Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Løsningsforslag til øving 2

Veiledning tirsdag 28. januar

Oppgave 1

∇ · ∇ × v⃗
= (x̂\frac{∂}{∂x} + ŷ\frac{∂}{∂y} + ẑ\frac{∂}{∂z} ) · (x̂ (\frac{∂v_{z}}{∂y} − \frac{∂v_{y}}{∂z} ) − ŷ (\frac{∂v_{z}}{∂x} − \frac{∂v_{x}}{∂z} ) + ẑ (\frac{∂v_{y}}{∂x} − \frac{∂v_{x}}{∂y} ))
= \frac{∂^{2}v_{z}}{∂x∂y} − \frac{∂^{2}v_{y}}{∂x∂z} − \frac{∂^{2}v_{z}}{∂y∂x} + \frac{∂^{2}v_{x}}{∂y∂z} + \frac{∂^{2}v_{y}}{∂z∂x} − \frac{∂^{2}v_{x}}{∂z∂y}
= 0

Oppgave 2

a) Enten vi har tenkt å bruke Gauss lov, Amperes lov eller som her, Ampere-Maxwells lov, til å løse et problem, må vi først finne ut hva vi kan om symmetrien i problemet. Her er det åpenbart at vi har sylindersymmetri, dvs magnetfeltet B må ha samme verdi overalt på en sirkel konsentrisk med lederen. Retningen på B⃗ finner vi ved å gå tilbake til Biot-Savarts lov: dB⃗ ∼ Idl⃗ × r̂ viser at B⃗ må peke tangentielt til den valgte konsentriske sirkelen. I Ampere-Maxwells lov kan vi velge, etter hva som er mest hensiktsmessig, den flaten som avgrenses av “Ampere-kurven” (her: sirkel med radius s, konsentrisk med lederen). La oss f.eks. velge den minste flaten, dvs en sirkelformet skive med radius s inne i lederens gap. Ampere-Maxwells lov er:

∮_{c} B⃗ · dl⃗ = μ_{0}ϵ_{0} ∫ \frac{∂E⃗}{∂t} · dA⃗ + μ_{0}I_{inn}

der I_{inn} angir netto strøm som passerer gjennom den valgte flaten. Kurveintegralet på venstre side av ligningen blir enkelt: Ettersom B⃗ ligger tangentielt til integrasjonskurven og har konstant absoluttverdi, får vi rett og slett B · 2πs.

Det siste leddet på høyre side er også enkelt: Med omsluttet flate inne i gapet passerer det ikke noe strøm gjennom den, dvs I_{inn} = 0. Mellom de to kondensatorplatene, med ladningstetthet hhv +σ (til venstre) og −σ (til høyre), er den elektriske feltstyrken E = σ/ϵ_{0}. Med ladning ±Q på platene er σ = Q/A = Q/πa^{2}. Første ledd på høyre side i Ampere-Maxwells lov blir dermed:

μ_{0}ϵ_{0} ∫ \frac{∂E⃗}{∂t} · dA⃗ = \frac{μ_{0}}{πa^{2}} \frac{∂Q}{∂t} · πs^{2} = \frac{μ_{0}Is^{2}}{a^{2}}

der vi har brukt at I = ∂Q/∂t, og integrert over skiva med areal πs^{2}. Magnetfeltet inne i gapet blir dermed

B(s) = \frac{μ_{0}Is}{2πa^{2}}

Vi kunne alternativt ha brukt en annen omsluttet flate i Ampere-Maxwells lov, f.eks. den vi får ved å forskyve den sirkelformede skiva i lederens retning inntil skiva ligger inne i lederen. Da vil første ledd på høyre side gi null bidrag (siden E⃗ = 0 inne i lederen), mens I_{inn} = Is^{2}/a^{2}. Resultatet for B(s) blir selvsagt det samme.

b) Fra punkt a) har vi altså at

B⃗ = \frac{μ_{0}Is}{2πa^{2}} ϕ̂ = B_{ϕ}(s)ϕ̂

Bruker vi det oppgitte uttrykket for ∇ × B⃗ i sylinderkoordinater, ser vi at vi kun får bidrag fra ett ledd:

∇ × B⃗ = \frac{1}{s} \frac{∂}{∂s} (sB_{ϕ}) ẑ = \frac{1}{s} \frac{∂}{∂s} (\frac{μ_{0}Is^{2}}{2πa^{2}} ) ẑ = \frac{μ_{0}I}{πa^{2}} ẑ

(med ẑ i strømmens retning). Inne i lederen er dette nettopp lik μ_{0}j⃗, mens inne i gapet er dette lik μ_{0}ϵ_{0}∂E⃗/∂t, begge deler som det skal være!