FY6019 Moderne fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2017. Øving 2. Innleveringsfrist: Søndag 26. februar kl 23.59.

Oppgave 1: Partikkel i boks En partikkel befinner seg i potensialet V (x) = 0 for 0 < x < L og V (x) = ∞ ellers (dvs en uendelig dyp potensialbrønn på intervallet 0 < x < L). Ved tidspunktet t = 0 beskrives partikkelen av bølgefunksjonen

Ψ(x, 0) = A (sin \frac{πx}{L} + sin \frac{2πx}{L}) .

a) Bestem koeffisienten A slik at Ψ er normert.

b) Skriv ned Ψ(x, t) for t > 0.

c) Bestem sannsynlighetstettheten ρ(x, t) = |Ψ(x, t)|^{2} = Ψ^{∗}(x, t)Ψ(x, t) for t > 0.

d) Bestem sannsynlighetsstrømmen

j(x, t) = Re (Ψ^{∗}(x, t)\frac{h̄}{mi} \frac{∂Ψ(x, t)}{∂x})

for t > 0. Hva blir j(L/2, t), dvs midt i brønnen?

e) Regn ut ∂ρ/∂t og −∂j/∂x hver for seg. Hvis disse to størrelsene er like, er det sannsynlig at du har regnet riktig i c) og d)!

Oppgave 2: Kvantemekaniske kommutatorer Beregn følgende kvantemekaniske kommutatorer:

a) [\frac{1}{x}, p̂] b) [x, L̂_{x}]

c) [x, L̂_{y}] d) [L̂_{x}, L̂_{y}] (Fasitsvar: b) 0, c) ih̄z, d) ih̄L̂_{z})

Oppgave 3: Usikkerhet

a) Beregn Δx · Δp for grunntilstanden i den uendelig dype brønnen i oppgave 1. Kontroller at svaret er minst like stort som h̄/2.

b) Beregn Δx · Δp for bølgefunksjonen

Ψ(x) = C e^{−αx^{2}},

dvs for en gaussisk bølgefunksjon ved t = 0, med ⟨x⟩ = 0 og ⟨p⟩ = 0.