Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Løsningsforslag til øving 6

Veiledning fredag 28. februar

Oppgave 1

a) Schrödingerligningen for en fri partikkel i to dimensjoner har løsning

ψ(x, y) = \frac{2}{L} sin \frac{n_{x}πx}{L} sin \frac{n_{y}πy}{L}

med n_{x}, n_{y} = 1, 2, 3, .... Vi har brukt grensebetingelsene ψ(0, y) = ψ(x, 0) = ψ(L, y) = ψ(x, L) = 0. Innsetting av denne løsningen i Schrödingerligningen gir direkte at tilhørende energier er

E(n_{x}, n_{y}) = \frac{h̄^{2}π^{2}}{2mL^{2}} (n_{x}^{2} + n_{y}^{2})

I n⃗-rommet, eller egentlig n⃗-planet (n⃗ = (n_{x}, n_{y})), har vi nå 2 tilstander (pga spinn!) pr flateenhet i første kvadrant. Antall tilstander innenfor en kvartsirkel med radius n = |n⃗| blir

N(n) = 2 · \frac{1}{4}πn^{2}

slik at antall tilstander med energi mindre enn E blir

N(E) = \frac{1}{2}π \frac{2mL^{2}E}{h̄^{2}π^{2}} = \frac{mA}{h̄^{2}π}E

der A = L^{2} er systemets areal. Tilstandstettheten i energirommet for et todimensjonalt system blir dermed

D(E) = \frac{dN(E)}{dE} = \frac{mA}{h̄^{2}π}

dvs konstant, uavhengig av E.

I en dimensjon har vi

ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} sin \frac{nπx}{L}

med n = 1, 2, 3, .... Tilhørende energi er

E(n) = \frac{h̄^{2}π^{2}}{2mL^{2}} n^{2}

I n⃗-rommet, dvs på n-aksen, har vi 2 tilstander pr lengdeenhet på den positive halvparten av aksen. Antall tilstander på en lengde n blir

N(n) = 2 · n

slik at antall tilstander med energi mindre enn E blir

N(E) = 2 · \sqrt{\frac{2mL^{2}E}{h̄^{2}π^{2}}} = \frac{2L}{h̄π}\sqrt{2m}\sqrt{E}

Tilstandstettheten i energirommet for et endimensjonalt system blir dermed

D(E) = \frac{dN(E)}{dE} = \frac{L}{h̄π} \sqrt{2m} E^{−1/2}

b) Vi har fra forelesningene at antall tilstander med energi mindre enn E er

N(E) = \frac{V}{3h̄^{3}π^{2}} (2mE)^{3/2}

Dessuten har vi sammenhengen mellom E og p:

E(p) = \frac{p^{2}}{2m} ⇒ 2mE = p^{2}

Dermed kan vi bestemme N(p):

N(p) = \frac{V}{3h̄^{3}π^{2}} p^{3}

På samme måte som at D(E) = dN(E)/dE (se forelesningene) må vi ha

D(p) = \frac{dN(p)}{dp} = \frac{V}{h̄^{3}π^{2}} p^{2}

Endelig, ettersom p = h̄k, finner vi

D(k) = \frac{dN(k)}{dk} = \frac{dN(p)}{dp} \frac{dp}{dk} = \frac{V}{h̄^{3}π^{2}} p^{2} · h̄ = \frac{V}{h̄^{3}π^{2}} h̄^{2}k^{2}h̄ = \frac{V}{π^{2}} k^{2}

Oppgave 2

a) Schrödingerligningen for fri partikkel (E_{p} = 0) i tre dimensjoner er

−\frac{h̄^{2}}{2m}∇^{2}ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)

Innsetting av den oppgitte planbølgeløsningen på venstre side gir

− \frac{h̄^{2}}{2m} (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂z^{2}} ) \frac{1}{L^{3/2}} exp (i(k_{x}x + k_{y}y + k_{z}z))
= \frac{h̄^{2}}{2m} (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2}) \frac{1}{L^{3/2}} exp (i(k_{x}x + k_{y}y + k_{z}z))
= \frac{4h̄^{2}π^{2}}{2mL^{2}} (n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}) ψ(x, y, z)

Dette skal være lik høyre side, Eψ(x, y, z), slik at

E(n_{x}, n_{y}, n_{z}) = \frac{2h̄^{2}π^{2}}{mL^{2}} (n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2})

Vi har altså fått andre energi-egenverdier enn med grensekravet at ψ skulle forsvinne på overflaten av systemet. Til gjengjeld er vi ikke begrenset til positive verdier for “kvantetallene” n_{x}, n_{y} og n_{z}, og vi skal i neste omgang se at tilstandstettheten i energirommet blir den samme med ulike valg av grensebetingelser.

b) Som sagt i oppgaveteksten: Antall tilstander i n⃗-rommet inne i ei kule med radius n er

N(n) = \frac{8πn^{3}}{3}

Og det er samtidig lik antall tilstander med energi mindre enn E(n). Med periodiske grensebetingelser fant vi i punkt a) at

E(n) = \frac{2h̄^{2}π^{2}}{mL^{2}} n^{2}

slik at n uttrykt ved E blir

n = \frac{L}{h̄π} \sqrt{\frac{mE}{2}}

Dermed:

N(E) = \frac{8π}{3} \frac{L^{3}}{h̄^{3}π^{3}} (\frac{mE}{2} )^{3/2} = \frac{V}{3h̄^{3}π^{2}} (2mE)^{3/2}

som vi skulle vise. Dette er den samme N(E) som vi utledet i forelesningene med grensebetingelsen “ψ = 0 på systemets overflate”.

Kommentar: En må av dette ikke forledes til å tro at grensebetingelser for løsning av Schrödingerligningen alltid kan velges fritt. Poenget her er at vi betrakter et makroskopisk system der vi i hovedsak er ute etter egenskaper “inne i” systemet. Ulike valg av grensebetingelser vil selvsagt føre til ulike løsninger på og i nærheten av systemets overflate, men sålenge vi ikke er interessert i “overflateeffekter”, spiller det ingen rolle hva slags grensebetingelser vi benytter. Dermed kan vi velge det som er mest hensiktsmessig i hvert enkelt tilfelle. Svært ofte vil nettopp periodiske grensebetingelser være det lureste!