Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Løsningsforslag til øving 8

Veiledning fredag 14. mars

Oppgave 1

a) Sammenhengen mellom v⃗, μ, E⃗ og B⃗ er oppgitt, så det er bare å sette inn:

v_{nx} = −μ_{n}E_{x}
v_{px} = μ_{p}E_{x}
v_{ny} = −μ_{n} (E_{y} − v_{nx}B_{z})
= −μ_{n} (E_{y} + μ_{n}E_{x}B_{z})
v_{py} = μ_{p} (E_{y} − v_{px}B_{z})
= μ_{p} (E_{y} − μ_{p}E_{x}B_{z})

Her har vi neglisjert v_{ny}B_{z} og v_{py}B_{z} i forhold til E_{x}, som antydet i oppgaveteksten. Vi bruker altså “ikke for sterkt” magnetfelt.

b) Strømtettheten i y-retningen blir:

j_{y} = −nev_{ny} + pev_{py}
= neμ_{n}(E_{y} + μ_{n}E_{x}B_{z}) + peμ_{p}(E_{y} − μ_{p}E_{x}B_{z})
= eE_{y}(nμ_{n} + pμ_{p}) + eE_{x}B_{z}(nμ_{n}^{2} − pμ_{p}^{2})

Da gjenstår bare å uttrykke E_{x} ved hjelp av j_{x},

j_{x} = −nev_{nx} + pev_{px} = eE_{x}(nμ_{n} + pμ_{p}),

og sette j_{y} = 0:

j_{y} = eE_{y}(nμ_{n} + pμ_{p}) + \frac{j_{x}B_{z}}{nμ_{n} + pμ_{p}} (nμ_{n}^{2} − pμ_{p}^{2}) = 0

Hall-konstanten blir dermed:

R_{H} ≡ \frac{E_{y}}{j_{x}B_{z}} = \frac{pμ_{p}^{2} − nμ_{n}^{2}}{e(pμ_{p} + nμ_{n})^{2}}

c) I en n-type halvleder er n ≫ p, slik at vi kan neglisjere pμ_{p} i forhold til nμ_{n}. Dermed:

R_{H} ≃ −\frac{1}{ne}

I en p-type halvleder er p ≫ n, og nμ_{n} kan neglisjeres:

R_{H} ≃ \frac{1}{pe}

Oppgave 2

a) I rent Ge har vi like mange hull i valensbåndet som elektroner i ledningsbåndet, dvs n_{i} = p_{i} (i for “intrinsikk”). Det betyr at produktet er n_{i} · p_{i} = 9 · 10^{26}. Etter tilsats av 10^{17} As-atomer pr cm^{3} har vi en elektrontetthet n tilnærmet lik 10^{17}. Produktet av n og p er uforandret, så hulltettheten må nå være

p = \frac{9 · 10^{26}}{10^{17}} = 9 · 10^{9},

altså redusert til ca 1/10000 av sin opprinnelige verdi. Det som har skjedd er følgende: Tilførsel av As-atomer og frigivelse av ett elektron pr As-atom til ledningsbåndet forstyrrer elektron-hull likevekten (på samme måte som tilsats av en syre forstyrrer likevekten mellom [OH^{−}] og [H_{3}O^{+}] i vann). Overskuddet på elektroner fører midlertidig til en større rekombinasjonsrate (dvs: elektroner faller ned fra ledningsbånd til valensbånd og rekombinerer med hull) enn generasjonsrate (dvs: elektroner eksiteres fra valensbånd opp i ledningsbåndet og genererer elektron-hull par), inntil likevekt er gjenopprettet, uttrykt ved n · p = 10^{26}. Alternativt kunne vi tenke slik: Start med T = 0 og As-atomene på plass. Til å begynne med er systemet i grunntilstanden, med n = p = 0 og ingen As-atomer ionisert. Når temperaturen økes, vil det være mye lettere å rive løs et elektron fra hvert As-atom enn å eksitere elektroner fra valensbåndet til ledningsbåndet. Ved romtemperatur er så godt som alle As-atomene ionisert, mens langt færre elektroner er eksitert fra valens- til ledningsbånd. Termisk likevekt er en dynamisk likevekt (derav termodynamisk!) der ledningselektroner i middel faller like ofte ned i valensbåndet som valenselektroner eksiteres opp til ledningsbåndet. Dopingen med As-atomer har resultert i at det totale antall ladningsbærere har økt dramatisk: Før tilsats av arsen hadde vi n_{i} + p_{i} = 6 · 10^{13} ladningsbærere pr cm^{3}. Etter tilsats av arsen har vi n + p ≃ n = 10^{17} ladningsbærere pr cm^{3}.

b) Funksjonen vi skal regne ut er

n(T) = 2.4 · 10^{15}T^{3/2} exp (−\frac{3884}{T})

der T i K(elvin) gir n i antall pr cm^{3}. På lineær skala:

På logaritmisk skala, dvs log_{10} n som funksjon av T: 4