Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Øving 10

Veiledning: Fredag 28. mars Innleveringsfrist: Tirsdag 1. april

pn-overgang: sperresone og innebygd potensial [med mulighet for å friske opp litt elektrostatikk i polariserbare medier underveis...!]

En pn-overgang har en uniform fordeling av N_{A} akseptoratomer pr volumenhet på p-siden og N_{D} donoratomer pr volumenhet på n-siden. Vi antar at alle akseptorer og donorer er ionisert, og at både N_{A} og N_{D} er mye større enn halvlederens intrinsikke konsentrasjon n_{i} av elektroner og hull. Langt unna overgangen har vi derfor n ≫ p på n-siden og p ≫ n på p-siden. I den såkalte sperresonen, dvs i området [−x_{p}, x_{n}], er både hull- (p) og elektronkonsentrasjonen (n) neglisjerbar i forhold til N_{A} og N_{D} fordi elektroner i ledningsbåndet på n-siden av overgangen har diffundert mot p-siden og rekombinert med hull i valensbåndet. Ladningsfordelingen ρ(x) blir derfor tilnærmet som vist i figuren.

Overgangen til elektrisk nøytralitet ved x = −x_{p} og x = x_{n} er i virkeligheten ikke helt skarp men foregår på en lengdeskala som typisk er liten i forhold til sperresonens utstrekning W = x_{n} + x_{p}. Det samme gjelder overgangen fra ρ = −eN_{A} til ρ = eN_{D} ved x = 0. Dermed er ρ(x) i virkeligheten kontinuerlig overalt, noe som igjen innebærer at det elektriske feltet E⃗ = E(x)x̂ også er kontinuerlig overalt. [Jfr. øving 5 i høst, oppgave 2a: ΔE_{n} = σ/ϵ_{0}, dvs normalkomponenten av E⃗ er diskontinuerlig når vi krysser en flate med ladningstetthet σ. Remember?!] I beregningene bruker vi ρ(x) som vist i figuren, og altså samtidig at E(x) er en kontinuerlig funksjon. Systemet antas å være fullstendig uniformt i y- og z-retning, dvs ingen fysiske størrelser avhenger av y eller z.

a) Vi skal etterhvert bestemme x_{n}, men anta nå først at x_{n} er kjent. Hva blir da x_{p} og W når hele systemet er elektrisk nøytralt?

b) Fra Gauss’ lov, ∇ · E⃗ = ρ/ϵ og sammenhengen E⃗ = −∇V følger Poissons ligning,

\frac{d^{2}V}{dx^{2}} = −\frac{ρ(x)}{ϵ}

som angir sammenhengen mellom det elektriske potensialet V (x) og ladningstettheten ρ(x). Bruk Poissons ligning til å bestemme potensialet V (x) og det elektriske feltet E(x) for pn-overgangen vist i figuren på side 1. Vis at det innebygde potensialet ΔV = V (x → ∞) − V (x → −∞) kan uttrykkes på formen

ΔV = \frac{eN_{D}x_{n}W}{2ϵ}

Tips: Du har tilstrekkelig informasjon til å bestemme E(x) entydig. I sperresonen må E bli en lineær funksjon av x, utenfor må E være lik null. (Hvorfor?) Potensialet V (x) kan du bare bestemme på en konstant nær: Nullpunkt for potensialet velger vi som kjent etter eget ønske! Kommentar: Vi har her antatt at halvlederen kan beskrives som et lineært og isotropt dielektrikum med permittivitet ϵ = ϵ_{r}ϵ_{0}. For Si er ϵ_{r} = 11.8. “Bundet” ladning er altså assosiert med polarisering av atomene i halvlederkrystallen og dermed “innebakt” i permittiviteten ϵ. Ladningen ρ(x) blir i dette tilfellet det vi i høst kalte “fri” ladning, selv om den her faktisk er bundet opp til immobile forurensningsatomer. Husk at “fri” ladning innbefattet all ladning som ikke var assosiert med polariseringen av mediet. Sammenhengen mellom den elektriske forskyvningen D⃗ og det elektriske feltet E⃗, D⃗ = ϵE⃗, samt Gauss’ lov for D⃗, ∇·D⃗ = ρ(x), gir umiddelbart sammenhengen mellom V (x) og ρ(x), dvs Poissons ligning. Vakuumpermittiviteten er ϵ_{0} = 10^{7}/4πc^{2} ≃ 8.84 · 10^{−12}, med enhet C/Vm.

c) For å bestemme det innebygde potensialet ΔV, og dermed x_{n} og sperresonens utstrekning W, bruker vi uttrykkene som vi fant i øving 9, punkt e) for det kjemiske potensialet μ for en p-type og en n-type halvleder, henholdsvis

μ(p − siden) = \frac{E_{v} + E_{c}}{2} − k_{B}T ln [\frac{N_{A}}{n_{i}} (\frac{m_{c}}{m_{v}} )^{3/4}]

og

μ(n − siden) = \frac{E_{v} + E_{c}}{2} + k_{B}T ln [\frac{N_{D}}{n_{i}} (\frac{m_{v}}{m_{c}} )^{3/4}]

Vis at likevekt i systemet innebærer at ΔV må stille seg inn på verdien

ΔV = \frac{k_{B}T}{e} ln \frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}}

(Her er e elementærladningen.) Anta at halvledermaterialet er silisium som har en intrinsikk ladningskonsentrasjon n_{i} = 1.45 · 10^{10} cm^{−3} ved T = 300 K. Regn ut tallverdien til ΔV når n-siden er dopet med 10^{17} antimonatomer pr cm^{3} og p-siden er dopet med 10^{16} boratomer pr cm^{3}.

d) Vis at x_{n} nå kan uttrykkes på formen

x_{n} = (\frac{2ϵk_{B}T N_{A}}{e^{2}N_{D}(N_{A} + N_{D})} ln \frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}} )^{1/2}

og regn ut sperresonens utstrekning W for pn-overgangen spesifisert i punkt c). (Fremdeles ved romtemperatur.) Hvor stort er det maksimale elektriske feltet E_{max} (dvs ved x = 0)?

Tallsvar: ΔV = 756 mV, W = 0.33 μm, E_{max} = −4.6 MV/m.