Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Løsningsforslag til øving 12

Veiledning fredag 11. april

Oppgave 1 Vi regner først ut frekvenser f = c/λ ved de ulike bølgelengdene, og finner f = 820, 741, 688, 610, 550, 518 THz. (1 THz = 10^{12} s^{−1}) Dette gir så godt som en rett linje for V_{0}(f):

For å få løsrevet elektroner fra metallplaten må fotonets energi hf være minst like stor som frigjøringsarbeidet Φ_{0}. Eventuell ekstraenergi gir de løsrevne elektronene kinetisk energi:

E_{k} = hf − Φ_{0}

Da vil det være elektroner som når fram til den andre metallplaten, med mindre de bremses opp av den påtrykte spenningen V. Mer spesifikt, dersom potensialforskjellen mellom platene er så stor at

eV > E_{k}

vil ingen elektroner kunne nå fram til den andre platen, og amperemeteret viser null strøm. Stoppspenningen V_{0} er altså bestemt av ligningen

eV_{0} = hf − Φ_{0} dvs V_{0} = \frac{h}{e}f − \frac{Φ_{0}}{e}

Med andre ord, en rett linje med stigningskoeffisient h/e og skjæringspunkt på f-aksen ved

f_{0} = \frac{Φ_{0}}{h} dvs Φ_{0} = hf_{0}

Den rette linjen i figuren går gjennom punktene (460, 0) og (850, 1.6). Det betyr at

\frac{h}{e} = \frac{1.6}{390 · 10^{12}} ≃ 4.1 · 10^{−15} Js/C

mens frigjøringsarbeidet er

Φ_{0} = 6.626 · 10^{−34} · 460 · 10^{12} ≃ 3.15 · 10^{−19} J = 1.9 eV

Med tre siffers nøyaktighet er

\frac{h}{e} = \frac{6.626 · 10^{−34}}{1.60 · 10^{−19}} = 4.14 · 10^{−15} Js/C

som stemmer bra med vår eksperimentelle verdi.

Oppgave 2

a) I forelesningene viste vi at en ideell pn-solcelle har følgende strømspenningskarakteristikk:

I(V) = I_{ω} − I_{0} [exp (\frac{eV}{k_{B}T} ) − 1]

Effekten som leveres til en ytre krets er som vanlig gitt ved P = V I, dvs

P (V) = V \{I_{ω} − I_{0} [exp (\frac{eV}{k_{B}T} ) − 1]\}

Maksimal effekt bestemmes av dP/dV = 0, som gir

I_{ω} − I_{0} [exp (\frac{eV_{m}}{k_{B}T} ) − 1] − V_{m}I_{0} \frac{e}{k_{B}T} exp (\frac{eV_{m}}{k_{B}T} ) = 0

⇒ \frac{I_{ω} + I_{0}}{I_{0}} = exp (\frac{eV_{m}}{k_{B}T} ) (1 + \frac{eV_{m}}{k_{B}T} )
⇒ V_{m} = \frac{k_{B}T}{e} ln (\frac{1 + I_{ω}/I_{0}}{1 + eV_{m}/k_{B}T} )

= \frac{k_{B}T}{e} ln (1 + \frac{I_{ω}}{I_{0}} ) − \frac{k_{B}T}{e} ln (1 + \frac{eV_{m}}{k_{B}T} )

= V_{oc} − \frac{k_{B}T}{e} ln (1 + \frac{eV_{m}}{k_{B}T} )

b) Med utgangspunkt i Figur 3 kan vi skrive

\frac{dΞ}{dλ} = \{ \begin{matrix}4x(λ − λ_{0}) & for λ_{0} < λ < 2λ_{0} \\ x(6λ_{0} − λ) & for 2λ_{0} < λ < 4λ_{0} \end{matrix}

Her er x = 2·10^{6} GW/m^{4} = 2·10^{15} J/m^{4}s og λ_{0} = 2·10^{−7} m. Flere konstanter trenger vi ikke for å beskrive denne “kurven”, og vi venter selvsagt med å sette inn tallverdiene til vi er ferdige med å regne. Antall fotoner pr tidsenhet i bølgelengdeområdet (λ, λ + dλ) må bli

\frac{dΞ/dλ}{E_{λ}} · A · dλ = \frac{A}{hc}λ\frac{dΞ}{dλ}dλ

ettersom dΞ/dλ er energien pr tidsenhet pr flateenhet pr bølgelengdeenhet, E_{λ} = hc/λ er energien pr foton, A er arealet, og dλ er bølgelengdeintervallet. Integrerer vi denne størrelsen fra λ_{0} til 4λ_{0}, skulle det gi oss det totale antall fotoner absorbert av halvlederen pr tidsenhet. La oss kalle den søkte størrelsen for dN/dt:

\frac{dN}{dt} = \frac{4Ax}{hc} ∫_{λ_{0}}^{2λ_{0}} (λ^{2} − λ_{0}λ) dλ + \frac{Ax}{hc} ∫_{2λ_{0}}^{4λ_{0}} (6λ_{0}λ − λ^{2}) dλ
= \frac{4Ax}{hc}|_{λ_{0}}^{2λ_{0}} (\frac{λ^{3}}{3} − \frac{λ_{0}λ^{2}}{2} ) + \frac{Ax}{hc}|_{2λ_{0}}^{4λ_{0}} (3λ_{0}λ^{2} − \frac{λ^{3}}{3} )
= … = \frac{62Axλ_{0}^{3}}{3hc}

Innsetting av tallverdier gir

\frac{dN}{dt} = \frac{62 · 10^{−3} · 2 · 10^{15} · 8 · 10^{−21}}{3 · 6.626 · 10^{−34} · 3 · 10^{8}} ≃ 1.66 · 10^{18} s^{−1}

Når vi videre antar at hvert av disse fotonene skaper et elektron-hull par, dvs ladninger −e og e som vandrer hver sin vei og bidrar additivt til fotostrømmen, har vi

I_{ω} = \frac{dQ}{dt} = 2e\frac{dN}{dt} ≃ 0.53 A

c) La oss starte med å bestemme verdien på “spenningen” k_{B}T/e ved vår typiske påsketemperatur, ettersom den opptrer flere steder:

\frac{k_{B}T}{e} = \frac{1.38 · 10^{−23} · 273.15}{1.6 · 10^{−19}} ≃ 23.56 mV

Da har vi åpen-krets-spenningen

V_{oc} = 23.56 ln (1 + \frac{0.53}{5 · 10^{−9}} ) ≃ 435 mV

Ligningen som bestemmer V_{m} (i enheten mV) er da

V_{m} = 435 − 23.56 ln (1 + \frac{V_{m}}{23.56})

Slike ligninger kan ikke løses analytisk, men opptegning av funksjonen

F (V_{m}) = 435 − V_{m} − 23.56 ln (1 + \frac{V_{m}}{23.56})

gir nullpunkt ved ca 369. Altså er

V_{m} ≃ 369 mV

Solcellen med areal A = 10 cm^{2} kan maksimalt gi oss en effekt

P_{m} = V_{m} · I(V_{m}) = 0.369 · [0.53 − 5 · 10^{−9} (exp(\frac{369}{23.56}) − 1)] = 0.184 W

Dette var ikke rare greiene, bare ca 1/136 av “ønsket” effekt på 25 W. La oss derfor prøve oss med et areal A′ = 136A = 0.136 m^{2}. Det gir I′_{ω} = 136I_{ω} = 72.4 A, V′_{oc} = 552 mV, V′_{m} = 480 mV, og I(V′_{m}) = 68.9 A. Maksimal effekt nå er altså

P′_{m} = V′_{m} · I(V′_{m}) = 33 W

Tilsynelatende nok til å få lest fysikknotater i sofakroken på hytta! Men var det nå egentlig så lurt å lage strømkilden akkurat på denne måten? For å utnytte denne effekten i ei lyspære, må pæra ha en motstand

R_{L} = \frac{V′_{m}}{I′_{m}} = 7 mΩ

Problemet nå er at effekten i praksis aldri vil komme fram til lampa, for både metall-halvleder kontaktene, halvlederkrystallen selv, og tilførselsledningene vil alltid ha en motstand som langt overskrider den beregnede R_{L}. Dermed vil det meste av effekten tapes på andre steder enn i lyspæra. Løsningen ligger i å generere en høyere spenning og dermed oppnå akseptabel utgangseffekt med en lavere strømstyrke. Da kan motstanden R_{L} velges betydelig større, og helst så stor at den representerer det dominerende bidraget til kretsens totale motstand. En måte å få til dette på kunne f.eks. være å seriekoble mange pn-overganger. Praktiske anvendelser involverer forøvrig som regel en form for oppladbare batterier, slik at solenergien kan konverteres til kjemisk energi og lagres inntil vi får bruk for den, f.eks. om kvelden etter at sola har gått ned.