Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Løsningsforslag til øving 9

Veiledning fredag 21. mars

Oppgave om tetthet av elektroner og hull i halvleder

a) Vi skal bestemme antall elektroner i ledningsbåndet,

N_{c} = ∫_{E_{c}}^{∞} D_{c}(E)f(E)dE

Innsetting av det oppgitte fritt-elektron-uttrykket for D_{c}(E) samt det tilnærmede uttrykket for f(E) gir

N_{c} = \frac{V}{2h̄^{3}π^{2}} (2m_{c})^{3/2} ∫_{E_{c}}^{∞}(E − E_{c})^{1/2} exp (\frac{μ − E}{k_{B}T} ) dE

Integralet løses ved å substituere

x = \frac{E − E_{c}}{k_{B}T}

slik at integrasjonsgrensene med x som variabel blir 0 og ∞, og dE = k_{B}T dx. Integralet i uttrykket for N_{c} blir

(k_{B}T)^{3/2} exp (\frac{μ − E_{c}}{k_{B}T} ) ∫_{0}^{∞} x^{1/2}e^{−x}dx

Verdien av dette integralet er oppgitt til \sqrt{π}/2, så antall elektroner i ledningsbåndet blir

N_{c} = \frac{V}{2h̄^{3}π^{2}} (2m_{c})^{3/2}k_{B}^{3/2} \frac{\sqrt{π}}{2} T^{3/2} exp (\frac{μ − E_{c}}{k_{B}T} )

og tettheten av “ledningselektroner” er

n = \frac{N_{c}}{V} = \frac{1}{4} (\frac{2m_{c}k_{B}}{h̄^{2}π} )^{3/2} T^{3/2} exp (\frac{μ − E_{c}}{k_{B}T} )

Konstanten A_{n} er altså

A_{n} = \frac{1}{4} (\frac{2m_{c}k_{B}}{h̄^{2}π} )^{3/2}

For E ≫ E_{c} er ikke fritt-elektron-tilnærmelsen for tilstandstettheten lenger brukbar. Imidlertid vil hele integranden, dvs D_{c}(E)f(E), avta eksponentielt mot null for økende verdier av E. (Alternativt kan vi si: Tilstander i energiområdet der fritt-elektron-modellen ikke lenger er gyldig er heller ikke okkupert av elektroner.) Dermed gjør vi en neglisjerbar feil når vi erstatter øvre integrasjonsgrense med ∞. Fordelen er selvsagt at vi ender opp med et integral som er eksakt løsbart.

b) For å bestemme tettheten av hull i valensbåndet, p = N_{v}/V, gjør vi en tilsvarende tilnærmelse som i punkt a) ved at vi integrerer produktet D_{v}(E)[1 − f(E)] fra E = −∞ til E = E_{v}. Begrunnelsen er den samme: For E ≪ E_{v} er riktignok ikke fritt-elektron-tilnærmelsen for D_{v}(E) lenger gyldig, men for slike energier er heller ingen tilstander okkupert av hull. Vi får:

N_{v} = ∫_{−∞}^{E_{v}} D_{v}(E)[1 − f(E)]dE
≃ \frac{V}{2h̄^{3}π^{2}} (2m_{v})^{3/2} ∫_{−∞}^{E_{v}}(E_{v} − E)^{1/2} exp (\frac{E − μ}{k_{B}T}) dE

Her substituerer vi

x = \frac{E_{v} − E}{k_{B}T}

så integrasjonsgrensene med x som variabel blir også her 0 (øvre grense) og ∞ (nedre grense), mens dE = −k_{B}T dx. Vi blir kvitt minustegnet ved å bytte om på integrasjonsgrensene og har for integralet ovenfor:

(k_{B}T)^{3/2} exp (\frac{E_{v} − μ}{k_{B}T}) ∫_{0}^{∞} x^{1/2}e^{−x}dx

Altså blir tettheten av hull i valensbåndet

p = \frac{1}{4} (\frac{2m_{v}k_{B}}{h̄^{2}π} )^{3/2} T^{3/2} exp (\frac{E_{v} − μ}{k_{B}T})

Konstanten A_{p} blir:

A_{p} = \frac{1}{4} (\frac{2m_{v}k_{B}}{h̄^{2}π} )^{3/2}

c) Produktet n · p får vi ved å multiplisere sammen de to beregnede uttrykkene. Det kjemiske potensialet inngår med motsatt fortegn oppe i eksponenten i n og p og blir dermed borte i produktet. I eksponenten overlever kombinasjonen E_{v}−E_{c}, og det er jo nettopp båndgapet med negativt fortegn:

n · p = \frac{1}{16} (\frac{4m_{c}m_{v}k_{B}^{2}}{h̄^{4}π^{2}} )^{3/2} T^{3} exp (−\frac{E_{g}}{k_{B}T} )

Den temperaturuavhengige prefaktoren er

A = A_{n}A_{p} = \frac{1}{16} (\frac{4m_{c}m_{v}k_{B}^{2}}{h̄^{4}π^{2}} )^{3/2}

d) Med n = p = n_{i} kan vi skrive

A_{n}T^{3/2} exp (\frac{μ_{i} − E_{c}}{k_{B}T} ) = A_{p}T^{3/2} exp (\frac{E_{v} − μ_{i}}{k_{B}T} )

dvs

exp (\frac{2μ_{i}}{k_{B}T} ) = \frac{A_{p}}{A_{n}} exp (\frac{E_{v} + E_{c}}{k_{B}T} )
⇒ \frac{2μ_{i}}{k_{B}T} = \frac{E_{v} + E_{c}}{k_{B}T} + ln \frac{A_{p}}{A_{n}}
⇒ μ_{i} = \frac{E_{v} + E_{c}}{2} + \frac{k_{B}T}{2} ln \frac{A_{p}}{A_{n}}
⇒ μ_{i} = \frac{E_{v} + E_{c}}{2} + \frac{3k_{B}T}{4} ln \frac{m_{v}}{m_{c}}

Her er det første leddet på høyre side nettopp midten av båndgapet. Med mindre de effektive massene (dvs de inverse krumningene til funksjonen E(k), se oppgaveteksten) for henholdsvis valensbånd (m_{v}) og ledningsbånd (m_{c}) er ekstremt forskjellige, vil det andre leddet på høyre side være av størrelsesorden k_{B}T (eller mindre). Ved romtemperatur er den termiske energien k_{B}T ca 25 meV, mens båndgapet er av størrelsesorden 1 eV, slik at det kjemiske potensialet blir liggende nær midten av båndgapet, altså ikke nær verken bunn av ledningsbånd eller topp av valensbånd. For T = 0 ligger μ_{i} midt i båndgapet. For endelige temperaturer ligger det kjemiske potensialet midt i båndgapet dersom de effektive massene m_{c} og m_{v} er like store. e) Vi har for det første at

n_{i} = A_{n}T^{3/2} exp (\frac{μ_{i} − E_{c}}{k_{B}T} )

for en intrinsikk halvleder, mens generelt er

n = A_{n}T^{3/2} exp (\frac{μ − E_{c}}{k_{B}T} )

Kombinerer vi disse to, har vi

n = n_{i} exp (\frac{μ − μ_{i}}{k_{B}T} )

som skulle vises. Det oppgitte uttrykket for μ kan vi finne på følgende vis, med utgangspunkt i at n · p = n_{i}^{2} og p = N_{A}:

nN_{A} = n_{i}^{2}
⇒ \frac{n}{n_{i}} = \frac{n_{i}}{N_{A}}
⇒ exp (\frac{μ − μ_{i}}{k_{B}T} ) = \frac{n_{i}}{N_{A}}
⇒ μ = μ_{i} + k_{B}T ln \frac{n_{i}}{N_{A}}
= \frac{E_{v} + E_{c}}{2} + \frac{3k_{B}T}{4} ln \frac{m_{v}}{m_{c}} + k_{B}T ln \frac{n_{i}}{N_{A}}
= \frac{E_{v} + E_{c}}{2} − k_{B}T ln [\frac{N_{A}}{n_{i}} (\frac{m_{c}}{m_{v}} )^{3/4}]

Her har vi brukt generelle egenskaper for logaritmefunksjonen: ln a + ln b = ln(ab) og b ln a = ln(a^{b}). Utgangspunktet for vår beregning av n og p var at det kjemiske potensialet ikke skulle ligge for nær kanten av verken valens- eller ledningsbånd. Denne forutsetningen holder dersom det siste leddet i uttrykket for μ er (en del) mindre enn E_{g}/2 ≃ 0.3 − 0.7 eV. Med k_{B}T = 0.025 eV ved romtemperatur betyr det at dopekonsentrasjonen N_{A} kan være opp mot 10 størrelsesordner større enn den intrinsikke ladningskonsentrasjonen n_{i} før uttrykket for μ mister sin gyldighet. For Si, med n_{i} ≃ 10^{10} cm^{−3}, kan vi altså bruke dette uttrykket for verdier av N_{A} opp mot 10^{20} cm^{−3}.