Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Øving 3

Veiledning: Fredag 7. februar Innleveringsfrist: Tirsdag 11. februar

Oppgave 1

Når en driver og styrer med vektorer, og ulike “operasjoner” på vektorer (divergens, curl etc.), er det ofte hensiktsmessig å ta i bruk den såkalte Kronecker delta δ_{ij} og Levi-Civitasymbolet ϵ_{ijk}. Indeksene i, j, k er heltall, og mer presist enten 1, 2 eller 3 dersom vi bruker disse symbolene i forbindelse med kartesiske koordinater i tre dimensjoner. (Hvilket ikke er så rent sjeldent...) Kronecker delta har følgende enkle definisjon:

δ_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & hvis i = j \\ 0 & hvis i ≠ j \end{matrix}

For Levi-Civitasymbolet gjelder:

ϵ_{ijk} = \{ \begin{matrix}1 & hvis ijk = 123, 312 eller 231 \\ −1 & hvis ijk = 132, 213 eller 321 \\ 0 & ellers, dvs hvis noen indekser er like \end{matrix}

Vi nummererer nå de kartesiske koordinatene fra 1 til 3, slik at x_{1} = x, x_{2} = y og x_{3} = z. For en vektorstørrelse, la oss ta det elektriske feltet E⃗ som eksempel, har vi da at E_{1} = E_{x}, E_{2} = E_{y} og E_{3} = E_{z}.

a) La oss se på kryssproduktet mellom to vektorer u⃗ og v⃗:

u⃗ × v⃗ = (u_{y}v_{z} − u_{z}v_{y})x̂ − (u_{x}v_{z} − u_{z}v_{x})ŷ + (u_{x}v_{y} − u_{y}v_{x})ẑ

Altså er f.eks. x-komponenten av kryssproduktet

(u⃗ × v⃗)_{x} = u_{y}v_{z} − u_{z}v_{y}

og med nummereringskonvensjonen som vi innførte ovenfor, kan dette skrives

(u⃗ × v⃗)_{1} = u_{2}v_{3} − u_{3}v_{2}

Vis at i-komponenten av kryssproduktet kan skrives på formen

(u⃗ × v⃗)_{i} = ∑_{j,k=1}^{3} ϵ_{ijk}u_{j}v_{k} ≡ ϵ_{ijk}u_{j}v_{k}

der vi i den siste overgangen innførte den såkalte summekonvensjonen: Gjentatte indekser, dvs slike som opptrer mer enn en gang (i vårt tilfelle indeksene j og k), skal det summeres over, fra 1 til 3, selv om summetegnet utelates.

b) I forelesningene, i forbindelse med Poyntings teorem og energibevarelse, benyttet vi oss av følgende resultat for divergensen til kryssproduktet mellom E⃗ og B⃗:

∇ · (E⃗ × B⃗) = B⃗ · (∇ × E⃗) − E⃗ · (∇ × B⃗)

Utled denne sammenhengen ved direkte utregning av venstre side av ligningen.

c) Dersom du ikke allerede gjorde det i punkt b), gjenta utledningen i punkt b) ved å benytte Levi-Civitasymbolet og summekonvensjonen innført under punkt a). Tips: Ta utgangspunkt i at

∇ · (E⃗ × B⃗) = \frac{∂}{∂x_{i}} ϵ_{ijk}E_{j}B_{k}

og benytt at ϵ_{ijk} = ϵ_{kij} = −ϵ_{jik}.

Oppgave 2

I denne oppgaven skal vi se på energiforholdene inne i gapet i den sylindriske lederen fra Øving 2 (oppgave 2):

Vi antar at kondensatorplatene har null ladning før t = 0. Deretter lades platene opp ved at det går en konstant (og jevnt fordelt) strøm I i lederen. Som i øving 2 antar vi at plateradien a er mye større enn plateavstanden w og neglisjerer randeffekter i nærheten av gapets ytterkant.

a) Bestem E⃗(s, t) og B⃗(s, t) inne i gapet. [Hvis du gjorde øving 2, har du essensielt gjort dette allerede. Velg z-aksen langs lederen i strømmens retning, mens s angir avstanden fra lederens senterakse.]

b) Hva blir tettheten av elektromagnetisk feltenergi u_{em} inne i gapet? Bestem også Poyntings vektor S⃗ inne i gapet.

c) Kontrollér at vi har energibevarelse inne i gapet, både lokalt og globalt ved hjelp av Poyntings teorem på henholdsvis differensialform,

\frac{∂}{∂t}(u_{mek} + u_{em}) = −∇ · S⃗,

og integralform,

\frac{d}{dt}(U_{mek} + U_{em}) = − ∮_{A} S⃗ · dA⃗.

Her er U_{mek} = 0 ettersom vi ikke har noen ladninger inne i gapet. Anta at E⃗ = 0 overalt utenfor gapet. “Globalt” betyr her hele gapets volum. Alternativt, for å være sikker på å unngå et eventuelt avvik fra (romlig) konstant elektrisk felt, kan en velge det “globale volumet” som en sylinder med lengde w og radius b ≪ a.

Divergens til en vektor u⃗ i sylinderkoordinater:

∇ · u⃗ = \frac{1}{s} \frac{∂}{∂s} (su_{s}) + \frac{1}{s} \frac{∂}{∂ϕ}u_{ϕ} + \frac{∂}{∂z} u_{z}