Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Øving 6

Veiledning: Fredag 28. februar Innleveringsfrist: Tirsdag 4. mars

Oppgave 1: Tilstandstetthet

I forelesningene viste vi at dersom vi har N(E) tilstander med energi i intervallet [0, E], er tilstandstettheten D(E), dvs antall tilstander pr energienhet, gitt ved

D(E) = \frac{dN(E)}{dE}

For frie elektroner i tre dimensjoner fant vi at N(E) er proporsjonal med E^{3/2}, slik at tilstandstettheten gikk som D(E) ∼ \sqrt{E}.

a) Bestem på samme måte N(E) for frie elektroner i to dimensjoner (dvs E_{p} = 0 i området 0 ≤ x ≤ L og 0 ≤ y ≤ L; ingen bevegelse i z-retningen) og i en dimensjon (dvs E_{p} = 0 i området 0 ≤ x ≤ L; ingen bevegelse i y- og zretningen), og vis at tilstandstettheten da blir proporsjonal med henholdsvis E^{0} (dvs konstant, uavhengig av E) og E^{−1/2}. Kommentar: Elektroner i to- og en-dimensjonale systemer er ikke bare teoretisk tankespinn! Det er fullt mulig, med avansert halvlederteknologi, å lage strukturer der elektronenes bevegelse er så sterkt avgrenset i en eller flere retninger slik at en essensielt har en elektrongass i to, en eller sågar null dimensjoner.

b) La oss gå tilbake til tre dimensjoner. Istedetfor antall tilstander pr energienhet, D(E), er vi noen ganger interessert i antall tilstander pr impulsenhet, D(p). Dersom impulsen p tilsvarer energien E, må vi opplagt ha

N(p) = N(E)

for antall tilstander med impuls i intervallet [0, p]. Bruk dette til å bestemme tilstandstettheten D(p) i impulsrommet. Hva blir tilstandstettheten D(k) i “bølgetallsrommet” (k-rommet, også kalt “det resiproke rom”)?

Oppgave 2: Periodiske grensebetingelser

Vi har betraktet elektronene i et fast stoff som frie partikler i en “boks” med utstrekning [0, L] i de tre retningene x, y og z. I forelesningene brukte vi grensebetingelsene

ψ(0) = ψ(L) = 0

dvs at bølgefunksjonen ψ skulle forsvinne på boksens overflate. Da fant vi at bølgefunksjonene [den romlige delen, vi skriver ikke spinndelen eksplisitt her] ble stående bølger,

ψ(x, y, z) = (\frac{2}{L})^{3/2} sin \frac{n_{x}πx}{L} sin \frac{n_{y}πy}{L} sin \frac{n_{z}πz}{L}

der n_{x}, n_{y} og n_{z} alle var positive heltall. Alternativt kan vi velge å bruke såkalte periodiske grensebetingelser. En tenker seg da at systemet gjentas med periode L i x-, y- og z-retning. Dermed må bølgefunksjonen oppfylle

ψ(x + L) = ψ(x)
ψ(y + L) = ψ(y)
ψ(z + L) = ψ(z)

som altså er det vi kaller periodiske grensebetingelser. Løsningen av Schrödingerligningen (fremdeles med E_{p} = 0) er nå plane bølger

ψ(r⃗) = ψ(x, y, z) = \frac{1}{L^{3/2}} exp(ik⃗ · r⃗) = \frac{1}{L^{3/2}} exp (i(k_{x}x + k_{y}y + k_{z}z))

og de periodiske grensebetingelsene medfører at komponentene av bølgetallsvektoren k⃗ må ha verdiene

k_{x} = n_{x} \frac{2π}{L} ; n_{x} = 0, ±1, ±2...

k_{y} = n_{y} \frac{2π}{L} ; n_{y} = 0, ±1, ±2...

k_{z} = n_{z} \frac{2π}{L} ; n_{z} = 0, ±1, ±2...

a) Vis ved direkte innsetting at slike plane bølger er løsninger av Schrödingerligningen og bestem tilhørende energi E(n_{x}, n_{y}, n_{z}). b) I “n⃗-rommet” (n⃗ = (n_{x}, n_{y}, n_{z})) har vi 2 tilstander (husk: 2 spinnmuligheter pr romlig tilstand, spinn opp eller spinn ned) pr volumenhet, på samme måte som vi hadde med grensebetingelsen “ψ = 0 på systemets overflate”. Imidlertid kan n_{x}, n_{y} og n_{z} nå, med periodiske grensebetingelser, ha vilkårlige heltallsverdier, inklusive de negative samt null. Dermed er vi ikke lenger begrenset til den positive oktanten, og det totale antall tilstander inne i ei kule med radius n i n⃗-rommet blir nå 2 · 4πn^{3}/3 = 8πn^{3}/3, altså 8 ganger så mange som vi fant med grensebetingelsene “ψ = 0 på systemets overflate”. Vis at antall tilstander med energi mindre enn E likevel blir uforandret, dvs

N(E) = \frac{V}{3h̄^{3}π^{2}} (2mE)^{3/2}

(V = L^{3}) slik at tilstandstettheten D(E) blir den samme, uavhengig av hvilke typer grensebetingelser vi bruker.