FY6019 Moderne fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2015. Løsningsforslag til øving 4.

Oppgave 1: Bundne tilstander i potensialbrønn

En potensialbrønn med dybde V_{0} = 300 meV og bredde L = 100 Å har grunntilstand med energi E_{1} = 30 meV.

a) Bestem partikkelens masse m. [Kommentar: Elektroner i krystaller oppfører seg ofte som om de har en effektiv masse forskjellig fra verdien m_{e} = 9.11·10^{−31} kg. Det er vanlig å betegne slike effektive masser med m^{∗}. Som regel er m^{∗} mindre enn m_{e}.]

Fra forelesningene (s 60) har vi følgende ligning for bestemmelse av energien E_{1} til grunntilstanden:

tan (\frac{\sqrt{2mE_{1}}L}{2h̄}) = \sqrt{\frac{V_{0} − E_{1}}{E_{1}}} .

I denne oppgaven kjenner vi alle størrelser unntatt massen m, så vi må løse ligningen mhp m:

m = \frac{1}{2E_{1}} [\frac{2h̄}{L} arctan (\sqrt{\frac{V_{0} − E_{1}}{E_{1}}} )]^{2} = 7.17 · 10^{−32} kg = 0.079m_{e}.

b) Vis at antall bundne tilstander N for en partikkel med masse m i en potensialbrønn med dybde V_{0} og bredde L er

N = 1 + [\frac{\sqrt{2mV_{0}}L}{πh̄}] ,

der klammeparentesene angir heltallsverdien av argumentet.

Se håndskrevet notat antallbundne.pdf.

c) Vis at N = 3 i det aktuelle tilfellet, og bestem energiene E_{2} og E_{3} til de to øvrige bundne tilstandene. Tips: Benytt gjerne programmet qmwell_E1E2E3.py.

I det aktuelle tilfellet har vi

\frac{\sqrt{2mV_{0}}L}{πh̄} ≃ 2.5,

som har heltallsverdien 2. Dette gir N = 1 + 2 = 3. Ved å kjøre programmet qmwell_E1E2E3.py bestemmes energien til 1. og 2. eksiterte tilstand:

E_{2} = 117 meV , E_{3} = 246 meV.

(Programmet øker verdien av energien i små skritt og lokaliserer krysningspunkter mellom de ulike kurvene i figuren på side 60 i notatene.)

d) Bruk programmet qmwell.py til å løse TUSL numerisk for den aktuelle potensialbrønnen.

• Blir energiene til de tre bundne tilstandene de samme som du fant med programmet qmwell_E1E2E3.py i punkt c)?

I linje 56 i programmet skrives de 4 laveste energiegenverdiene ut, i enheten meV. Programmet beregner E_{1} = 30 meV, E_{2} = 117 meV og E_{3} = 246 meV, det samme som vi fant med qmwell_E1E2E3.py (dvs analytisk). Tilstand nr 4 har energien E_{4} = 304 meV, som er større enn V_{0} = 300 meV. Dette er som ventet: Vi skal ha 3 bundne tilstander, dvs 3 tilstander med energi mindre enn potensialdybden V_{0}. (Med uendelig bredde på intervallene på venstre og høyre side av brønnen blir det et kontinuerlig spektrum fra 300 meV og oppover. Her har vi endelig bredde på hver side (3L), slik at det blir diskrete energiverdier også over 300 meV.)

• Det utlagte programmet plotter bølgefunksjonen til de tre bundne tilstandene, samt den ”kontinuumstilstanden” som har lavest energi. (Linje 61: psi4 = v[:,3].) Hva slags symmetri (dvs symmetrisk eller antisymmetrisk) har de tre bundne tilstandene, og hvor mange nullpunkter har hver av dem?

Grunntilstanden: Blå kurve, symmetrisk, ingen nullpunkter.

1. eksiterte tilstand: Grønn kurve, antisymmetrisk, ett nullpunkt.

2. eksiterte tilstand: Rød kurve, symmetrisk, to nullpunkter.

• Bruk figuren til å anslå inntrengningsdybden 1/κ for hver av de tre bundne tilstandene. Sammenlign med de ”teoretiske” verdiene κ_{j}^{−1} = h̄/\sqrt{2m(V_{0} − E_{j})} (j = 1, 2, 3). (Tips: Fra høyre vegg, ved z = 40 nm, vil verdien av ψ_{j} reduseres med ca 63% over lengden 1/κ_{j}, siden ψ_{j} ∼ exp(−κ_{j}z).)

Forstørring av området fra z = 40 nm og oppover gir grunnlag for å anslå følgende inntrengningsdybder: Grunntilstanden: Verdi -0.03833 ved z = 40 nm. Reduksjon med 1/e gir verdien -0.01410, som vi har ved z = 41.33 nm. Gir anslått 1/κ = 1.33 nm. Teoretisk verdi: h̄/\sqrt{2m(V_{0} − E_{1})} = 1.33 nm.

1. eksiterte tilstand: Verdi 0.07382 ved z = 40 nm. Reduksjon med 1/e gir verdien 0.02716, som vi har ved z = 41.63 nm. Gir anslått 1/κ = 1.63 nm. Teoretisk verdi: h̄/\sqrt{2m(V_{0} − E_{2})} = 1.62 nm.

2. eksiterte tilstand: Verdi -0.09989 ved z = 40 nm. Reduksjon med 1/e gir verdien -0.03675, som vi har ved z = 43.00 nm. Gir anslått 1/κ = 3.00 nm. Teoretisk verdi: h̄/\sqrt{2m(V_{0} − E_{3})} = 2.98 nm. Meget godt samsvar! (Kommentar: Slik potensialet tilordnes i programmet blir V = 0 fra og med z = 30.0 nm og til og med z = 39.9 nm, mens V = −V_{0} = −300 meV i z = 40.0 nm. Dermed vil avleste tallverdier for ψ bli litt forskjellig fra mine verdier dersom ψ(30 nm) brukes som utgangspunkt. Men inntrengningsdybdene blir fortsatt som angitt her, med tre gjeldende siffer.)

• Endre på linjene 56 og 61 i programmet, slik at det skriver ut E_{10} og plotter ψ_{10}(z). (NB: Husk at python nummererer lister slik at første element i lista er nr 0 osv, jf linje 58.) Bruk figuren til å anslå bølgelengden inni og utenfor brønnområdet, og sammenlign med de ”teoretiske” verdiene 2π/k (inni) og 2π/K (utenfor). Her er k = \sqrt{2mE_{10}}/h̄ og K = \sqrt{2m(E_{10} − V_{0})}/h̄, som i forelesningene.

Utenfor er bølgelengden ut fra figuren 16.23 nm. I brønnområdet er bølgelengden ut fra figuren 7.12 nm. Programmet skriver ut at E_{10} = 372 meV, som betyr at

k = \sqrt{2mE_{10}}/h̄ = 8.80 · 10^{8} m^{−1},
K = \sqrt{2m(E_{10} − V_{0})}/h̄ = 3.87 · 10^{8} m^{−1},

som gir bølgelengder hhv 2π/k = 7.14 nm og 2π/K = 16.23 nm. Meget godt samsvar!

e) Bestem bølgelengden til utsendt ”lys” for de tre mulige elektronovergangene mellom kvantebrønnens bundne tilstander. (For elektromagnetiske bølger: E = hν, c = λν.) I hvilken del av det elektromagnetiske spektret befinner vi oss?

Bølgelengden blir da λ = c/ν = ch/E = 2πch̄/E, der E er energiforskjellen mellom to bundne tilstander. De tre mulige energiforskjellene er her 87 meV, 129 meV og 216 meV, som gir bølgelengder hhv 14.2, 9.6 og 5.7 μm. Dette er i det såkalt infrarøde området. (”Varmestråling” – termisk energi k_{B}T for et legeme med temperatur 310 K er til sammenligning ca 27 meV.

Oppgave 2: Vibrasjoner i hydrogenmolekylet

Den effektive fjærkonstanten for vibrasjoner med liten amplitude i molekylet H_{2} er k ≃ 520 N/m. Bruk dette til å finne avstanden ΔE = h̄ω mellom vibrasjonsenerginivåene i H_{2}. Omtrent hvor høy temperatur T må til for å eksitere H_{2} fra laveste til nest laveste vibrasjonsnivå? (Tips: Tilgjengelig termisk energi ved temperatur T er omtrent k_{B}T, der k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K er Boltzmanns konstant.)

For en enkel harmonisk oscillator er ω = \sqrt{k/m}. For et slik toatomig molekyl må vi passe på å sette m lik den reduserte massen, gitt ved 1/m = 1/m_{1} + 1/m_{2}. Her er m_{1} = m_{2} = m_{H}, slik at m = m_{H}/2. Dermed blir

ΔE = h̄ω = h̄\sqrt{2k/m_{H}} = 1.05 · 10^{−34} · \sqrt{2 · 520/1.67 · 10^{−27}} = 8.29 · 10^{−20} J,

evt 0.528 eV. Setter vi dette lik termisk energi k_{B}T, tilsvarer det en absolutt temperatur T = 8.29·10^{−20}/1.38· 10^{−23} ≃ 6000 K.

Kommentar: Dette er en svært høy temperatur, og for eksempel mye høyere enn såkalt romtemperatur, som vi typisk kan sette lik 300 K. Det betyr at i en hydrogengass, dvs en gass med H_{2}-molekyler, vil praktisk talt alle molekylene befinne seg i grunntilstanden med hensyn på vibrasjonsbevegelsen. Og det vil typisk ikke ”hjelpe” å øke temperaturen; mer presist: Om vi øker temperaturen fra T til T + ΔT, vil molekylene fortsatt befinne seg i vibrasjonsgrunntilstanden, med energien h̄ω/2 pr molekyl. Med andre ord, til tross for en liten temperaturøkning har gassens indre energi U ikke økt, når vi kun betrakter denne vibrasjonsbevegelsen: ΔU_{vib} = 0. Men det må igjen bety at vibrasjonsbevegelsen (”vibrasjonsfrihetsgraden”) ikke bidrar til varmekapasiteten ved normale temperaturer! (Husk, fra termodynamikken: C_{V} = (ΔQ/ΔT)_{V} = ΔU/ΔT når vi holder volumet V konstant; her er ΔQ varmen som tas opp av systemet, dvs hydrogengassen.)) Dette er da også hva som observeres eksperimentelt, og det er en ren kvantemekanisk effekt. Se YF kapittel 18.4.

Oppgave 3: Diverse småoppgaver

a) Hva er den reduserte massen til molekylet HCl? Enn Cl_{2}? Atommasser finner du i hukommelsen eller med google.

m̃_{HCl} = \frac{m_{H}m_{Cl}}{m_{H} + m_{Cl}} = \frac{1.0 · 35.5}{1.0 + 35.5} amu = 0.97 amu
m̃_{Cl_{2}} = \frac{m_{Cl}m_{Cl}}{m_{Cl} + m_{Cl}} = \frac{35.5}{2} amu = 17.3 amu

Her er 1 amu = 1 atomic mass unit = 1.67 · 10^{−27} kg.

b) Elektroner med kinetisk energi 0.15 eV sendes inn mot en potensialbarriere med konstant høyde V_{0} = 0.30 eV og bredde L = 10 Å. Hvor stor andel av elektronene transmitteres gjennom barrieren? Hvor stor blir den transmitterte andelen dersom bredden økes til 40 Å?

Uttrykket for transmisjonssannsynligheten T er gitt på side 65 i notatene:

T = \frac{4E(V_{0} − E)}{4E(V_{0} − E) + V_{0}^{2} sinh^{2} κL} = \frac{1}{1 + (V_{0}^{2}/(4E(V_{0} − E))) sinh^{2} κL}.

Her er κ = \sqrt{2m(V_{0} − E)}/h̄. Her er

κ = \sqrt{2 · 9.11 · 10^{−31} · (0.30 − 0.15) · 1.6 · 10^{−19}}/1.05 · 10^{−34} = 1.99 · 10^{9} m^{−1} = 0.199 Å^{−1},

slik at den dimensjonsløse faktoren κL blir 1.99 og 7.97 når L er hhv 10 Å og 40 Å. Faktoren V_{0}^{2}/4E(V_{0} −E) får her verdien 1, slik at

T (10 Å) = \frac{1}{1 + sinh^{2} 1.99} ≃ 0.072
T (40 Å) = \frac{1}{1 + sinh^{2} 7.97} ≃ 4.8 · 10^{−7}

Vi ser at T avtar raskt (eksponentielt) med økende barrierebredde. (Hvis en ikke har funksjoner som sinh(x) og cosh(x) på kalkulatoren, kan en med god tilnærmelse sette sinh(x) ≃ cosh(x) ≃ exp(x)/2 når x er en del større enn 1. Dette vil her gi T = 0.070 for den tynne barrieren, allerede en god tilnærmelse med x = 1.99, med andre ord.)

c) I en endimensjonal potensialboks (med V = 0 inni og V = ∞ utenfor) har sannsynlighetstettheten |ψ|^{2} for eksiterte tilstander et eller flere null-punkter. På hva slags ”geometriske objekter” har |ψ|^{2} verdien null for eksiterte tilstander i hhv en todimensjonal og en tredimensjonal potensialboks?

I 2D: ”Null-linjer”, evt ”nullkurver”. I 3D: ”Nullflater”.

d) En kubisk bit (terning) av halvledermaterialet galliumarsenid (GaAs) med sidekanter 1 mm kan betraktes som en tredimensjonal potensialboks, i den forstand at noen av elektronene kan bevege seg omkring i materialet som frie partikler, med effektiv masse m^{∗} = 0.067m_{e} (der m_{e} er den ”normale” elektronmassen). Hvor stor er energiforskjellen mellom grunntilstanden og 1. eksiterte nivå i en slik halvlederterning? Oppgi svaret i enheten peV. Hva må kvantetallene n_{x}, n_{y} og n_{z} omtrent være for at energien skal ligge 1 eV høyere enn grunntilstanden?

Energinivåene i en kubisk boks med sidekanter L er (se s 69 i notatene)

E = \frac{h̄^{2}π^{2}}{2m^{∗}L^{2}} (n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}) ,

med positive heltall for alle de tre kvantetallene. Energiforskjellen mellom grunntilstanden og 1. eksiterte nivå i denne kubiske boksen er dermed

ΔE = \frac{3h̄^{2}π^{2}}{2m^{∗}L^{2}} = 2.67 · 10^{−30} J = 16.7 peV.

For å oppnå en energi på 1 eV må vi omtrent ha

n^{2} = n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2} = \frac{2 · 0.067 · 9.11 · 10^{−31} · 0.001^{2} · 1.6 · 10^{−19}}{(1.05 · 10^{−34})^{2} · π^{2}} ≃ 1.8 · 10^{11},

dvs n ≃ 4.2 · 10^{5}. (Dette er tilsynelatende et stort tall, men dersom systemet inneholder mange elektroner, og vi tar hensyn til Pauli–prinsippet (maksimalt ett elektron i en gitt kvantetilstand), må vi nok regne med å finne elektroner i tilstander som tilsvarer energier på ”noen elektronvolt”.)

e) Tilstandstettheten g(E), dvs antall tilstander pr energienhet, for partikler med masse m i en tredimensjonal boks med sidekanter L er gitt ved

g(E) = \frac{(2m)^{3/2}L^{3}E^{1/2}}{4h̄^{3}π^{2}} .

Kontroller at uttrykket for g(E) har riktig enhet. Bestem tallverdi for tilstandstettheten pr volumenhet, g(E)/L^{3}, for elektroner i GaAs med energi 0.5 eV. Oppgi svaret i SI-enheter. (Sett m lik den effektive massen m^{∗} som er oppgitt i d.)

En tilstandstetthet, angitt som antall tilstander pr energienhet, må ha enheten 1/J. La oss sjekke:

[g] = \frac{kg^{3/2}m^{3}J^{1/2}}{J^{3}s^{3}} = \frac{J^{3/2}}{J^{5/2}} = \frac{1}{J},

ettersom J = kg m^{2}/s^{2}. OK! Tilstandstetthet for elektroner pr volumenhet for elektroner med effektiv masse 0.067m_{e} i GaAs og med energi 0.5 eV:

g/L^{3} = \frac{(2 · 0.067 · 9.11 · 10^{−31})^{3/2} · (0.5 · 1.6 · 10^{−19})^{1/2}}{4 · (1.05 · 10^{−34})^{3} · π^{2}} = 2.64 · 10^{44} J^{−1} m^{−3}.

Et stort tall, men så er da også både 1 J et stort energiintervall og 1 m^{3} et stort volum for slike systemer som det her er snakk om.

f) Den ϕ–avhengige delen av bølgefunksjonene som beskriver elektronet i hydrogenatomet, oppfyller ligningen

\frac{d^{2}Φ}{dϕ^{2}} + m_{l}^{2}Φ = 0.

Vis ved innsetting at løsningen er på formen Φ(ϕ) = A exp(im_{l}ϕ) (der A er en ubestemt konstant). Dersom Φ(ϕ) skal være entydig, må Φ(ϕ+2nπ) = Φ(ϕ) for alle heltall n. Bruk dette til å vise at m_{l} må være heltallig.

To gangers derivasjon av den oppgitte løsningen og innsetting i ligningen gir

−m_{l}^{2}Φ + m_{l}^{2}Φ = 0,

som viser at dette er en løsning. Fysisk er det ingen forskjell på vinklene ϕ, ϕ + 2π, ϕ + 4π osv. Dermed må funksjonen Φ ha en og samme verdi for alle disse vinklene:

exp(im_{l}ϕ) = exp(im_{l}(ϕ + 2nπ)) = exp(im_{l}ϕ) exp(i · m_{l} · 2nπ).

Følgelig må verdien av den siste eksponentialfunksjonen være lik 1 (for alle mulige heltallige n), og det er bare mulig dersom m_{l} er et helt tall.

g) Hva må hovedkvantetallet n minst være for at det skal være aktuelt å snakke om g-tilstander (dvs l = 4) i hydrogenatomet? Hvor mange ulike 4f–tilstander har vi i hydrogenatomet? (Dvs ulike romlige tilstander; vi ser bort fra elektronets spinn her.)

Siden l ikke kan være større enn n − 1, må n minst være lik 5 for at vi skal kunne ha l = 4. 4f-tilstander har n = 4 og l = 3. Da kan m_{l} ha verdiene −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Følgelig er det 7 ulike 4f-tilstander i hydrogenatomet. (Tar vi hensyn til at elektronet i tillegg har spinn, med de to mulige verdiene 1/2 og −1/2, blir det alt i alt 14 ulike 4f-tilstander.)

Oppgave 4: Harmonisk oscillator med python

Et elektron (masse m_{e}) befinner seg i et endimensjonalt harmonisk–oscillator–potensial

V (z) = \frac{1}{2}kz^{2}

med fjærkonstant (krumning) k = 3.2 mN/m.

a) Bestem grunntilstandsenergien E_{0} = h̄ω/2, og dermed samtlige energinivåer E_{n} = (n + 1/2)h̄ω (n = 0, 1, 2, …). Oppgi E_{0} i et helt antall meV.

E_{0} = \frac{h̄ω}{2} = \frac{h̄\sqrt{k/m_{e}}}{2} ≃ 19 meV.

Avstanden mellom energinivåene blir ca 39 meV.

b) En utfordring: Benytt samme numeriske metode som i programmet qmwell.py til å bestemme de 10 laveste energinivåene E_{0}, E_{1}, …, E_{9}, og tilhørende bølgefunksjoner ψ_{0}, ψ_{1}, …, ψ_{9}. Resultatene skal illustreres i en figur som bør ligne på dette:

Figuren viser potensialet V (z) i enheten eV, med nullpunkt i posisjon z = 50 nm. Videre plottes sannsynlighetstettheten |ψ_{n}(z)|^{2} forskjøvet med verdien E_{n} målt i enheten eV. Dermed vil ”nullnivået” for hver tilstand krysse V (z) nøyaktig i overgangen mellom det klassisk tillatte (E > V) og det klassisk forbudte (E < V) området, slik at figuren gir en fin illustrasjon av hvordan de ulike bølgefunksjonene skifter fra oscillerende til eksponentielt avtagende oppførsel nettopp ved denne overgangen. Det er dessuten enkelt å telle antall nullpunkter for de ulike tilstandene, samt kontrollere at energinivåene er ekvidistante, dvs med konstant ΔE = E_{n} − E_{n−1}. Du får noen tips på neste side.

Tips til oppgave 4b:

• Start med å ta en kopi av qmwell.py. Kall fila for eksempel harmonisk.py.

• Endre massen til elektronets normale masse.

• Legg inn områder med bredde 40 nm og konstant potensial V_{0} = 1 eV på hver side av det harmoniske potensialet. Programlinjer som gjør jobben er

N = 100
V0 = 1.6E-19
V = [V0]*4*N + [V0*((n-N)/(N*1.0))**2 + [V0]*4*N

(I siste linje N*1.0 for at python skal oppfatte (n-N)/N som et reelt tall. Tar du bort *1.0, tar python heltallsverdien av (n-N)/N dersom n og N er heltall.)

• Linjene over gir V enheten J. Ny liste med enheten eV oppnås med linjen

VineV = [x/1.6E-19 for x in V]

• Python tillater å addere en liste og et enkelt tall. Resultatet blir at det ene tallet adderes til hvert element i listen. Eksempel:

rho5 = np.abs(psi5)**2 + evalues[5]

Her blir rho5 en liste med like mange elementer som listen psi5, og hvert element i rho5 blir lik absoluttkvadratet av tilsvarende element i psi5 pluss tallet evalues[5].

• Plotting av flere grafer i samme figur gjøres ved å gjenta listen for horisontal akse for hver liste som skal visualiseres. For eksempel:

plt.plot(z,rho0,z,rho1,z,rho2,z,rho3,z,VineV)

plotter de 5 listene rho0, rho1, rho2, rho3 og VineV som funksjon av z i samme figur. Her må antall elementer i alle lister være like.

• Aksegrenser innføres med xlim og ylim. For eksempel:

plt.xlim(40,60)

gir en figur med horisontal akse som starter på 40 og slutter på 60. Et program som besvarer oppgaven, harmosc.py, er lagt ut på itslearning.

Oppgave 5: Radien til K-skallet i hydrogen

Grunntilstanden i hydrogenatomet beskrives med bølgefunksjonen

ψ_{1s}(r) = \frac{1}{\sqrt{πa_{0}^{3}}} e^{−r/a_{0}},

der a_{0} = 4πε_{0}h̄^{2}/m_{e}e^{2} er Bohr–radien (ca 0.529 Å). Forventningsverdien av r,

⟨r⟩ = ∫ r|ψ_{1s}(r)|^{2} dV = ∫_{0}^{∞} r|ψ_{1s}(r)|^{2} · 4πr^{2}dr

beregnes til 3a_{0}/2 ved hjelp av delvis integrasjon (tre ganger). En alternativ måte å anslå radien til K-skallet på er å regne ut den inverse av forventningsverdien av 1/r:

⟨\frac{1}{r}⟩^{−1} = (∫ \frac{1}{r}|ψ_{1s}(r)|^{2} dV )^{−1} .

Dette blir litt enklere enn å regne ut ⟨r⟩, da det kun krever en gangs bruk av delvis integrasjon. Regn ut ⟨1/r⟩^{−1} og sammenlign med ⟨r⟩. Ingen av svarene kan vel sies å være ”bedre” enn det andre. Skisser ψ_{1s}(r) (for hånd, med python eller med geogebra) og merk av de to verdiene ⟨r⟩ og ⟨1/r⟩^{−1}.

⟨\frac{1}{r}⟩^{−1} = (∫ \frac{1}{r}|ψ_{1s}(r)|^{2} dV )^{−1}
= (∫_{0}^{∞} \frac{1}{r} \frac{1}{πa_{0}^{3}} e^{−2r/a_{0}}4πr^{2}dr)^{−1}
= \frac{πa_{0}^{3}}{4π} (∫_{0}^{∞} r e^{−2r/a_{0}}dr)^{−1}

Delvis integrasjon, med u = r og v′ = exp(−2r/a_{0}), gir verdien a_{0}^{2}/4 for dette integralet. Dermed er

⟨\frac{1}{r}⟩^{−1} = a_{0},

noe mindre enn ⟨r⟩, som er 3a_{0}/2. Figuren viser ψ_{1s}(r), med de to forventningsverdiene ⟨r⟩ = 3a_{0}/2 og ⟨1/r⟩^{−1} = a_{0} avmerket: