\documentclass[a4paper, norsk, 11pt]{report}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{SIunits}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb}
\usepackage{multirow}
\usepackage{eqnarray}
\usepackage{listings} 
\pagestyle{plain}
\begin{document}
\chapter*{Fouriersyntese av lyd}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{IMG_4453}
\label{pic}
\end{figure}
\subsection*{Hensikt}
Laboppsettet vist på bildet er kjent under navnet 'Fouriersyntese av lyd'. Hensikten med oppsettet er å erfare hvordan ulike kombinasjoner av en grunntone og dens overharmoniske høres ut, samtidig som signalet følges på et oscilloskop. På Fouriersynthesizeren har man tilgjengelig en grunntone på \unit{440}{\hertz}, samt de første åtte overharmoniske. Oppsettet kan derved brukes til å illustrere hvordan et begrenset antall harmoniske komponenter kan legges sammen til for eksempel et tilnærmet firkantsignal. Grunntonen på \unit{440}{\hertz} er den standardiserte definisjonen på tonen A4, og brukes som referansetone under stemming av musikalske instrumenter.  
\subsection*{Bakgrunnsteori}
Fourierserier er et grunnleggende tema innenfor fysikk, matematikk og ikke minst signalbehandling. Teorien bak Fourierserier sier i hovedsak at en stykkevis kontinuerlig periodisk funksjon $f(t)$ med periode $T$ kan representeres som en sum av sinus- og cosinusfunksjoner: 
\begin{equation}
f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}\cos\left(\omega_{n}t\right)+b_{n}\sin\left(\omega_{n}t\right)}
\end{equation}
Her er $\omega_{n}=2\pi f_{n}= 2\pi/T_{n}=2\pi n/T$, slik at de harmoniske funksjonene vi får når $n=1$ er seriens 'grunntoner' med en frekvens $f_{1}=1/T$, og de påfølgende leddene de såkalte overharmoniske, med frekvenser $f_{n}=nf_{1}$. Amplitudefaktorene $a_{0}$, $a_{n}$ og $b_{n}$ i Fourierserien ovenfor er gitt ved de såkalte Eulers formler:
\begin{eqnarray}
a_{0} & = & \frac{1}{T}\int_{t'}^{t'+T}{f(t)dt} \\
a_{n} & = & \frac{2}{T}\int_{t'}^{t'+T}{f(t)\cos\left(\omega_{n}t\right)dt} \\
b_{n} & = & \frac{2}{T}\int_{t'}^{t'+T}{f(t)\sin\left(\omega_{n}t\right)dt}
\end{eqnarray}
Vi kan illustrere bruken av disse ligningene ved å finne Fourierserien til et antisymmetrisk firkantsignal $f_{f}(t)$ med periode $T$ og amplitudeutslag $\pm A$, der $f(0)=A$.
Vi regner først ut amplitudefaktoren $a_{0}$:
\begin{eqnarray}
a_{0} & = & \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{f(t)dt} \nonumber \\
			& = & \frac{1}{T}\left(\int_{0}^{T/2}{Adt}+\int_{T/2}^{T}{-Adt}\right) \nonumber \\
      & = & \frac{1}{T}\left(\frac{AT}{2}-AT+\frac{AT}{2}\right)=0
\end{eqnarray}
Videre finner vi et uttrykk for $a_{n}$:
\begin{eqnarray}
a_{n} & = & \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f(t)\cos\left(\omega_{n}t\right)dt} \nonumber \\
      & = & \frac{2}{T}\left(\int_{0}^{T/2}{A\cos\left(\omega_{n}t\right)dt}+\int_{T/2}^{T}{-A\cos\left(\omega_{n}t\right)dt}\right) \nonumber \\
      & = & \frac{2A}{\omega_{n}T}\left(\sin(\omega_{n}T/2)-\sin(0)-\sin(\omega_{n}T)+\sin(\omega_{n}T/2)\right) \nonumber \\
      & = & \frac{2A}{\omega_{n}T}\left(2\sin(\omega_{n}T/2)-\sin(\omega_{n}T)\right) \nonumber \\
      & = & \frac{A}{n\pi}\left(2\sin(n\pi)-\sin(n2\pi)\right)=0
\end{eqnarray}
Til slutt finner vi et uttrykk for $b_{n}$:
\begin{eqnarray}
b_{n} & = & \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f(t)\sin\left(\omega_{n}t\right)dt} \nonumber \\
			& = & \frac{2}{T}\left(\int_{0}^{T/2}{A\sin\left(\omega_{n}t\right)dt}+\int_{T/2}^{T}{-A\sin\left(\omega_{n}t\right)dt}\right) \nonumber \\
      & = & \frac{2A}{\omega_{n}T}\left(-\cos(\omega_{n}T/2)+\cos(0)+\cos(\omega_{n}T)-\cos(\omega_{n}T/2)\right) \nonumber \\
      & = & \frac{2A}{\omega_{n}T}\left(1-2\cos(\omega_{n}T/2)+\cos(\omega_{n}T)\right) \nonumber \\
      & = & \frac{A}{n\pi}\left(1-2\cos(n\pi)+\cos(n2\pi)\right) \nonumber \\
      & = & \frac{2A}{n\pi}\left(1-(-1)^{n}\right)
\end{eqnarray}
Vi ser dermed at når $n=1,3,5 ...$ så blir $b_{n}=4A/n\pi$, mens når $n=2,4,6 ...$ har vi at $b_{n}=0$. Fourierserien til firkantsignalet vårt blir altså:
\begin{eqnarray}
f(t) & = & \frac{4A}{\pi}\sum_{n=1,3,5 ...}^{\infty}{\frac{1}{n}\sin\left(\omega_{n}t\right)} \nonumber \\
     & = & \frac{4A}{\pi}\left(\sin(\omega_{1}t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega_{1}t)+\frac{1}{5}\sin(5\omega_{1}t)+ ...\right)
\end{eqnarray}
Med vår Fouriersynthesizer kan vi produsere signaler med frekvenser fra $f_1=2\pi\omega_{1}=\unit{440}{\hertz}$ til $f_{9}=9f_{1}=\unit{3960}{\hertz}$, så vi kan høre på det tilnærmede firkantsignalet vi oppnår ved å addere de fem første leddene i vår Fourierserie.

\subsection*{Oppsett}
Oppsettet for Fouriersyntese av lyd er relativt enkelt, og består per september 2008 av følgende komponenter:
\begin{itemize}
	\item Pasco Scientific Fourier Synthesizer
	\item Pasco Scientific høyttaler
	\item Kenwood Oscilloskop
	\item To BNC-til-banan kabler 
\end{itemize}
Det er i tillegg nødvendig å ha standard stikkontakt strømforsyning tilgjengelig for Fouriersynthesizeren og oscilloskopet. Figur \ref{oppsett} viser et forslag til hvordan oppsettet kan se ut. Før man slår på de ulike komponentene bør amplituden til alle Fourierkomponentene på synthesizeren være satt til null og forsterkningen til høyttaleren være satt til sitt minimum. 
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{oppsett}
\caption{Forslag til oppsett.}
\label{oppsett}
\end{figure}
Figur \ref{skop} viser frontpanelet til oscilloskopet. Noen sentrale komponenter er definert på figuren, slik som kontaktene der vi tar inn trigger- og inn-signalet. Tracet viser signalet vårt, med spenningen på y-aksen til displayet. På displayet har x-aksen enhet tid. De to knottene merket med 'y-justering' og 'x-justering', bestemmer oppløsningen i hendholdsvis volts/div og time/div. En såkalt div, eller division, er en rute på displayet. Hvis vi ønsker å kalibrere oppløsningen, benyttes de røde knottene i midten av de større svarte knottene som er merket med 'y-justering' og 'x-justering'. Du kan for eksempel kalibrere tidsaksen ved å justere med den røde knotten slik at en periode $T$ av en av de harmoniske komponentene fra Fouriersynthesizeren forholder seg til den kjente frekvensen $f$ slik at $T=1/f$. 
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{oppsett}
\caption{Oscilloskopet.}
\label{skop}
\end{figure}


\end{document}