\documentclass[a4paper, norsk, 11pt]{report}
\usepackage{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{SIunits}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb}
\usepackage{multirow}
\usepackage{eqnarray}
\usepackage{listings} 
\pagestyle{plain}
\begin{document}
\chapter*{Lysspredning}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{scattermore}
\label{pic}
\end{figure}
\subsection*{Hensikt}
Laboppsettet vist på bildet er kjent under navnet 'lysspredning', eller også det mer kreative 'hvorfor himmelen er blå og solnedgangen rød'. Hensikten med oppsettet er å se hvordan de ulike frekvenskomponentene til hvitt lys spres når lyset sendes inn mot en løsning som består av finfordelte små partikler suspendert i vann. Dette er en etterligning av hvordan sollys spres i de øvre lagene av jorda sin atmosfære. I atmosfæren er det da ulike luftmolekyler som utgjør de finfordelte partiklene. 

\subsection*{Bakgrunnsteori}
Når man befinner seg på jordoverflaten på en klar dag så vil himmelen, som de fleste har observert, se blå ut. Skulle du imidlertid være så heldig å befinne deg på den lyse siden av månen på en månedag, vil derimot himmelen være beksvart som en klar, mørk nattehimmel sett fra jorda. Grunnen til at daghimmelen sett fra månen og fra jorda er så forskjellig, er at jorda har en atmosfære, mens månen ikke har det. Vi skal se litt nærmere på hva det er som skjer når lys fra sola treffer jordas atmosfære. 
\paragraph{}
Teorien vi skal se på kalles for Rayleigh-spredning. Spredning av elektromagnetisk stråling skjer på materialers elektroner. Når spredningen er elastisk og skjer på elektroner som kan regnes som frie, kalles dette for Thomson-spredning. Når elektronene derimot er bundet, blir spredningen kalt Rayleigh-spredning, dersom utstrekningen til partiklene som lyset spres på, er mye mindre en lysets bølgelengde. Denne formen for spredning av lys er også elastisk. 
\paragraph{}
Spredningstversnittet $\sigma_{R}$ for Rayleigh-spredning er proporsjonalt med $1/\lambda^{4}$, der $\lambda$ er bølgelengden til det innkommende lyset. Spredningstversnittet har enheten m$^{2}$, og vi kan si at spredningtversnittet er et mål på hvor sannsynelig det er at et innkommende foton spres på en gitt partikkel. Siden $\sigma_{R}\propto 1/\lambda^{4}$, ser vi da at spedningstversnittet for Rayleigh-spredning er større for kortbølget (blått, $\lambda\approx\unit{400}{\nano \meter}$) enn for langbølget (rødt, $\lambda\approx\unit{700}{\nano \meter}$) lys med omtrent en faktor $10$. Når sollys eller annet lys bestånde av flere frekvenskomponenter propagerer gjennom et Rayleigh-spredende medium, vil derfor de kortbølgede komponentene spres ut av den direkte strålen i større grad enn de langbølgede komponentene. Det spredte lyset er derfor lilla og blått, mens det direkte lyset blir mer og mer rødt jo mer av det spredende medium strålen propagerer gjennom, inntil også det røde lyset tilslutt er spredt bort fra den innkommende stråleretningen.
\paragraph{}
Vi skal nå såvidt se på hvordan vi kan utlede spredningstversnittet for spredning av elektromagnetisk stråling på bundene elektroner. Resultatet vi får kommer da også til å fortelle oss noe om retningsforelingen til det spredte lyset. Vi ser på en planbølge propagerende langs x-aksen, der $\vec{E}$ representerer det elektriske feltet:
\begin{equation}
\vec{E}=E_{0}\sin(kx-\omega t)\hat{z}
\label{nr1}
\end{equation}
Denne planbølgen treffer så på et bundet elektron i $x=0$. Vi ser derfor heretter på feltet i $x=0$, og ønsker å finne akselerasjonen til elektronet som funksjon av kraften som det elektriske feltet utøver på elektronet. Siden den elektriske feltet er rettet langs $\pm\hat{z}$, vil elektronets bevegelse være i $z$-retningen, og vi kan derfor sette opp følgende ligning basert på Newtons andre lov:
\begin{equation}
m_{e}\frac{d^{2}z}{dt^{2}}+k\frac{dz}{dt}+m_{e}\omega_{0}^{2}z=-eE_{0}\sin(\omega t)
\label{nr2}
\end{equation}
Her er venstresiden elektronets masse $m_{e}$ ganger dets akselerasjon. Det siste leddet på høyresiden er kraften som elektronet påvirkes med som følge av det elektriske feltet til den propagerende elektromagnetiske bølgen. Det første leddet på høyresiden representerer kraften som elektronet føler fra resten av ladningene i atomet det er bundet til. Vi velger å omforme ligning \ref{nr2} til typisk Matte4-format:
\begin{equation}
\frac{d^{2}z}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}z=\frac{-e}{m_{e}}E_{0}\sin(\omega t)
\label{nr3}
\end{equation}
Vi ser dermed at lignigen vår for elektronets bevegelse tilsvarer ligningen for en udempet drevet oscillator. Den generelle løsningen av den homogene ligningen vi får når vi ser bort ifra leddet på høyre side av ligning \ref{nr3}, kan vi da skrive som følger:
\begin{equation}
z_{h}(t)=C_{1}\cos(\omega't)+C_{2}\sin(\omega't)
\label{nr4}
\end{equation}
Vi finner så den dobbeltderiverte av $z_{h}(t)$:
\begin{equation}
\frac{d^{2}z_{h}}{dt^{2}}=-\omega'^{2}C_{1}\cos(\omega't)-\omega'^{2}C_{2}\sin(\omega't)
\label{nr5}
\end{equation}
Vi setter dette uttrykket samt svaret vi fant i ligning \ref{nr4} inn i ligning \ref{nr3}, og får da etter litt omstokking følgende:
\begin{equation}
\cos(\omega't)\left[C_{1}(\omega_{0}^{2}-\omega'^{2})\right]+\sin(\omega't)\left[C_{2}(\omega_{0}^{2}-\omega'^{2})\right]=\frac{-e}{m_{e}}E_{0}\sin(\omega t)
\label{nr6}
\end{equation}
Utifra denne ligningen kan vi da bestemme noen av de ukjente konstantene våre. Vi ser at $\omega'=\omega$, og går ut ifra at vi ikke er ved resonans, slik at $\omega\neq\omega_{0}$. Da får vi følgende uttrykk for konstantene $C_{1}$ og $C_{2}$:
\begin{eqnarray}
C_{1} & = & 0 \\
C_{2} & = & \frac{-eE_{0}}{m_{e}(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}
\label{nr7nr8}
\end{eqnarray}
Den genrelle løsningen vår blir da:
\begin{equation}
z(t)=C\sin(\omega_{0}t-\zeta)-\frac{eE_{0}}{m_{e}(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}\sin(\omega t)
\label{nr9}
\end{equation}
For some reason we ignore the first term, og får da at dipolmomentet til det oscillerende elektronet kan skrives som:
\begin{equation}
-ez(t)\hat{z}=\frac{e^{2}E_{0}}{m_{e}(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}\sin(\omega t)\hat{z}=p_{0}\sin(\omega t)\hat{z}
\label{nr10}
\end{equation}
En oscillerende ladning emitterer elektromagnetisk stråling. Den radierte effekten per romelement $d\Omega$ er gitt via følgende ligning:
\begin{equation} 
\frac{dP}{d\Omega}=\frac{\omega^{4}p_{0}^{2}}{32\pi^{2}\epsilon_{0}c^{3}}\sin^{2}\theta
\label{nr11}
\end{equation}
Her er $\omega$ vinkelfrekvensen til oscillasjonsbevegelsen, og $\theta$ vinkelen mellom dipolaksen og bølgevektoren $\vec{k}$ til strålingen emittert inn i romvinkelelementet $d\Omega$. Det differensielle spredningstversnittet er gitt som $\sigma_{R}/d\Omega=(dP/d\Omega)/\left|\left\langle u\right\rangle\right|$, der $\left|\left\langle u\right\rangle\right|=c\epsilon_{0}E_{0}^{2}/2$ er den midlere energien til den elektriske komponenten av den innkommende bølgen som forårsaker elektronoscillasjonen. Når vi setter inn for $p_{0}$ i ligning \ref{nr11} og deler på $\left|\left\langle u\right\rangle\right|$ får vi følgende uttrykk for det differensielle spredningstversnittet:
\begin{equation}
\frac{d\sigma_{R}}{d\Omega}=\frac{\omega^{4}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}}r_{e}^{2}\sin^{2}\theta
\label{nr12}
\end{equation} 
Her er $r_{e}=e^{2}/4\pi\epsilon_{0}m_{e}c^{2}$ den såkalte klassiske elektronradiusen. Vi ser at det differensielle spredningstversnittet avhenger av polarvinkelen $\theta$ slik at maksimum nåes når $\sin\theta=\pm 1$ og $\theta=\unit{90\pm n\cdot180}{\degree}$, mens minimum inntreffer når $\sin\theta=0$ og $\theta=\unit{0\pm n\cdot180}{\degree}$. Videre ser vi at spredningtversnittet ikke er avhengig av azimuthalvinkelen. For å utlede den tidligere nevnte $1/\lambda^{4}$-avhengigheten utifra ligning \ref{nr12}, trenger vi å vite at $\lambda\propto1/\omega$, samt at egenfrekvensene $\omega_{0}$ til typiske bundne elektroner ligger mye høyere enn frekvensområdet der vi finner synlig lys. Det differensielle spredningstversnittet vi fant i ligning \ref{nr12} forenkler seg da til:
\begin{equation}
\frac{d\sigma_{R}}{d\Omega}=\frac{\omega^{4}}{\omega_{0}^{4}}r_{e}^{2}\sin^{2}\theta\propto \frac{1}{\lambda^{4}}
\label{nr13}
\end{equation} 
Vi kan videre si noe om polarisasjonen til lyset som spres. Vi tenker oss en situasjon der sollys treffer jordas øvre atmosfære. Dette lyset har alle mulige polarisasjonsretninger, og er såkalt upolarisert. Alle polarisasjonsretningene kan imidlertid dekomponeres, i for eksempel én komponent der det elektriske feltet oscillerer perpendikulært på jordoverflaten, og én komponent der det elektriske feltet oscillerer parallelt med jordoverflaten. Sinus-leddet i uttrykket for det differensielle spredningstversnittet gir oss da at de perpendikulærpolariserte komponentene spres mest hendholdsvis til sidene. Dette lyset propagerer altså parallelt med jordoverflaten og er polarisert slik at det elektriske feltet oscillerer perpendikulært på jordoverflaten. Parallelkomponenten derimot, spres mest i oppover og nedover retningen.
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{explanation_lightscattering}
\label{explanation}
\end{figure} 


Det differensielle spredningstversnittet:
\begin{equation}
\frac{d\sigma_{R}}{d\Omega}=\frac{\omega^{4}}{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}}r_{e}^{2}\sin^{2}\theta
\end{equation}


\subsection*{Oppsett}
Oppsettet for å observere spredning av hvitt lys på en løsning med finfordelte små partikler suspendert i vann, består per september 2008 av følgende deler:
\begin{itemize}
	\item Lysbildeapparat
	\item Glassflasker med ulike konsentrasjon av Hagerty tepperens i vann
	\item En justerbar benkplate for flaskene
	\item En hvit vegg
	\item Et mørkt rom
\end{itemize}
Eksperimentet er illustrert på Figur. 



\end{document}