Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Løsningsforslag til øving 7

Veiledning fredag 7. mars

a) Veilengdeforskjellen mellom en elektronbølge som reflekteres av et ion i posisjon ja og en som reflekteres av naboionet i posisjon (j + 1)a er 2a. Konstruktiv interferens mellom to slike bølger får vi dersom denne veilengdeforskjellen tilsvarer et helt antall bølgelengder:

2a = nλ

Sammenhengen mellom bølgelengden og bølgetallet er

k = \frac{2π}{λ}

slik at Bragg-refleksjon opptrer for

k = 2π \frac{n}{2a} = n\frac{π}{a} ; n = ±1, ±2, ...

b) Tilstand 1 har sannsynlighetstetthet |ψ_{1}(x)|^{2} ∼ sin^{2}(πx/a). Denne funksjonen har maksima for x = (2l + 1)a/2 , l = 0, ±1, ±2, ..., dvs midt mellom ionenes posisjon i gitteret. I ionenes posisjoner er |ψ_{1}|^{2} = 0. For tilstand 2 blir det motsatt, med maksima i ionenes posisjoner og minima midt i mellom. Tilstand 0 har sannsynlighetstetthet |ψ_{0}(x)|^{2} ∼ | exp(ikx)|^{2} = 1, dvs konstant gjennom hele krystallen. Skisse: c) I tilstand 2 er sannsynligheten stor for at elektronet befinner seg i nærheten av et ion. Med en tiltrekkende Coulomb-vekselvirkning vil dette virke stabiliserende og resultere i lav energi. I tilstand 1 er det liten sannsynlighet for å finne elektronet i nærheten av et ion. Vi har mindre grad av tiltrekkende Coulomb-vekselvirkning, og følgelig blir energien høyere. Tilstand 0 representerer en mellomting mellom disse to, med like stor sannsynlighet for å finne elektronet nær og lenger unna ionene. Følgelig må også den resulterende energien ligge i midten. Konklusjon:

E_{2} < E_{0} < E_{1}

d) La oss først tegne opp energien som funksjon av k for et fritt elektron:

For k = ±π/a er ikke lenger ψ_{0} en tillatt løsning, men derimot ψ_{1} og ψ_{2} med energier henholdsvis E_{1} = E_{0} + E_{0}/8 = 9E_{0}/8 og E_{2} = E_{0} − E_{0}/8 = 7E_{0}/8. Med tipset gitt til slutt i oppgaveteksten kan vi konstatere at helningen til E(k) må være lik null i k = ±π/a: Stående bølger har hastighet v = 0. Dermed har vi vel nok til å kunne tegne opp følgende skisse for E(k):