Institutt for fysikk, NTNU Fag MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Vår 2003

Øving 9

Veiledning: Fredag 21. mars Innleveringsfrist: Tirsdag 25. mars

Tetthet av elektroner og hull i halvleder [Nok en øving med mye tekst, men ikke så forferdelig mye regning!]

I forelesningene (og i forrige øving) konstaterte vi simpelthen at produktet av n (dvs tettheten av elektroner i ledningsbåndet) og p (dvs tettheten av hull i valensbåndet) i en halvleder er konstant for gitt temperatur T, og gitt ved

n · p = AT^{3} exp(−\frac{E_{g}}{k_{B}T})

der E_{g} er størrelsen på båndgapet, dvs avstanden fra toppen av valensbåndet, E_{v}, til bunnen av ledningsbåndet, E_{c}. La oss kontrollere dette resultatet ved å beregne n og p. Vi skal gjøre et par antagelser underveis, men dette vil være rimelige antagelser, slik at resultatet stemmer bra med den virkelige verden. For å bestemme antall ladningsbærere pr volumenhet, må vi kjenne følgende to størrelser:

• Tilstandstettheten D(E), dvs hvor mange mulige tilstander vi kan putte elektroner (eller hull) i pr energienhet.

• Sannsynligheten f(E) for at en tilstand med energi E vil være okkupert av et elektron, og sannsynligheten 1 − f(E) for at en tilstand vil være okkupert av et hull.

Vi begynner med tilstandstettheten, og her kommer første antagelse inn: Nær bunnen av ledningsbåndet har vi med god tilnærmelse en kvadratisk sammenheng mellom energien E og bølgetallet k⃗: E(k) = E_{c} + h̄^{2}k^{2}/2m_{c}. Størrelsen m_{c} er bestemt av krumningen på E(k), ettersom ∂^{2}E/∂k^{2} = h̄^{2}/m_{c}. Hvis vi sammenligner med frie elektroner (dvs E_{fri}(k) = h̄^{2}k^{2}/2m, jfr forelesningene om “partikkel i boks”), ser vi at m_{c} kommer inn som en effektiv masse som ikke behøver å være like stor som elektronets “frie masse” m. Poenget er: Ved bunnen av ledningsbåndet vil elektronene oppføre seg som frie elektroner, men med effektiv masse m_{c} istedetfor m. I en halvleder er typisk m_{c} < m. For frie elektroner utledet vi i forelesningene et uttrykk for tilstandstettheten. Dette uttrykket kan vi nå bruke for tilstandene nær bunnen av ledningsbåndet, bare vi passer på å erstatte elektronmassen m med den effektive massen m_{c}, og dessuten husker på at bunnen av ledningsbåndet tilsvarer E = E_{c} (og ikke E = 0 som for frie elektroner). Altså blir tilstandstettheten ved bunnen av ledningsbåndet:

D_{c}(E) = \frac{V}{2h̄^{3}π^{2}} (2m_{c})^{3/2}(E − E_{c})^{1/2}

Her er V volumet til halvlederen. Sannsynligheten for at en tilstand med energi E er okkupert ved temperaturen T er gitt ved Fermi-Dirac-fordelingen:

f(E) = \frac{1}{exp (\frac{E−μ}{k_{B}T}) + 1}

Her kommer andre antagelse inn: Vi antar at det kjemiske potensialet μ ligger i båndgapet, og ikke for nær bunnen av ledningsbåndet. “Ikke for nær” innebærer at vi for alle E > E_{c} kan neglisjere leddet 1 i nevneren. Dermed er

f(E) ≃ exp (\frac{μ − E}{k_{B}T} )

og vi har det vi trenger for å bestemme n.

a) Bruk ovenstående til å beregne antall elektroner i ledningsbåndet,

N_{c} = ∫_{E_{c}}^{∞} D_{c}(E)f(E)dE

og dermed også tettheten av elektroner, n = N_{c}/V. Tips: Svaret skal bli på formen n = A_{n}T^{3/2} exp[(μ − E_{c})/k_{B}T], der A_{n} er en konstant som du skal bestemme. Kommentar: Fritt-elektron-resultatet for D_{c}(E) er som sagt bare gyldig nær bunnen av ledningsbåndet, dvs for E ∼^{>} E_{c}. Likefullt er det en god tilnærmelse å bruke fritt-elektron-resultatet for D_{c}(E) helt opp til E = ∞ i uttrykket for N_{c}. Hvorfor? Oppgitt:

∫_{0}^{∞} x^{1/2}e^{−x}dx = \frac{\sqrt{π}}{2}

b) Beregning av hulltettheten p i valensbåndet følger samme spor. Første antagelse er igjen en tilnærmet kvadratisk sammenheng mellom E og k, denne gang nær toppen av valensbåndet:

E(k) ≃ E_{v} − \frac{h̄^{2}k^{2}}{2m_{v}}

Størrelsen m_{v} er igjen en effektiv masse, bestemt av krumningen på E(k), nå ikke for elektroner, men for hull. Med andre ord: Nær toppen av valensbåndet har vi tilstander som for fri partikler, ikke med masse m men med masse m_{v}. Igjen kan fritt-elektron-resultatet for tilstandstettheten adopteres, slik at

D_{v}(E) = \frac{V}{2h̄^{3}π^{2}} (2m_{v})^{3/2}(E_{v} − E)^{1/2}

blir tettheten av tilstander for hull nær toppen av valensbåndet. Er en tilstand okkupert av et hull, betyr det at tilstanden ikke er okkupert av et elektron. Og sannsynligheten for det må være

1 − f(E) = 1 − \frac{1}{exp (\frac{E−μ}{k_{B}T}) + 1} = \frac{1}{exp (\frac{μ−E}{k_{B}T} ) + 1}

Nok en gang gjelder andre antagelse beliggenheten av det kjemiske potensialet, nemlig at det ikke ligger for nær toppen av valensbåndet. Dermed kan vi for alle E < E_{v} neglisjere leddet 1 i nevneren og får

1 − f(E) ≃ exp (\frac{E − μ}{k_{B}T})

Bruk dette til å bestemme antall hull i valensbåndet, N_{v}, og dermed også tettheten av hull, p = N_{v}/V. Tips: Svaret skal bli på formen p = A_{p}T^{3/2} exp[(E_{v} − μ)/k_{B}T], der A_{p} er en konstant som du skal bestemme. c) Vis at produktet n · p blir på formen gitt på side 1, dvs uavhengig av det kjemiske potensialet μ. Bestem konstanten A i det oppgitte uttrykket.

d) For en ren (intrinsikk) halvleder er n = p = n_{i}. Bruk dette sammen med de beregnede uttrykkene for n og p til å bestemme det kjemiske potensialet μ_{i} i en ren halvleder. Er resultatet i tråd med antagelsene om at μ ikke skulle ligge for nær ledningsbåndets bunn og valensbåndets topp? Hva blir betingelsen for at μ_{i} skal ligge eksakt midt i båndgapet?

e) Under forutsetning av fullstendig ionisering har vi i en p-type halvleder p ≃ N_{A} der N_{A} er tettheten av forurensningsatomer (akseptorer). Bruk (noen av) resultatene funnet ovenfor til å vise at tettheten av elektroner n i en p-type halvleder kan uttrykkes på formen

n = n_{i} exp (\frac{μ − μ_{i}}{k_{B}T} )

der n_{i} og μ_{i} er henholdsvis elektrontettheten og det kjemiske potensialet i en intrinsikk halvleder av samme materiale. Med utgangspunkt i at n · p = n_{i}^{2}, vis også at det kjemiske potensialet μ blir

μ = μ_{i} − k_{B}T ln \frac{N_{A}}{n_{i}}
= \frac{E_{v} + E_{c}}{2} − k_{B}T ln [\frac{N_{A}}{n_{i}} (\frac{m_{c}}{m_{v}} )^{3/4}]

Kommentar: På samme måte blir n ≃ N_{D} i en n-type halvleder med N_{D} (ioniserte) donorer pr volumenhet, mens hulltettheten da blir

p = n_{i} exp (\frac{μ_{i} − μ}{k_{B}T})

og

μ = \frac{E_{v} + E_{c}}{2} + k_{B}T ln [\frac{N_{D}}{n_{i}} (\frac{m_{v}}{m_{c}} )^{3/4}]

Med andre ord: For økende mengde doping, dvs økende N_{A} (evt N_{D}) kryper det kjemiske potensialet nedover mot toppen av valensbåndet (evt oppover mot bunnen av ledningsbåndet). Ikke direkte urimelig, ettersom μ tilsvarer den energien der sannsynligheten for å ha en okkupert tilstand er lik 1/2.