Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Øving 7

Veiledning: Fredag 7. mars Innleveringsfrist: Tirsdag 11. mars

Bragg-refleksjon, energibånd og energigap

Med periodiske grensebetingelser i fritt-elektron-modellen fant vi at elektronene kunne beskrives med plane bølger

ψ(r⃗) = exp(ik⃗ · r⃗)

med tilhørende energier

E(k⃗) = \frac{h̄^{2}k^{2}}{2m}

Med andre ord, elektronene kan ha alle mulige verdier E > 0. Tilstedeværelsen av ionegitteret gjør imidlertid at fritt-elektron-modellen blir for enkel, og dersom Schrödingerligningen løses med et periodisk potensial, dvs periodisk E_{p}(r⃗), vil en finne energibånd, dvs intervaller med tillatte energiverdier, adskilt av energigap, dvs intervaller med forbudte energiverdier. Vi skal ikke på noen måte forsøke å bevise at det periodiske potensialet vil gi opphav til energibånd og energigap. Imidlertid skal vi se på en endimensjonal krystall og sannsynliggjøre at energibånd og -gap kan assosieres med Bragg-refleksjon, som dere kjenner fra bølgefysikken. La oss først repetere hva Bragg-refleksjon er: Anta at plane bølger reflekteres av en krystallstruktur der atomene er ordnet lagvis, med avstand d mellom atomlagene. Dersom både innkommende og reflektert bølge danner en vinkel θ med de ulike planene med atomlag, vil forskjellen i tilbakelagt veilengde for reflekterte bølger fra to naboplan være 2d sin θ. Konstruktiv interferens får vi dersom denne veilengdeforskjellen tilsvarer et helt antall av den innkommende bølgens bølgelengde λ, dvs

2d sin θ = nλ ; n = ±1, ±2, ...

[Se f.eks. Alonso og Finn, kap. 35.7 for flere detaljer.] På tilsvarende vis kan vi forestille oss at elektronbølger kan reflekteres av ionegitteret og interferere konstruktivt for spesielle verdier av elektronets bølgelengde.

a) Vi betrakter elektroner som plane bølger exp(ikx) i et en-dimensjonalt gitter (langs x-aksen) med N atomer og avstand a mellom atomene. Vis at konstruktiv interferens (dvs Bragg-refleksjon) mellom bølger som reflekteres av to naboatomer vil opptre når bølgetallet er

k = n\frac{π}{a} ; n = ±1, ±2, ...

b) La oss se nærmere på tilfellet n = ±1. Stasjonære (dvs: tidsuavhengige) tilstander kan settes sammen av slike plane bølger som reflekteres fram og tilbake i krystallen. Da får vi stående bølger, og de to mulighetene i 1 dimensjon er

ψ_{1}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} sin \frac{πx}{a}

ψ_{2}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} cos \frac{πx}{a}

Her er L = Na, slik at begge bølgefunksjonene er normert. Tegn opp litt av det endimensjonale gitteret med ioner i posisjon 0, ±a, ±2a etc. Skisser i samme figur elektronets sannsynlighetstetthet |ψ_{j}(x)|^{2} for de to stående bølgene (j = 1, 2) og dessuten for fri-partikkel-løsningen ψ_{0}(x) = exp(ikx)/\sqrt{L}.

c) De tre tilstandene ψ_{j}(x) (j = 0, 1, 2) i punkt b) vil ha forskjellige energier E_{j}. Ranger disse tre energiene innbyrdes, med utgangspunkt i at vi har en tiltrekkende Coulomb-vekselvirkning mellom elektronet og ionegitteret.

d) Fri-partikkel-løsningen ψ_{0} vil ikke representere en gyldig løsning for bølgetall k = ±π/a (og heller ikke for k = ±2π/a etc). Med andre ord, den tilhørende fri-partikkel-energien E_{0} = h̄^{2}π^{2}/2ma^{2} er ikke en tillatt energi for et elektron i et periodisk potensial; den ligger i det forbudte båndgapet. De to stående bølgene, derimot, er tillatte tilstander, og de tilhørende energiene E_{1}, E_{2} representerer toppen av første tillatte bånd og bunnen av andre tillatte bånd. (Fikk du til punkt c), vet du også hvilke av disse energiene som tilsvarer det ene og det andre!) Dermed må vi ha et båndgap som spenner over et energiintervall

E_{g} = |E_{1} − E_{2}|

Anta at størrelsen på båndgapet ved k = ±π/a er E_{g} = E_{0}/4, og at toppen av laveste bånd ligger like langt under E_{0} som bunnen av neste bånd ligger over E_{0}. Anta dessuten at fritt-elektron-modellen er en god tilnærmelse unntatt i nærheten av k = ±π/a, ±2π/a, .... Under disse forutsetningene, skisser E(k) i intervallet −3π/2a < k < 3π/2a. [Tips: For en gitt verdi av k vil elektronets hastighet være gitt som v = h̄^{−1}∂E(k)/∂k. Ettersom tilstandene ψ_{1} og ψ_{2} ved k = ±π/a er stående bølger, kan du kanskje resonnere deg fram til hva helningen til E(k) må være i k = ±π/a?]