Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Øving 2

Veiledning: Tirsdag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag 31. januar

Oppgave 1

Vis at Amperes lov, ∇ × B⃗ = μ_{0}j⃗, kun er gyldig under stasjonære forhold ved å vise eksplisitt at ∇ · ∇ × v⃗ = 0 for en vilkårlig vektor v⃗. (Dermed er ∇ · j⃗ = 0, og ifølge kontinuitetsligningen også ∂ρ/∂t = 0.)

Oppgave 2

En sylindrisk leder med radius a fører en konstant strøm I som er jevnt fordelt over lederens tverrsnitt. En liten bit av lederen er fjernet slik at vi har en åpen spalte med bredde w ≪ a. Dermed har vi en parallellplatekondensator med plateavstand w og plateareal πa^{2}. Den tidsavhengige ladningstettheten på de to “platene” er hhv +σ og −σ.

a) Bruk Ampere-Maxwells lov (på integralform) til å bestemme magnetfeltet B⃗ i spalten, i en avstand s < a fra lederens senterakse. b) Kontrollér svaret i a) med Ampere-Maxwells lov på differensialform, dvs ved eksplisitt å regne ut ∇ × B⃗. I sylinderkoordinater:

∇ × B⃗ = [\frac{1}{s} \frac{∂B_{z}}{∂ϕ} − \frac{∂B_{ϕ}}{∂z} ] ŝ + [\frac{∂B_{s}}{∂z} − \frac{∂B_{z}}{∂s} ] ϕ̂ + \frac{1}{s} [\frac{∂}{∂s}(sB_{ϕ}) − \frac{∂B_{s}}{∂ϕ} ] ẑ