FY6019 Moderne fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 2017. Øving 4. Innleveringsfrist: Søndag 2. april kl 23.59.

Oppgave 1: Bundne tilstander i potensialbrønn

En potensialbrønn med dybde V_{0} = 300 meV og bredde L = 100 Å har grunntilstand med energi E_{1} = 30 meV.

a) Bestem partikkelens masse m. Kommentar: Elektroner i krystaller oppfører seg ofte som om de har en effektiv masse forskjellig fra verdien m_{e} = 9.11 · 10^{−31} kg. Det er vanlig å betegne slike effektive masser med m^{∗}. Som regel er m^{∗} mindre enn m_{e}.

b) Dersom partikkelen hadde hatt en større effektiv masse enn den du beregnet i punkt a, hadde grunntilstandsenergien da vært større eller mindre enn 30 meV?

c) Antall bundne tilstander N for en partikkel med masse m i en potensialbrønn med dybde V_{0} og bredde L er

N = 1 + [\frac{\sqrt{2mV_{0}}L}{πh̄}] ,

der klammeparentesene angir heltallsverdien av argumentet. Vis at N = 3 i det aktuelle tilfellet, og bestem energiene E_{2} og E_{3} til de to øvrige bundne tilstandene.

Tips: Benytt gjerne programmet qmwell_E1E2E3.py.

d) Bruk programmet qmwell.py til å løse TUSL numerisk for den aktuelle potensialbrønnen.

• Blir energiene til de tre bundne tilstandene de samme som du fant med programmet qmwell_E1E2E3.py i punkt c)?

• Det utlagte programmet plotter bølgefunksjonen til de tre bundne tilstandene, samt den ”kontinuumstilstanden” som har lavest energi. (Linje 61: psi4 = v[:,3].) Hva slags symmetri (dvs symmetrisk eller antisymmetrisk) har de tre bundne tilstandene, og hvor mange nullpunkter har hver av dem?

• Bruk figuren til å anslå inntrengningsdybden 1/κ for hver av de tre bundne tilstandene. Sammenlign med de ”teoretiske” verdiene κ_{j}^{−1} = h̄/\sqrt{2m(V_{0} − E_{j})} (j = 1, 2, 3). (Tips: Fra høyre vegg, ved z = 40 nm, vil verdien av ψ_{j} reduseres med ca 63% over lengden 1/κ_{j}, siden ψ_{j} ∼ exp(−κ_{j}z).)

• Endre på linjene 56 og 61 i programmet, slik at det skriver ut E_{10} og plotter ψ_{10}(z). (NB: Husk at python nummererer lister slik at første element i lista er nr 0 osv, jf linje 58.) Bruk figuren til å anslå bølgelengden inni og utenfor brønnområdet, og sammenlign med de ”teoretiske” verdiene 2π/k (inni) og 2π/K (utenfor). Her er k = \sqrt{2mE_{10}}/h̄ og K = \sqrt{2m(E_{10} − V_{0})}/h̄, som i forelesningene.

e) Bestem bølgelengden til utsendt ”lys” for de tre mulige elektronovergangene mellom kvantebrønnens bundne tilstander. (For elektromagnetiske bølger: E = hν, c = λν.) I hvilken del av det elektromagnetiske spektret befinner vi oss?

Oppgave 2: Vibrasjoner i hydrogenmolekylet

Den effektive fjærkonstanten for vibrasjoner med liten amplitude i molekylet H_{2} er k ≃ 520 N/m. Bruk dette til å finne avstanden ΔE = h̄ω mellom vibrasjonsenerginivåene i H_{2}. Omtrent hvor høy temperatur T må til for å eksitere H_{2} fra laveste til nest laveste vibrasjonsnivå? (Tips: Tilgjengelig termisk energi ved temperatur T er omtrent k_{B}T, der k_{B} = 1.38 · 10^{−23} J/K er Boltzmanns konstant.)

Oppgave 3: Diverse småoppgaver

a) Hva er den reduserte massen til molekylet HCl? Enn Cl_{2}? Atommasser finner du i hukommelsen eller med google.

b) Elektroner med kinetisk energi 0.15 eV sendes inn mot en potensialbarriere med konstant høyde V_{0} = 0.30 eV og bredde L = 10 Å. Hvor stor andel av elektronene transmitteres gjennom barrieren? Hvor stor blir den transmitterte andelen dersom bredden økes til 40 Å?

c) I en endimensjonal potensialboks (med V = 0 inni og V = ∞ utenfor) har sannsynlighetstettheten |ψ|^{2} for eksiterte tilstander et eller flere null-punkter. På hva slags ”geometriske objekter” har |ψ|^{2} verdien null for eksiterte tilstander i hhv en todimensjonal og en tredimensjonal potensialboks?

d) En kubisk bit (terning) av halvledermaterialet galliumarsenid (GaAs) med sidekanter 1 mm kan betraktes som en tredimensjonal potensialboks, i den forstand at noen av elektronene kan bevege seg omkring i materialet som frie partikler, med effektiv masse m^{∗} = 0.067m_{e} (der m_{e} er den ”normale” elektronmassen). Hvor stor er energiforskjellen mellom grunntilstanden og 1. eksiterte nivå i en slik halvlederterning? Oppgi svaret i enheten peV. Hva må kvantetallene n_{x}, n_{y} og n_{z} omtrent være for at energien skal ligge 1 eV høyere enn grunntilstanden?

e) Tilstandstettheten g(E), dvs antall tilstander pr energienhet, for partikler med masse m i en tredimensjonal boks med sidekanter L er gitt ved

g(E) = \frac{(2m)^{3/2}L^{3}E^{1/2}}{4h̄^{3}π^{2}} .

Kontroller at uttrykket for g(E) har riktig enhet. Bestem tallverdi for tilstandstettheten pr volumenhet, g(E)/L^{3}, for elektroner i GaAs med energi 0.5 eV. Oppgi svaret i SI-enheter. (Sett m lik den effektive massen m^{∗} som er oppgitt i d.)

f) Den ϕ–avhengige delen av bølgefunksjonene som beskriver elektronet i hydrogenatomet, oppfyller ligningen

\frac{d^{2}Φ}{dϕ^{2}} + m_{l}^{2}Φ = 0.

Vis ved innsetting at løsningen er på formen Φ(ϕ) = A exp(im_{l}ϕ) (der A er en ubestemt konstant). Dersom Φ(ϕ) skal være entydig, må Φ(ϕ+2nπ) = Φ(ϕ) for alle heltall n. Bruk dette til å vise at m_{l} må være heltallig.

g) Hva må hovedkvantetallet n minst være for at det skal være aktuelt å snakke om g-tilstander (dvs l = 4) i hydrogenatomet? Hvor mange ulike 4f–tilstander har vi i hydrogenatomet? (Dvs ulike romlige tilstander; vi ser bort fra elektronets spinn her.)

Oppgave 4: Harmonisk oscillator med python

Et elektron (masse m_{e}) befinner seg i et endimensjonalt harmonisk–oscillator–potensial

V (z) = \frac{1}{2}kz^{2}

med fjærkonstant (krumning) k = 3.2 mN/m.

a) Bestem grunntilstandsenergien E_{0} = h̄ω/2, og dermed samtlige energinivåer E_{n} = (n + 1/2)h̄ω (n = 0, 1, 2, …). Oppgi E_{0} i et helt antall meV.

b) En utfordring: Benytt samme numeriske metode som i programmet qmwell.py til å bestemme de 10 laveste energinivåene E_{0}, E_{1}, …, E_{9}, og tilhørende bølgefunksjoner ψ_{0}, ψ_{1}, …, ψ_{9}. Resultatene skal illustreres i en figur som bør ligne på dette:

Figuren viser potensialet V (z) i enheten eV, med nullpunkt i posisjon z = 50 nm. Videre plottes sannsynlighetstettheten |ψ_{n}(z)|^{2} forskjøvet med verdien E_{n} målt i enheten eV. Dermed vil ”nullnivået” for hver tilstand krysse V (z) nøyaktig i overgangen mellom det klassisk tillatte (E > V) og det klassisk forbudte (E < V) området, slik at figuren gir en fin illustrasjon av hvordan de ulike bølgefunksjonene skifter fra oscillerende til eksponentielt avtagende oppførsel nettopp ved denne overgangen. Det er dessuten enkelt å telle antall nullpunkter for de ulike tilstandene, samt kontrollere at energinivåene er ekvidistante, dvs med konstant ΔE = E_{n} − E_{n−1}. Du får noen tips på neste side.

Tips til oppgave 4b: • Start med å ta en kopi av qmwell.py. Kall fila for eksempel harmonisk.py.

• Endre massen til elektronets normale masse.

• Legg inn områder med bredde 40 nm og konstant potensial V_{0} = 1 eV på hver side av det harmoniske potensialet. Programlinjer som gjør jobben er

N = 100
V0 = 1.6E-19
V = [V0]*4*N + [V0*((n-N)/(N*1.0))**2 + [V0]*4*N

(I siste linje N*1.0 for at python skal oppfatte (n-N)/N som et reelt tall. Tar du bort *1.0, tar python heltallsverdien av (n-N)/N dersom n og N er heltall.)

• Linjene over gir V enheten J. Ny liste med enheten eV oppnås med linjen

VineV = [x/1.6E-19 for x in V]

• Python tillater å addere en liste og et enkelt tall. Resultatet blir at det ene tallet adderes til hvert element i listen. Eksempel:

rho5 = np.abs(psi5)**2 + evalues[5]

Her blir rho5 en liste med like mange elementer som listen psi5, og hvert element i rho5 blir lik absoluttkvadratet av tilsvarende element i psi5 pluss tallet evalues[5].

• Plotting av flere grafer i samme figur gjøres ved å gjenta listen for horisontal akse for hver liste som skal visualiseres. For eksempel:

plt.plot(z,rho0,z,rho1,z,rho2,z,rho3,z,VineV)

plotter de 5 listene rho0, rho1, rho2, rho3 og VineV som funksjon av z i samme figur. Her må antall elementer i alle lister være like.

• Aksegrenser innføres med xlim og ylim. For eksempel:

plt.xlim(40,60)

gir en figur med horisontal akse som starter på 40 og slutter på 60.

Oppgave 5: Radien til K-skallet i hydrogen

Grunntilstanden i hydrogenatomet beskrives med bølgefunksjonen

ψ_{1s}(r) = \frac{1}{\sqrt{πa_{0}^{3}}} e^{−r/a_{0}},

der a_{0} = 4πε_{0}h̄^{2}/m_{e}e^{2} er Bohr–radien (ca 0.529 Å). Forventningsverdien av r,

⟨r⟩ = ∫ r|ψ_{1s}(r)|^{2} dV = ∫_{0}^{∞} r|ψ_{1s}(r)|^{2} · 4πr^{2}dr

beregnes til 3a_{0}/2 ved hjelp av delvis integrasjon (tre ganger). En alternativ måte å anslå radien til K-skallet på er å regne ut den inverse av forventningsverdien av 1/r:

⟨\frac{1}{r}⟩^{−1} = (∫ \frac{1}{r}|ψ_{1s}(r)|^{2} dV )^{−1} .

Dette blir litt enklere enn å regne ut ⟨r⟩, da det kun krever en gangs bruk av delvis integrasjon. Regn ut ⟨1/r⟩^{−1} og sammenlign med ⟨r⟩. Ingen av svarene kan vel sies å være ”bedre” enn det andre. Skisser ψ_{1s}(r) (for hånd, med python eller med geogebra) og merk av de to verdiene ⟨r⟩ og ⟨1/r⟩^{−1}.