Side 1 av 7

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK

Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33

EKSAMEN TEP4145 KLASSISK MEKANIKK Mandag 21. mai 2007 kl. 0900 - 1300 Norsk utgave

Hjelpemiddel: C

• K. Rottmann: Matematisk formelsamling (alle språk).

• Typegodkjend kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidd av NTNU. (HP30S eller liknende.)

Vedlegg A: Oppgavene (Side 2 - 6). Vedlegg B: Formler (Side 7).

Prøva består av 5 oppgaver. Det er angitt hvor mye de ulike oppgavene i utgangspunktet vil telle under vurderinga. Gjør oppgavene 1, 2 og 3, samt enten oppgave 4 (fysikk) eller oppgave 5 (teknisk kybernetikk). Merk at Einsteins summekonvensjon, dvs summasjon over gjentatte indekser, benyttes, med mindre noe annet er spesifisert.

Sensuren kommer når den er klar, seinest 12. juni.

Side 2 av 7

Vedlegg A: Oppgavene

OPPGAVE 1 [Teller 25%]

a) Utled Lagranges ligning,

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇} − \frac{∂L}{∂q} = 0,

fra Hamiltons prinsipp

δI = δ ∫_{t_{1}}^{t_{2}} L(q, q̇, t) dt = 0.

for et system med en frihetsgrad. Her er det ingen variasjon i endepunktene, og virtuelle variasjoner i koordinaten q gjøres ved fast tid t, dvs δt = 0.

b) En punktformet masse m glir uten friksjon på en ring som roterer mot klokka i xy-planet med konstant vinkelhastighet ω_{0}. Ringen, som har radius R, roterer omkring et punkt på ringen. Dette punktet ligger fast i origo x = y = 0, som vist i figuren nedenfor (til venstre).

• Finn lagrangefunksjonen L(θ, θ̇) til massen m.

• Finn Lagranges ligning, dvs bevegelsesligningen for massen m.

• Bevegelsesligningen ville bli den samme dersom massen m svingte fram og tilbake i enden av ei masseløs stang i tyngdefeltet (se figuren nedenfor, til høyre; tyngdens akselerasjon = g). Vis dette og bestem stangas lengde l.

OPPGAVE 2 [Teller 25%]

Tre kuler med masse henholdsvis m (kule nr 1, til venstre), 3m (kule nr 2, i midten) og 2m (kule nr 3, til høyre) er koblet sammen med to identiske (og ideelle) fjærer med fjærkonstant k, som vist i figuren:

Fjærene kan kun strekkes, ikke bøyes. Vi antar at kulene bare kan bevege seg langs x-aksen, og vi skal her betrakte oscillasjoner omkring kulenes likevektsposisjoner, som er henholdsvis x_{10}, x_{20} og x_{30}.

• Bruk kulenes utsving fra likevekt, η_{i} = x_{i} − x_{i0} (i = 1, 2, 3), som koordinater og bestem (de symmetriske) matrisene V og T i de kvadratiske uttrykkene

V = \frac{1}{2}V_{ij} η_{i} η_{j},
T = \frac{1}{2}T_{ij} η̇_{i} η̇_{j},

for systemets potensielle og kinetiske energi. Her er V_{ij} og T_{ij} matriseelementer av henholdsvis V og T.

• Løs den sekulære ligningen

|V − ω^{2} T | = 0,

og bestem derved systemets to egenfrekvenser f_{α} = ω_{α}/2π (α = 1, 2). Finn tallverdier for f_{α} når m = 100 g og k = 10^{3} N/m. (Se bort fra moden med ω = 0, som tilsvarer ren translasjon av systemet.)

OPPGAVE 3 [Teller 25%.]

I denne oppgaven skal vi studere en kanonisk transformasjon (q, p) → (Q, P) av en enkel endimensjonal harmonisk oscillator (i = \sqrt{−1}):

Q(q, p) = \frac{1}{\sqrt{2i}} (q + ip) ,
P (q, p) = \frac{−1}{\sqrt{2i}} (q − ip) .

Vi setter for lettvinthets skyld m = k = 1 (m = massen og k = fjærkonstanten til oscillatoren).

• Hva er oscillatorens hamiltonfunksjon H(q, p) = T + V?

• Vis at den gitte transformasjonen (q, p) → (Q, P) er kanonisk. Tips: Benytt deg av at poissonklammer er invariante under en kanonisk transformasjon, for eksempel [q, p] = [Q, P].

• Bestem hamiltonfunksjonen K(Q, P) i de nye koordinatene Q, P. (Her er K = H.)

• Finn Hamiltons ligninger for Q og P og løs disse med startbetingelsene q(t = 0) = p(t = 0) = 1.

• Hva er oscillatorens totale energi?

OPPGAVE 4 [For fysikkstudentene, teller 25%.]

a) Den elektromagnetiske felttensoren F_{μν} er definert ved

F_{μν} = \frac{∂A_{ν}}{∂x_{μ}} − \frac{∂A_{μ}}{∂x_{ν}} .

Bestem elementene i matrisen F (dvs: uttrykt ved feltene E og B).

b) Vis at E · B er invariant under en lorentztransformasjon.

c) En punktladning q passerer origo ved tidspunktet t = 0 og beveger seg med konstant hastighet v i positiv x-retning. La oss kalle inertialsystemet hvor punktladningen er i ro for S_{0} og inertialsystemet hvor punktladningen beveger seg med hastighet vx̂ for S (x̂ er enhetsvektor). Det oppgis at det elektriske feltet i avstand r fra punktladningen er

E = \frac{q}{4πε_{0}} \frac{1 − β^{2}}{(1 − β^{2} sin^{2} θ)^{3/2}} \frac{r}{r^{3}}

målt i S. Her angir θ vinkelen mellom x-aksen og r, se figuren nedenfor, og β = v/c. Hva er magnetfeltet B_{0} målt i S_{0}? Vis at magnetfeltet, målt i S, kan skrives på formen

B = \frac{1}{c^{2}} v × E.

d) Hva blir magnetfeltet B i den ikkerelativistiske grensen v ≪ c? Sammenlign resultatet med Biot-Savarts lov,

dB = \frac{μ_{0}}{4π} \frac{I dl × r}{r^{3}} .

Skisser feltlinjer for B i yz-planet.

OPPGAVE 5 [For kybernetikkstudentene, teller 25%.]

a) La oss ta utgangspunkt i hvordan antall individer i en dyrekoloni utvikler seg med tiden. Anta - enklest mulig - at bestanden vokser med en fast faktor hvert år, dvs. at det eksisterer en μ > 1 slik at

b_{n+1} = μ b_{n},

der b_{n} er bestanden i år n og b_{n+1} er bestanden i år n + 1. Hva slags ligning er dette, og hva er den generelle løsningen? Skriv ned en kort forklaring på hvorfor denne modellen er urealistisk.

b) En forbedret modell oppnås ved å la B være øvre estimat på antall dyr kolonien kan romme. Definer modellen ved at

b_{n+1} = μ b_{n} (1 − \frac{b_{n}}{B} ) .

Vi innfører relativ bestand

x_{n} = \frac{b_{n}}{B} ,

og har da

x_{n+1} = μ x_{n} (1 − x_{n}) .

Videre definerer vi

F_{μ}(x) = μ x (1 − x) ,

som gir at

x_{n+1} = F_{μ}(x_{n}).

Lag en enkel skisse av F_{μ}(x), og skriv ned koordinatene til topp-punktet. La x_{0} være skjæringspunktet mellom grafen til y = F_{μ}(x) og grafen til y = x. Hva er da x_{n} som funksjon av x_{0}? Hva slags punkt er x_{0}?

c) Definer begrepet fikspunkt for en funksjon f. Definer begrepet periodisk punkt for en funksjon f, og gjør rede for begrepet grunnperiode for punktet. Forklar/definer tiltrekkende fikspunkt og frastøtende fikspunkt for en funksjon f.

d) Betrakt nå avslutningsvis

F_{μ}(x) = μ x (1 − x) .

Bestem de to fikspunktene til F_{μ}. La øvre skranke for μ være 3, og avgjør om fikspunktene er tiltrekkende eller frastøtende.

Side 7 av 7

Vedlegg B: Formler

Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent.

• Hamiltons ligninger:

q̇_{i} = \frac{∂H}{∂p_{i}} , ṗ_{i} = −\frac{∂H}{∂q_{i}}

• Lagranges ligninger:

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} − \frac{∂L}{∂q_{i}} = 0

• Poissonklammer:

[f, g] = \frac{∂f}{∂q_{i}} \frac{∂g}{∂p_{i}} − \frac{∂g}{∂q_{i}} \frac{∂f}{∂p_{i}}

[q_{i}, q_{j}] = [p_{i}, p_{j}] = 0 , [q_{i}, p_{j}] = δ_{ij}

• Firervektor:

x_{μ} = (r, ict)

• Firerpotensial:

A_{μ} = (A, iϕ/c)

• Elektromagnetisk felt:

E = −∇ϕ − \frac{∂A}{∂t}

B = ∇ × A

• Lorentztransformasjon (med relativ hastighet v = vx̂):

L_{22} = L_{33} = 1 , L_{11} = L_{44} = γ , L_{14} = −L_{41} = iβγ β = v/c , γ = 1/\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}

• Lorentztransformasjon av elektromagnetisk felt (der inertialsystemet S_{0} beveger seg med hastighet

vx̂ relativt til S):

E_{x} = E_{0x} , E_{y} = γ(E_{0y} + vB_{0z}) , E_{z} = γ(E_{0z} − vB_{0y})
B_{x} = B_{0x} , B_{y} = γ(B_{0y} − \frac{v}{c^{2}} E_{0z}) , B_{z} = γ(B_{0z} + \frac{v}{c^{2}} E_{0y})

• Trigonometriske relasjoner:

cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b