p̂ (se (T1.22)), og bestem egenverdien.

p̂ψ = (h̄/i)∇ψ = (h̄/i)(ik)x̂ψ = h̄kx̂ψ, som viser at ψ er egenfunksjon til impulsoperatoren, med egenverdi h̄kx̂.

12. Skriv ned (og memorer) den tidsavhengige Schrödingerligningen (SL) og den tidsuavhengige Schrödingerligningen (TUSL) for en partikkel med masse m som beveger seg i et tredimensjonalt potensial V (r).

SL:

ih̄\frac{∂}{∂t}Ψ(r, t) = ĤΨ(r, t),

med

H = −\frac{h̄^{2}∇^{2}}{2m} + V (r).

TUSL:

HΨ(r, t) = EΨ(r, t).

13. Hva blir SL og TUSL når potensialet er endimensjonalt, V = V (x)? [Hint: Det klassiske uttrykket for energien er da E = p_{x}^{2}/2m + V (x).]

Tilsvarende som i 12, men med ∂^{2}/∂x^{2} i stedet for ∇^{2} og V (x) i stedet for V (r).

Oppgave 4: Partikkel i boks

Det siste vi gjorde på første samling var å løse den TUSL for en uendelig dyp potensialbrønn, eller ”partikkel i boks”, som vi gjerne sier. Det å løse ligningen betyr her å finne egenfunksjonene ψ_{n}(x) som oppfyller de nødvendige grensebetingelsene, samt å bestemme de tilhørende energiegenverdiene E_{n}. For den endimensjonale boksen mellom x = 0 og x = L fant vi, for n = 1, 2, …:

ψ_{n}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} sin \frac{nπx}{L} , E_{n} = \frac{n^{2}π^{2}h̄^{2}}{2mL^{2}} .

a) Hvor mange nullpunkter har tilstand nr n? (Der vi ikke teller med nullpunktene i x = 0 og i x = L.)

Grunntilstanden, n = 1, har ingen nullpunkter, 1. eksiterte tilstand, n = 2, har ett nullpunkt, osv. Dvs at tilstand n har n − 1 nullpunkter.

b) En funksjon f(x) er symmetrisk omkring et punkt a dersom f(a+x) = f(a−x) og antisymmetrisk omkring et punkt a dersom f(a + x) = −f(a − x). Hva kan du da si om symmetriegenskapene til egenfunksjonene ψ_{n}(x)? Hva kan du si om symmetriegenskapene til |ψ_{n}(x)|^{2}?

Grunntilstanden og alle eksiterte tilstander med odde n er symmetriske omkring boksens midtpunkt x = L/2. Tilstander med like n er antisymmetriske omkring L/2. Absoluttkvadratet av bølgefunksjonen er symmetrisk omkring L/2 for alle n. c) Med null potensial (V = 0) og positive energiegenverdier (E_{n} > 0) kan vi fra TUSL umiddelbart konkludere med at forholdet mellom bølgefunksjonenes krumning, ψ′′_{n}, og ψ_{n} selv i dette problemet må ha et bestemt fortegn, for alle n. Har vi her ψ′′_{n}/ψ_{n} > 0 eller ψ′′_{n}/ψ_{n} < 0? Betyr dette at ψ_{n} krummer ”inn mot” eller ”bort fra” x-aksen? Sjekk konklusjonen din ved å skissere ψ_{n} for n = 2 og n = 3.

Her er ψ′′_{n}/ψ_{n} = −2mE_{n}/h̄^{2} < 0 for alle n. Det betyr at ψ_{n} krummer inn mot x-aksen. Skisse: ...

d) Vis at for en partikkel i grunntilstanden (n = 1) er sannsynligheten ca 82% for at den befinner seg i den midtre halvdelen av boksen, dvs mellom x = L/4 og x = 3L/4. (Tips: Sannsynligheten for at partikkelen befinner seg mellom x og x + dx er gitt ved |ψ_{1}(x)|^{2} dx.)

Vi finner den ønskede sannsynligheten ved å integrere |ψ_{1}(x)|^{2} fra L/4 til 3L/4:

P = ∫_{L/4}^{3L/4} \frac{2}{L} sin^{2} \frac{πx}{L} dx
= \frac{2}{L} · \frac{L}{π} ∫_{π/4}^{3π/4} sin^{2} u du
= \frac{2}{π} ∫_{π/4}^{3π/4} \frac{1}{2} (1 − cos 2u) du
= \frac{1}{π} |_{π/4}^{3π/4} (u − \frac{1}{2} sin 2u)
= \frac{1}{π} (\frac{π}{2} − \frac{1}{2} sin(3π/2) + \frac{1}{2} sin(π/2))
= \frac{1}{π} (π/2 + 1/2 + 1/2)
= 1/2 + 1/π
≃ 0.82,

dvs ca 82%. Her har vi substituert u = πx/L og brukt den trigonometriske identiteten sin^{2} u = (1−cos 2u)/2.

e) Med moderne nanoteknologi er det mulig å lage virkelige systemer der partikler effektivt bare kan bevege seg i en dimensjon, og avgrenset til svært korte lengder L. Anta at et elektron befinner seg i et slik system, med lengde 5 nm. Betrakt systemet som en endimensjonal boks og bestem de tre laveste energinivåene E_{1}, E_{2} og E_{3}. Oppgi svarene i enheten meV (millielektronvolt).

Energinivåene er

E_{n} = \frac{n^{2}π^{2}h̄^{2}}{2mL^{2}} .

Med m = 9.11 · 10^{−31} kg, L = 5 · 10^{−9} m og h̄ = 1.05 · 10^{−34} Js finner vi

E_{1} = 2.39 · 10^{−21} J = 15 meV,

og videre E_{2} = 4E_{1} = 60 meV og E_{3} = 9E_{1} = 150 meV. Er dette små eller store energier og energiforskjeller? For å si noe om det, må vi ha noe å sammenligne med, og vi kan knytte det til vår makroskopiske verden ved å sammenligne med typisk termisk energi k_{B}T. Ved romtemperatur, ca 300 K, er k_{B}T ≃ 25 meV. Dette er mindre enn, men av samme størrelsesorden som avstanden fra grunntilstanden til 1. eksiterte tilstand, E_{2} − E_{1} = 45 meV. Med andre ord, denne boksen vil ”oppføre seg kvantemekanisk”: Selv ved romtemperatur vil elektronet befinne seg i grunntilstanden, og det er knapt nok termisk energi tilgjengelig til å eksitere elektronet opp i 1. eksiterte tilstand. Og dersom vi senker temperaturen til f.eks 77 K (som tilsvarer flytende nitrogen), vil elektronet med stor sannsynlighet befinne seg i boksens grunntilstand. f) Beregn energiforskjellen mellom grunntilstanden og 1. eksiterte tilstand (dvs E_{2} − E_{1}) dersom du – med din masse – befant deg i en endimensjonal boks med lengde L = 1 m. Med m = 70 kg og L = 1 m blir E_{1} = 7.8·10^{−70} J = 5·10^{−48} meV. Det betyr at avstanden fra grunntilstanden til 1. eksiterte tilstand er ca 10^{−47} meV. Setter vi dette lik termisk energi k_{B}T, finner vi at det tilsvarer en temperatur 6 · 10^{−47} K. Med andre ord: Ingen fare for at du ville merke noe til kvantisering i en slik situasjon.