Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Øving 1

Veiledning: Tirsdag 21. januar Innleveringsfrist: Fredag 24. januar

Oppgave 1

I forelesningene viste vi at en punktladning q plassert i (x, y, z) = (0, 0, d) induserer en flateladning på overflaten av et uendelig stort, jordet (dvs V = 0) ledende plan, med tetthet

σ = −\frac{qd}{2π(x^{2} + y^{2} + d^{2})^{3/2}}

Lederens overflate ligger i xy-planet.

a) Vis at den totale induserte ladningen på lederens overflate er lik −q. (Tips: Bruk polarkoordinater r, θ.)

b) Argumentér (uten regning) for at kraften på punktladningen er

F⃗ = −\frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{q^{2}}{(2d)^{2}} ẑ

Kontrollér at den induserte flateladningen σ resulterer i samme tiltrekkende kraft. (Tips: Bruk polarkoordinater, som i punkt a.)

c) Med en speilladning −q i (0, 0, −d) istedetfor den jordete lederen er det lett å bestemme den potensielle energien til systemet: Punktladningen q befinner seg i Coulombpotensialet V_{0} til ladningen −q. Potensiell energi blir da

U_{0} = qV_{0} = q \frac{(−q)}{4πϵ_{0} · 2d} = −\frac{q^{2}}{8πϵ_{0}d}

Men hva blir potensiell energi U for vårt “virkelige” system, dvs ladningen q og den jordete lederen?

(Tips: Husk at tettheten av potensiell energi er gitt ved det elektriske feltet som u = \frac{1}{2}ϵ_{0}E^{2}, slik at potensiell energi er U = ∫ \frac{1}{2}ϵ_{0}E^{2}d^{3}r.)

Oppgave 2

For ei jordet ledende kule (dvs V = 0 på hele kula) med radius R og en punktladning q i avstand a (a > R) fra kulas sentrum blir potensialet V i området utenfor kula det samme som om vi erstatter kula med en punktladning q′ = −Rq/a i avstand b = R^{2}/a fra kulas sentrum (på forbindelseslinjen mellom kulas sentrum og punktladningen q):

a) Det er klart at

V (r⃗) = \frac{1}{4πϵ_{0}} (\frac{q}{l} + \frac{q′}{l′} )

Vis at med koordinater (r, θ) som angitt i figuren blir

V (r, θ) = \frac{q}{4πϵ_{0}} [(r^{2} + a^{2} − 2ra cos θ)^{−1/2} − (R^{2} + (\frac{ra}{R})^{2} − 2ra cos θ)^{−1/2}]

(Vi må opplagt ha sylindersymmetri mhp z-aksen i figuren.) Dermed ser en direkte at V (R, θ) = 0, som vi skal ha.

b) Finn tettheten av indusert flateladning σ(θ) på kula. Sjekk at svaret er rimelig, f.eks. for z = R og z = −R (dvs θ = 0 og θ = π). Hva blir total indusert ladning Q? (Du kan bestemme Q ved å integrere σ over kulas overflate. Ved hjelp av Gauss lov (på integralform) kunne du kanskje funnet Q uten å regne i det hele tatt...?)

Svar:

σ = −\frac{q}{4πR} \frac{a^{2} − R^{2}}{(R^{2} + a^{2} − 2Ra cos θ)^{3/2}}

c) Bestem til slutt systemets potensielle energi U. (Tips: U tilsvarer det arbeidet som skal til for å flytte ladningen q fra z = ∞ til z = a, med en kraft som akkurat balanserer Coulombkraften mellom q og q′, dvs qq′/[4πϵ_{0}(z − b(z))^{2}].) Svar:

U = −\frac{q^{2}R}{8πϵ_{0}(a^{2} − R^{2})}