FY6019 Moderne fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2017 Øving 1. Innleveringsfrist: Søndag 12. februar kl 23.59.

Oppgave 1: Interferens med C_{60}–molekyler

Denne oppgaven tar utgangspunkt i artikkelen Quantum interference experiments with large molecules, av O. Nairz, M. Arndt og A. Zeilinger (Am. J. Phys. 71, 319-325 (2003), lagt ut på itslearning). Bruk gjerne artikkelen som støtte når du løser oppgaven.

a) C_{60}–molekyler, såkalte buckyballs, har form som en fotball, med karbonatomer i alle hjørnene av overflatens femkanter og sekskanter. I eksperimentene sublimerer materialet i en keramisk ovn ved temperatur 900 K. Hva betyr det at stoffet sublimerer?

b) Bestem massen til ett slik molekyl. Avstanden mellom to nærmeste nabo karbonatomer, dvs bindingslengden, er ca 1.4 Å. Bruk dette til å anslå molekylets diameter. (Tips: Ikke foreta omstendelige geometriske utregninger; et estimat holder. Men ta med i betraktningen at ”elektronskyen” rundt atomene bidrar med ca en hel bindingslengde på utsiden, slik at ca 3 Å må legges til det du får ved å måle avstanden mellom to diametralt motsatt plasserte atomer.)

c) Uten hastighetsfiltrering kommer de fleste av molekylene ut av ovnen med hastigheter mellom 100 og 400 m/s, og med middelhastighet ca 200 m/s. Med et mekanisk hastighetsfilter og kollimatorer (en innretning med forholdsvis smale åpninger; se Fig. 3 i artikkelen) oppnår man en tynn stråle med molekyler med smal hastighetsfordeling omkring 117 m/s. Hva er impulsen til et molekyl med hastighet 117 m/s? Hva er kinetisk energi? Bruk svarene dine til å bestemme molekylenes bølgeegenskaper, dvs de Broglie bølgelengden λ = h/p og den tilhørende frekvensen ν = E/h.

Molekylene sendes inn mot et diffraksjonsgitter med spalteavstand d = 100 nm. Bølger som passerer gjennom et slik diffraksjonsgitter, kan interferere konstruktivt eller destruktivt, på samme vis som i dobbeltspalteeksperimentet, som vi diskuterte på første samling. Resultatet er det samme som med to spalter: Maksimal intensitet observeres i retninger bestemt ved

d sin θ = nλ (n = 0, ±1, ±2, …),

mens minimal intensitet observeres i retninger bestemt ved

d sin θ = (n + \frac{1}{2}) λ.

Her angir θ vinkelen relativt molekylenes fartsretning før de treffer diffraksjonsgitteret (se evt side 14 i notatene).

d) Hvis bølgelengden λ er liten i forhold til spalteavstanden (”gitterkonstanten”) d, blir avbøyningen θ også liten, i hvert fall for de laveste ordens interferensmaksima (n = 1, 2, …). Vis at dette er tilfelle her. Da kan beregningen av f.eks 1. ordens maksimum (n = 1) forenkles ved å bruke tilnærmelsen sin θ ≃ θ. Hva blir avbøyningsvinkelen for 1. ordens maksimum i dette eksperimentet (for molekylene med hastighet 117 m/s)? Avstanden fra diffraksjonsgitteret til detektoren er 1.2 m. Hvor stor blir da avstanden mellom 0. og 1. ordens maksimum på detektoren? Angi svaret i μm. Stemmer svaret ditt med det observerte interferensmønsteret i Fig. 7 i artikkelen?

e) Til slutt vil vi vurdere om det er grunnlag for å påstå at molekylene interfererer med seg selv eller ei på sin vei gjennom diffraksjonsapparaturen. For å kunne si noe om dette, må vi kunne sammenligne relevante tids- eller lengdeskalaer, f.eks midlere (minste-)avstand L mellom to molekyler i strålen og diffraksjonsapparaturens utstrekning, målt langs strålegangen. Sistnevnte størrelse er i artikkelen oppgitt å være ca 200 nm. Det er videre oppgitt at med middelhastighet 200 m/s er partikkelfluksen ca 3 · 10^{9}, målt i enheten pr kvadratcentimeter og pr sekund. (Dvs: ca 3 milliarder molekyler passerer et tverrsnitt på en kvadratcentimeter pr sekund.) Bruk tallverdiene for partikkelfluks og middelhastighet til å beregne partikkeltettheten, dvs antall molekyler pr volumenhet i strålen. Beregn deretter midlere volum pr molekyl, og vis til slutt at dette innebærer en midlere avstand mellom molekylene L ∼ 200 μm. (Kommentar: Dette er ca 1000 ganger lenger enn diffraksjonsapparaturens utstrekning langs strålegangen. Videre kan kreftene (”vekselvirkningen”) mellom to slike molekyler i innbyrdes avstand 200 μm trygt neglisjeres. Det er derfor grunnlag for å hevde at disse knøttsmå molekylene farer gjennom apparaturen som bølger og interfererer med seg selv.)

Oppgave 2: Operatorer, egenfunksjoner og egenverdier

a) Når en operator virker på en funksjon, fås vanligvis en ny funksjon. Hva blir f.eks resultatene om du lar operatoren ∂/∂x virke på funksjonene exp(−x^{2}), sin kx og cos kx?

b) Det kan også hende at en operator anvendt på en funksjon gir som resultat samme funksjon multiplisert med en konstant. Funksjonen kalles da en egenfunksjon til vedkommende operator, og konstanten kalles en egenverdi til operatoren. Vis f.eks at exp(ikx)[= cos kx + i sin kx] er en egenfunksjon til operatoren p̂_{x} = (h̄/i)∂/∂x, og finn egenverdien.

c) Vis at funksjonen e^{−x^{2}/2} er en egenfunksjon til operatoren

ĥ = −\frac{1}{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{1}{2}x^{2},

og bestem egenverdien.

Oppgave 3: Noen kontrollspørsmål og små oppgaver

1. Hvilken fysisk observabel (dvs: observerbar (målbar) fysisk størrelse) svarer til operatoren

p̂_{x} = \frac{h̄}{i} \frac{∂}{∂x}?

2. Hvilken operator K̂ svarer til den kinetiske energien

K = \frac{1}{2}mv^{2} = p^{2}/2m?

3. Vis at de Broglie-bølgen Ψ_{3} = exp[i(px − p^{2}t/2m)/h̄] er en egenfunksjon til impulsoperatorene p̂_{x}, p̂_{y} og p̂_{z} og til kinetisk-energi-operatoren K̂, og bestem de respektive egenverdiene.

4. Samme sak for Ψ_{4} = exp[i(−px − p^{2}t/2m)/h̄].

5. Hvilke fysiske impulser svarer de to de Broglie-bølgene ovenfor til?

6. Vis at cos kx ikke er en egenfunksjon til p̂_{x}.

7. Vis at Ψ_{3} oppfyller den tidsavhengige Schrödingerligningen (SL) (T1.24) for en fri partikkel.

8. Vis at realdelen av Ψ_{3} ikke oppfyller (T1.24).

9. Ifølge superposisjonsprinsippet (T1.35) er Ψ_{9} = Ψ_{3} + Ψ_{4} en løsning av (T1.24), og derfor en fysisk akseptabel bølgefunksjon for en fri partikkel. Er Ψ_{9} en egenfunksjon til K̂? Er Ψ_{9} en egenfunksjon til p̂_{x}?

Beskriver Ψ_{9} en fysisk tilstand med veldefinert impuls?

10. Ved termisk likevekt vil atomene i en enatomig gass (ifølge det såkalte ekvipartisjonsprinsippet) ha en gjennomsnittlig energi \frac{1}{2}k_{B}T pr frihetsgrad, dvs \frac{3}{2}k_{B}T pr atom. Når nøytroner bremses opp i en såkalt moderator i en kjernereaktor, ender de opp som “termiske” nøytroner, i likevekt med omgivelsene, dvs med en gjennomsnittlig kinetisk energi \frac{3}{2}k_{B}T. Anta T = 300 K og finn den gjennomsnittlige kinetiske energien K til nøytronene i elektronvolt (eV). Regn også ut de Broglie-bølgelengden som svarer til denne kinetiske energien K. [Svar: λ = 1.46 Å.]

11. Vis at funksjonen ψ = Ce^{ikx} er en egenfunksjon til impulsoperatoren p̂ (se (T1.22)), og bestem egenverdien.

12. Skriv ned (og memorer) den tidsavhengige Schrödingerligningen (SL) og den tidsuavhengige Schrödingerligningen (TUSL) for en partikkel med masse m som beveger seg i et tredimensjonalt potensial V (r).

13. Hva blir SL og TUSL når potensialet er endimensjonalt, V = V (x)? [Hint: Det klassiske uttrykket for energien er da E = p_{x}^{2}/2m + V (x).]

Oppgave 4: Partikkel i boks

Det siste vi gjorde på første samling var å løse den TUSL for en uendelig dyp potensialbrønn, eller ”partikkel i boks”, som vi gjerne sier. Det å løse ligningen betyr her å finne egenfunksjonene ψ_{n}(x) som oppfyller de nødvendige grensebetingelsene, samt å bestemme de tilhørende energiegenverdiene E_{n}. For den endimensjonale boksen mellom x = 0 og x = L fant vi, for n = 1, 2, …:

ψ_{n}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} sin \frac{nπx}{L} , E_{n} = \frac{n^{2}π^{2}h̄^{2}}{2mL^{2}} .

a) Hvor mange nullpunkter har tilstand nr n? (Der vi ikke teller med nullpunktene i x = 0 og i x = L.)

b) En funksjon f(x) er symmetrisk omkring et punkt a dersom f(a+x) = f(a−x) og antisymmetrisk omkring et punkt a dersom f(a + x) = −f(a − x). Hva kan du da si om symmetriegenskapene til egenfunksjonene ψ_{n}(x)? Hva kan du si om symmetriegenskapene til |ψ_{n}(x)|^{2}?

c) Med null potensial (V = 0) og positive energiegenverdier (E_{n} > 0) kan vi fra TUSL umiddelbart konkludere med at forholdet mellom bølgefunksjonenes krumning, ψ′′_{n}, og ψ_{n} selv i dette problemet må ha et bestemt fortegn, for alle n. Har vi her ψ′′_{n}/ψ_{n} > 0 eller ψ′′_{n}/ψ_{n} < 0? Betyr dette at ψ_{n} krummer ”inn mot” eller ”bort fra” x-aksen? Sjekk konklusjonen din ved å skissere ψ_{n} for n = 2 og n = 3.

d) Vis at for en partikkel i grunntilstanden (n = 1) er sannsynligheten ca 82% for at den befinner seg i den midtre halvdelen av boksen, dvs mellom x = L/4 og x = 3L/4. (Tips: Sannsynligheten for at partikkelen befinner seg mellom x og x + dx er gitt ved |ψ_{1}(x)|^{2} dx.)

e) Med moderne nanoteknologi er det mulig å lage virkelige systemer der partikler effektivt bare kan bevege seg i en dimensjon, og avgrenset til svært korte lengder L. Anta at et elektron befinner seg i et slik system, med lengde 5 nm. Betrakt systemet som en endimensjonal boks og bestem de tre laveste energinivåene E_{1}, E_{2} og E_{3}. Oppgi svarene i enheten meV (millielektronvolt).

f) Beregn energiforskjellen mellom grunntilstanden og 1. eksiterte tilstand (dvs E_{2} − E_{1}) dersom du – med din masse – befant deg i en endimensjonal boks med lengde L = 1 m.