Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Løsningsforslag til øving 1

Veiledning tirsdag 21. januar

Oppgave 1

a) Total indusert ladning på lederens overflate finner vi ved å integrere ladningstettheten σ over hele xy-planet: Q = ∫ σdxdy. Som antydet i oppgaven er det her enklest å bruke polarkoordinater(r, θ):

Q = ∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{∞} σ(r)rdrdθ

Her er arealelementet dA = rdrdθ en bit av en ring med radius r, tykkelse dr og “bredde” rdθ. Ladningstettheten er pga symmetrien kun avhengig av r:

σ(r) = −\frac{qd}{2π(r^{2} + d^{2})^{3/2}}

Integralet over θ gir en faktor 2π, slik at vi får

Q = −qd ∫_{0}^{∞} \frac{rdr}{(r^{2} + d^{2})^{3/2}} = qd |_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{r^{2} + d^{2}}} = −q

b) For det første er det opplagt at kraften må være tiltrekkende, slik at retningen på F⃗ blir i negativ z-retning. Videre befinner punktladningen q seg i samme potensial, og dermed i samme elektriske felt E⃗, som om vi hadde en punktladning −q i posisjon (0, 0, −d). Kraften må derfor bli som Coulombkraften mellom to punktladninger q og −q i innbyrdes avstand 2d:

F⃗ = −\frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{q^{2}}{(2d)^{2}} ẑ

Vi viser dernest at Coulomb–vekselvirkningen mellom q og σ(r) gir samme resultat for kraften på q. Som i oppgave a) bruker vi polarkoordinater (r, θ) og ser på bidraget til kraften fra en ring med radius r og bredde dr. Av symmetrigrunner må kraften dF på q fra en slik ring peke i (negativ) zretning. Avstanden fra q til ringen kaller vi f.eks. s og får

dF = \frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{qσ2πrdr}{s^{2}} \frac{d}{s}

Her har vi brukt at ringens ladning er σ · 2πrdr, mens faktoren d/s plukker ut z-komponenten. Vi har dessuten s = \sqrt{r^{2} + d^{2}}, så total kraft blir

F = \frac{1}{4πϵ_{0}} ∫_{0}^{∞} \frac{q(−qd)2πrdr · d}{2π(r^{2} + d^{2})^{3/2}(r^{2} + d^{2})(r^{2} + d^{2})^{1/2}}
= −\frac{q^{2}d^{2}}{4πϵ_{0}} ∫_{0}^{∞} \frac{rdr}{(r^{2} + d^{2})^{3}}
= − \frac{q^{2}d^{2}}{4πϵ_{0}} |_{0}^{∞} (−\frac{1}{4(r^{2} + d^{2})^{2}} )
= −\frac{q^{2}}{4πϵ_{0}(2d)^{2}}

c) Med speilladning uten leder er E^{2} symmetrisk med hensyn på xy-planet. Uten speilladning men med leder har vi samme elektriske felt i området z > 0, mens E = 0 i området z < 0. Dermed, ettersom U = ∫ \frac{1}{2}ϵ_{0}E^{2}d^{3}r, må U bli halvparten så stor som U_{0}:

U = \frac{1}{2}U_{0} = −\frac{q^{2}}{16πϵ_{0}d}

Oppgave 2

a) Vi bruker cosinus-setningen til å uttrykke l og l′ ved r og θ:

l = \sqrt{r^{2} + a^{2} − 2ra cos θ}
l′ = \sqrt{r^{2} + b^{2} − 2rb cos θ}

Setter vi disse uttrykkene inn i V sammen med de oppgitte uttrykkene for q′ og b, får vi det oppgitte uttrykket for V.

b) Som alltid må det elektriske feltet E⃗ = −∇V stå normalt på overflaten til den ledende kula, dvs ved r = R. På overflaten av ei kule tilsvarer normalretningen den radielle retningen, slik at E⃗ = −(dV/dr)r̂. Dessuten har vi sammenhengen E = σ/ϵ_{0} mellom elektrisk feltstyrke E og lederens flateladningstetthet σ. Dermed er det bare å derivere den oppgitte V med hensyn på r, sette inn r = R og gange med ϵ_{0}:

σ = \frac{q}{4π} [\frac{r − a cos θ}{(r^{2} + a^{2} − 2ra cos θ)^{3/2}} − \frac{\frac{a^{2}r}{R^{2}} − a cos θ}{(R^{2} + (\frac{ra}{R})^{2} − 2ra cos θ)^{3/2}} ]_{r=R}

= −\frac{q}{4πR} \frac{a^{2} − R^{2}}{(R^{2} + a^{2} − 2Ra cos θ)^{3/2}}

Det virker fornuftig at vi har størst σ for θ = 0 (minst nevner, lik (a − R)^{3}) og minst σ for θ = π (størst nevner, lik (a + R)^{3}).

La oss først bestemme total indusert overflateladning Q på den ledende kula ved å integrere tettheten σ over kuleflaten:

Q = ∫ σdA

Helt generelt er et differensielt kuleflateelement gitt ved dA = R^{2} sin θdθdϕ, der R er kulas radius, θ er vinkelen mellom r⃗ og z-aksen (se figuren i oppgaveteksten), mens ϕ er vinkelen mellom projeksjonen av r⃗ på xy-planet og x-aksen. I vårt tilfelle er σ uavhengig av vinkelen ϕ, så integralet over ϕ gir rett og slett en faktor 2π. Dermed finner vi:

Q = −\frac{q}{4πR}(a^{2} − R^{2})2πR^{2} ∫_{0}^{π} \frac{sin θdθ}{(R^{2} + a^{2} − 2Ra cos θ)^{3/2}}
= − \frac{qR(a^{2} − R^{2})}{2} |_{0}^{π} \frac{1}{Ra(R^{2} + a^{2} − 2Ra cos θ)^{1/2}}
= −\frac{q(a^{2} − R^{2})}{2a} [(R^{2} + a^{2} + 2Ra)^{−1/2} − (R^{2} + a^{2} − 2Ra)^{−1/2}]
= −\frac{q(a^{2} − R^{2})}{2a} [\frac{1}{a + R} − \frac{1}{a − R}]
= −\frac{q(a^{2} − R^{2})}{2a} [−\frac{2R}{a^{2} − R^{2}} ]
= −q \frac{R}{a}

Med andre ord: Total indusert ladning på kuleoverflaten er like stor som speilladningen q′.

Dette kunne vi ha sagt umiddelbart ved å benytte oss av Gauss lov på integralform: Velg en lukket Gaussflate S som omslutter hele den ledende kula. Det spiller ingen rolle om punktladningen q ligger innenfor eller utenfor S, la oss for eksempel anta at q ligger utenfor S. Da sier Gauss lov

∮_{S} E⃗ · dA⃗ = Q/ϵ_{0}

og ettersom speilladningen q′ resulterer i samme elektriske felt E⃗ overalt på flaten S, må total ladning innenfor S være like stor i de to tilfellene. Konklusjon: Q = q′ = −qR/a.

c) For å bestemme systemets potensielle energi ser vi på hvor stort arbeid som trengs for å bringe punktladningen q fra z = ∞ til z = a. Hva med den induserte ladningen på kula, er det ikke også et arbeid knyttet til dannelsen av denne? Nei! Hele kula ligger fast på konstant potensial V = 0, så det kreves null arbeid for å indusere σ. Det betyr at vi kan se bort fra arbeidet som skal til for å bringe speilladningen q′ = −qR/z fra b = 0 til b = R^{2}/a. (Med punktladningen q i vilkårlig avstand z ligger speilladningen q′ = −qR/z i posisjon R^{2}/z.) Coulombkraften på q fra q′ er

F (z) = \frac{q (−q \frac{R}{z})}{4πϵ_{0} (z − \frac{R^{2}}{z} )^{2}}

slik at arbeidet utført på q, og dermed systemets potensielle energi U, blir

U = − ∫_{∞}^{a} F (z)dz
= \frac{q^{2}R}{4πϵ_{0}} ∫_{∞}^{a} \frac{dz}{z (z − \frac{R^{2}}{z} )^{2}}

= \frac{q^{2}R}{4πϵ_{0}} ∫_{∞}^{a} \frac{zdz}{(z^{2} − R^{2})^{2}}
= − \frac{q^{2}R}{4πϵ_{0}} |_{∞}^{a} \frac{1}{2(z^{2} − R^{2})}
= −\frac{q^{2}R}{8πϵ_{0}(a^{2} − R^{2})}

Et negativt arbeid utført på q innebærer at systemet har lavere potensiell energi når q er i posisjon z = a enn når q er uendelig langt borte. Det er da også rimelig, ettersom q tiltrekkes av den induserte ladningen på kula.