Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Øving 8

Veiledning: Fredag 14. mars Innleveringsfrist: Tirsdag 18. mars

Oppgave 1: Hall-effekt med elektroner og hull

I forelesningene diskuterte vi Hall-effekten: Dersom vi plasserer en bit av et materiale i et magnetfelt B⃗ = B_{z}ẑ og driver en elektrisk strøm i x-retningen (med strømtetthet j_{x}), får vi etablert et elektrisk felt E_{y} i y-retningen, det såkalte Hall-feltet. Sammenhengen mellom disse tre størrelsene kunne uttrykkes ved Hall-konstanten R_{H}:

R_{H} ≡ \frac{E_{y}}{j_{x}B_{z}} = \frac{1}{nq}

der n er antall mobile ladninger pr volumenhet, og q er ladningen pr partikkel, dvs q = −e for elektroner. Vår utledning tok utgangspunkt i at vi kun hadde en type ladningsbærere tilstede i et gitt materiale. Nå har vi imidlertid kommet fram til at i noen materialer, fortrinnsvis halvledere (men også metaller dersom valensbånd og ledningsbånd overlapper i energi), vil vi ha to typer ladningsbærere tilstede, positivt ladete hull og negativt ladete elektroner. I en ren, “intrinsikk” halvleder har vi like mange hull som elektroner. I en “dopet” halvleder har vi enten i hovedsak elektroner (“n-type” halvleder) eller hull (“p-type halvleder). Oppgaven her består etterhvert i å vise at med både hull og elektroner tilstede generaliseres ovenstående uttrykk for Hall-konstanten til

R_{H} = \frac{E_{y}}{j_{x}B_{z}} = \frac{pμ_{p}^{2} − nμ_{n}^{2}}{e(pμ_{p} + nμ_{n})^{2}}

Her er n og p henholdsvis antall elektroner og hull pr volumenhet, mens μ_{n} og μ_{p} er mobiliteten for henholdsvis elektroner og hull.

Vi trenger selvsagt å vite hvordan mobiliteten er definert. Som vanlig antar vi at materialet er lineært og isotropt. Linearitet innebærer at partiklenes midlere driftshastighet v⃗ er proporsjonal med den drivende kraften F⃗, og dermed også proporsjonal med drivende kraft pr ladningsenhet, f⃗ = F⃗ /|q|. Isotropi innebærer at proporsjonalitetskonstanten er uavhengig av hvilken retning i materialet vi betrakter. (I et krystallinsk materiale vil vi typisk ikke ha isotropi, men det ser vi altså bort fra her!) Mobiliteten μ defineres nå nettopp ved

v⃗ = μf⃗

Den drivende kraften er i vårt tilfelle Lorentzkraften:

F⃗ = q(E⃗ + v⃗ × B⃗)

slik at

v⃗ = ±μ(E⃗ + v⃗ × B⃗)

der positivt (negativt) fortegn gjelder for hull (elektroner) med ladning q = e (q = −e). Med denne definisjonen er mobiliteten en positiv størrelse. Det er ingen spesiell grunn til at elektroner og hull skulle oppnå samme driftshastighet for en bestemt verdi av den drivende kraften. Med andre ord, mobiliteten for elektroner og hull er generelt forskjellige:

μ_{n} ≠ μ_{p}

a) Eksperimentet utføres ved at Hall-prøven påtrykkes en spenning, og dermed et elektrisk felt E_{x} i x-retningen. Magnetfeltet B_{z} i z-retningen fører til at ladningsbærerne avbøyes i y-retningen og etablerer et elektrisk felt E_{y} i yretningen. Det er med andre ord ingen (netto) bevegelse i z-retningen, så vi kan skrive

v⃗_{i} = v_{ix}x̂ + v_{iy}ŷ ; i = n, p

for driftshastigheten til elektronene (i = n) og hullene (i = p). Uttrykk de ulike komponentene av driftshastighetene (dvs v_{nx}, v_{ny}, v_{px}, v_{py}) ved mobilitetene (μ_{n}, μ_{p}) og feltene (E_{x}, E_{y}, B_{z}). Tips: Anta at driftshastigheter i x-retningen ikke påvirkes av magnetfeltet. Med andre ord, anta at v_{iy}B_{z} ≪ E_{x}.

b) Når driftshastighetene er kjent, kan vi også beregne strømtettheten j⃗:

j⃗ = ∑_{i=n,p} n_{i}q_{i}v⃗_{i} = j_{x}x̂ + j_{y}ŷ

(med n_{n} = n, n_{p} = p, q_{n} = −e og q_{p} = e) Ved stasjonære forhold har vi j_{y} = 0. Bruk dette til å vise at Hall-konstanten R_{H} blir som oppgitt nederst på side 1.

c) Hva blir R_{H} for en n-type (dvs n ≫ p) og en p-type (dvs p ≫ n) halvleder?

Oppgave 2

a) For en gitt temperatur T sier halvlederligningen (“massevirkningsloven”) at produktet av elektronkonsentrasjonen n og hullkonsentrasjonen p er konstant i en halvleder:

n · p = konst.

Rent germanium (Ge) har ved romtemperatur ca 3 · 10^{13} elektroner (eksitert til ledningsbåndet) pr cm^{3}. Dersom Ge forurenses (“dopes”) med arsen (As), vil så godt som alle As-atomene bidra med (dvs “donere”) ett elektron til ledningsbåndet (ved T = 300 K). Med et “dopenivå” på N_{d} = 10^{17} As-atomer pr cm^{3}, bestem resulterende elektrontetthet n og hulltetthet p. Hvor mange ladningsbærere har vi totalt pr cm^{3} (dvs hull + elektroner) i henholdsvis rent Ge og i Ge dopet med 10^{17} As-atomer pr cm^{3}?

b) I forelesningene sa vi rett og slett at tettheten av elektroner i ledningsbåndet (og dermed også tettheten av hull i valensbåndet) i en ren (“intrinsikk”) halvleder er proporsjonal med faktoren exp(−E_{g}/2k_{B}T), der E_{g} er størrelsen på båndgapet. Et mer presist uttrykk kan beregnes, under forutsetning av at det kjemiske potensialet μ (også kalt Ferminivået) ligger i båndgapet og ikke for nær verken bunnen av ledningsbåndet eller toppen av valensbåndet:

n = p = AT^{3/2} exp(−\frac{E_{g}}{2k_{B}T})

Faktoren A er ikke avhengig av T, men vil være forskjellig for ulike halvledere. For Ge er A ≃ 2.4 · 10^{15} K^{−3/2} cm^{−3} og E_{g} = 0.67 eV, slik at E_{g}/2k_{B} = 3884 K. Regn ut n for temperaturer mellom 100 og 800 K (dvs mellom -173 og 527 ^{∘}C) og tegn opp n(T) både på lineær og logaritmisk skala.