Klassisk Mekanikk

⋯

IVER H. BREVIK

KOMPENDIUM i faget

TEP4145 Til L^{A}TEXved Simen Ellingsen

Institutt for Energi og Prosessteknikk, Norges Teknisk Naturvitenskapelige Universitet

Mars 2006

Klassisk Mekanikk

Iver H. Brevik ^{∗}

2006

Innhold

1 Fundamentale prinsipper 4 1.1 Systemer med flere partikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Føringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Generaliserte koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 D’Alemberts prinsipp og Lagranges ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Levi-Civita-symbolet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Generaliserte (hastighetsavhengige) potensialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 Anvendelse: Elektromagnetisk potensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 Friksjonskrefter og Rayleighs dissipasjonsfunksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Eksempler på bruk av Lagrangeformalismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Variasjonsprinsipper og Lagranges ligninger 17 2.1 Hamiltons prinsipp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Lagranges ligninger fra Hamiltons prinsipp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Variasjonsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Hamiltons prinsipp for ikke-holonome systemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Fordeler med variasjonsprinsipp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Bevarelsessetninger og symmetriegenskaper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.1 Translasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.2 Rotasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.3 Bevarelse av energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Hamiltons ligninger 30

3.1 Legendretransformasjoner og Hamiltons bevegelsesligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.1 Hamilton vs. Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2 Generelt om Legendretransformasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.3 Fra Lagrange- til Hamiltonformalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Tolegemeproblemet; sentrale krefter 34 4.1 Reduksjon til ekvivalent ettlegemeproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Bevegelsesligningene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 Ekvivalent éndimensjonalt problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.4 Virialteoremet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Keplerproblemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.5.1 Omløpstid T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5.2 Tidsutviklingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6 Spredning i sentralt kraftfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.6.1 Repulsiv spredning av ladde partikler i Coulombfeltet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Stive legemers kinematikk 52

∗Til L^{A}TEX ved Simen A. Ellingsen. Originalillustrasjoner ved Jon Andreas Støvneng, bortsett fra de to nederste figurene på side 69 og på side 107 ved Iver Brevik, og figur 19, 21 samt liten figur på s. 49 ved Simen Ellingsen

5.1 Uavhengige koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2 Ortogonale transformasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.3 Formelle egenskaper til transformasjonsmatrisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.4 Eulervinklene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.5 Infinitesimale transformasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.6 Tidsendring av en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6.1 Komponentene ω⃗ langs legemets akser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.7 Corioliskraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Bevegelsesligninger for stive legemer 65 6.1 Dreieimpuls og kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2 Eulerligningene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.3 Fri rotasjon av stivt legeme; presesjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7 Små oscillasjoner 74 7.1 Kort rekapitulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.2 System av koblede oscillatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2.1 Svingemoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2.2 Amplituder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2.3 Minorer til systemdeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.2.4 Normalkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.3 Fri vibrasjoner av lineært symmetrisk treatomig molekyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8 Spesiell relativitetsteori 84 8.1 Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.2 Lorentztransformasjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.2.1 Einsteins addisjonsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.2.2 Formelle egenskaper til 𝕃 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.3 Litt om reell metrikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.4 Kovariant firedimensjonal formulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.4.1 Firerhastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.4.2 Firerstrømtetthet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.4.3 Maxwells ligninger og firerpotensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.5 Relativistisk mekanikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.6 Relativistisk kinematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.6.1 Relativistisk felttensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9 Kanoniske transformasjoner 104

9.1 Transformasjon av faserommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.1.1 Alternativ 1: F = F_{1}(q, Q, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.1.2 Alternativ 2: F = F_{2}(q, P, t) − Q_{i}P_{i} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.1.3 Alternativ 3: F = q_{i}p_{1} + F_{3}(p, Q, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.1.4 Alternativ 4: F = q_{i}p_{1} − Q_{i}P_{i} + F_{4}(p, P, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.2 Poissonklammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.2.1 Sammenheng med kvantemekanikken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.2.2 Jacobis identitet og Poissons teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.2.3 Kanonisk transformasjon av Poissonklammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.2.4 Liouvilles teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9.3 Hamilton-Jacobi-teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1 Fundamentale prinsipper

Vi definerer først noen grunnleggende størrelser:

• Hastighetsvektor: v⃗ = \frac{dr⃗}{dt}

• Lineær impuls: p⃗ = mv⃗

• Total kraft: F⃗ (gravitasjon, elektrodynamisk, etc.)

• Dreieimpuls omkring origo: L⃗ = r⃗ × p⃗.

• Kraftmoment omkring origo: N⃗ = r⃗ × F⃗. Vi husker fra mekanikken at Newtons 2. lov,

F⃗ = \frac{dp⃗}{dt},  (1.1)

gjelder i inertialsystemer. Hvis massen m er konstant, kan eq. (1.1) skrives på formen:

F⃗ = m\frac{dv⃗}{dt} = ma⃗.

Motsatt kan vi også si at dersom Newtons 2. lov gjelder, har vi et inertialsystem (=Galileisk system). Vi husker videre at vi har bevaringslover for henholdsvis lineær impuls og dreieimpuls:

Hvis F⃗ = 0, er p⃗ bevart.
Hvis N⃗ = 0, er L⃗ bevart.

Med definisjonen av kraftmomentet ovenfor får vi nå at

N⃗ = r⃗ × \frac{dp⃗}{dt} = \frac{d}{dt} (r⃗ × p⃗) − \frac{dr⃗}{dt} × p⃗ = \frac{dL⃗}{dt} − \underbrace{v⃗ × mv⃗}_{=0}

= \frac{dL⃗}{dt}.

Som vi ser, er dette resultatet helt analogt med Newtons 2. lov som vi hadde for translasjon.

Arbeidet som utføres av en ytre kraft F⃗ på partikkelen når denne beveger seg fra 1 til 2 er gitt ved

W_{12} = ∫_{1}^{2} F⃗ · ds⃗  (1.2)

Anta at m =konstant:

Figur 1:

∫ F⃗ · ds⃗ = m ∫ \frac{dv⃗}{dt} · v⃗dt = m · \frac{1}{2} ∫ \frac{d}{dt}v^{2}dt

Dette gir:

W_{12} = \frac{1}{2}m(v_{2}^{2} − v_{1}^{2}) = T_{2} − T_{1},  (1.3)

det vil si at arbeidet på partikkelen fra 1 til 2 er lik endringen i partikkelens kinetiske energi. Vi har et konservativt system dersom W_{12} er den samme for alle mulige veier fra 1 til 2. Matematisk kan dette uttrykkes slik:

∮ F⃗ · ds⃗ = 0,  eller  (1.4)
F⃗ = −∇V (r⃗),  (1.5)

der V generelt er en funksjon av posisjonen r⃗ (den potensielle energien). Vi ser at eq. (1.4) utelukker at et system med friksjon kan være konservativt; ettersom friksjonskraften virker motsatt bevegelsesretningen, vil hele tiden F⃗ · ds⃗ > 0. Nullnivået for funksjonen V er vilkårlig. For et konservativt system har vi altså fra eq. (1.4), (1.2) og (1.3) at

\begin{matrix}W_{12} = V_{1} − V_{2} \\ W_{12} = T_{2} − T_{1} \end{matrix} \} ⟹ T_{1} + V_{1} = T_{2} + V_{2}

Det betyr at:

For et konservativt system er total partikkelenergi T + V bevart. (1.6)

1.1 Systemer med flere partikler

For partikkel i skriver vi Newtons 2. lov som:

∑_{j} F⃗_{ji} + F⃗_{i}^{(e)} = ṗ_{i},

der F⃗_{i}^{(e)} er ytre kraft på partikkel i og F⃗_{ji} er indre kraft fra partikkel j (F⃗_{ii} = 0). Vi antar at F⃗_{ji} oppfyller Newtons 3. lov:

Kreftene to partikler utøver på hverandre

(“Svak lov om aksjon er like store og motsatt rettet og reaksjon”)

(1.7)

Summerer over alle partikler i:

∑_{i} ṗ_{i} = ∑_{i} m_{i} \frac{d}{dt}v⃗_{i} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} ∑_{i} m_{i}r⃗_{i} = \underbrace{∑_{i} F⃗_{i}^{(e)}}_{=F⃗^{(e)}} + \underbrace{∑_{i,j;i≠j} F⃗_{ji}}_{=0}

Impulsbevarelse

Vi definerer posisjonen til massesenteret, R⃗ (massesenter forkortes gjerne med CM - “centre of mass”):

R⃗ ≡ \frac{∑ m_{i}r⃗_{i}}{∑ m_{i}} = \frac{∑ m_{i}r⃗_{i}}{M} ,  (1.8)

og får:

M \frac{d^{2}}{dt^{2}} R⃗ = F⃗^{(e)},  (1.9)

dvs. CM beveger seg som om all masse var konsentrert i CM. Vi har over definert den totale massen som M ≡ ∑_{i} m_{i}. Den totale impulsen er nå gitt ved

P⃗ = ∑ m_{i} \frac{dr⃗_{i}}{dt} = M \frac{dR⃗}{dt}.

Vi sammenligner med ligningene vi hadde for én partikkel, og får bevaringsloven for total impuls:

Hvis F⃗^{(e)} = 0, er P⃗ bevart.  (1.10)

Merk at bevaringsloven for total impuls krever svak lov om aksjon og reaksjon.

Dreieimpulsbevarelse

Vi skriver den totale dreieimpulsen som vi har sett:

L⃗ = ∑_{i} r⃗_{i} × p⃗_{i}

så

L̇ = \frac{d}{dt} ∑_{i} r⃗_{i} × p⃗_{i} = ∑_{i} r⃗_{i} × ṗ_{i},

siden ∑_{i} ṙ_{i} × p⃗_{i} = ∑_{i} \frac{1}{m_{i}} p⃗_{i} × p⃗_{i} = 0. Innsetting i Newtons 2. lov, ṗ_{i} = F⃗_{i}^{(e)} + ∑_{j} F⃗_{ij}, gir

L̇ = ∑_{i} r⃗_{i} × F⃗_{i}^{(e)} + ∑_{i,j;i≠j} r⃗_{i} × F⃗_{ji}

Siste ledd kan skrives som sum over et par av formen

r⃗_{i} × F⃗_{ji} + r⃗_{j} × F⃗_{ij} = (r⃗_{i} − r⃗_{j}) × F⃗_{ji},

fordi F⃗_{ji} = −F⃗_{ji}. Med r⃗_{i} − r⃗_{j} ≡ r⃗_{ij} kan vi skrive

L̇ = N⃗^{(e)} + \frac{1}{2} ∑_{i,j;i≠j} r⃗_{ij} × F⃗_{ji}

Hvis indre kraft mellom i og j ligger langs forbindelseslinjen, altså at vi har sentrale krefter (“sterk lov om aksjon og reaksjon”), vil alle r⃗_{ij} × F⃗_{ij} = 0, slik at

\frac{dL⃗}{dt} = N⃗^{(e)};  N⃗^{(e)} = ytre dreiemoment.  (1.11)

Dermed finner vi bevaringsloven for total dreieimpuls: Vi sammenligner med ligningene vi hadde for én partikkel, og får bevaringsloven for total impuls:

Hvis N⃗^{(e)} = 0, er L⃗ bevart.  (1.12)

Merk at bevaringsloven for total impuls forutsetter sentrale krefter.

Vi ser av figur 2 at vi kan skrive om L⃗ ved å sette r⃗_{i} = R⃗ + r′_{i} og v⃗_{i} = v⃗ + v′_{i}:

L⃗ = ∑_{i} r⃗_{i} × p⃗_{i} = ∑_{i}(R⃗ + r′_{i}) × m_{i}(v⃗ + v′_{i})

= ∑_{i} R⃗ × m_{i}v⃗ + ∑_{i} r′_{i} × m_{i}v′_{i} + \underbrace{(∑_{i} m_{i}v′_{i})}_{=0} ×v⃗ + R⃗ × \frac{d}{dt} \underbrace{∑_{i} m_{i}r′_{i}}_{=0},

gir

L⃗ = R⃗ × Mv⃗ + ∑_{i} r′_{i} × p′_{i}.

Av dette ser vi at dreieimpulsen om origo er lik dreieimpulsen av systemet konsentrert i CM pluss dreieimpulsen omkring CM. Dersom R⃗ ligger fast i forhold til origo (v⃗ = 0), er L⃗ lik dreieimpulsen omkring CM og uavhengig av referansepunktet.

Figur 2: Omskriving av L⃗

Energi Vi husker uttrykket for arbeidet som utføres når et system flyttes fra 1 til 2 (ligning 1.2):

W_{12} = ∑_{i} ∫_{1}^{2} F⃗_{i} · ds⃗_{i} = ∑_{i} ∫_{1}^{2} F⃗_{i}^{(e)} · ds⃗_{i} + ∑_{i,j;i≠j} F⃗_{ji} · ds⃗_{i}.

La oss se på venstre side av denne ligningen der vi setter F⃗_{i} = m_{i}v̇_{i} og ds⃗_{i} = v⃗_{i}dt:

W_{12} = ∑_{i} ∫_{1}^{2} m_{i}v̇_{i} · v⃗_{i}dt = ∑_{i} ∫_{1}^{2} d(\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}) = T_{2} − T_{1},

som før! Vi har brukt det velkjente T = \frac{1}{2} ∑_{i} m_{i}v_{i}^{2}. Vi kan igjen dele opp i en “massesenterdel” og en “indre del” (som vist i figur 2):

T = \frac{1}{2} ∑_{i} m_{i}(v⃗ + v′_{i}) · (v⃗ + v′_{i})

= \frac{1}{2} ∑_{i} m_{i}v^{2} + \frac{1}{2} ∑_{i} m_{i}v′_{i}^{2} + v⃗ · \frac{d}{dt} \underbrace{∑_{i} m_{i}r′_{i}}_{=0}

endelig:

T = \frac{1}{2}Mv^{2} + \frac{1}{2} ∑_{i} m_{i}v′_{i}^{2}  (1.13)

1.2 Føringer

Føringer er betingelser som definerer rammene for systemet vi betrakter.

Figur 3: Eksempler på føringer

Vi ønsker å uttrykke systemets føringer matematisk. I denne forbindelse skiller vi mellom to klasser av føringer:

• Holonome føringer er føringer som kan uttrykkes matematisk på formen

f(r⃗_{1}, r⃗_{2}, ..., t) = 0.

Eksempel: et fast legeme der avstanden mellom to punkter i legemet er konstant: (r⃗_{i} − r⃗_{j})^{2} − c_{ij}^{2} = 0 • Ikke-holonome føringer lar seg ikke skrive på formen ovenfor. Eksempel: partikkel som beveger seg i

området omkring en hard kule:

Videre klassifiserer vi føringer med hensyn til tidsavhengighet:

• Rheonome føringer er tidsavhengige.

• Skleronome føringer er tidsuavhengige.

1.2.1 Generaliserte koordinater

Vi vet at N partikler har 3N uavhengige koordinater, eventuelt 3N frihetsgrader. Med k holonome føringsbetingelser fås 3N − k frihetsgrader. Vi innfører da nye og uavhengige koordinater q_{1}, q_{2}, ..., q_{3N−k} slik at

r⃗_{1} = r⃗_{1}(q_{1}, q_{2}, ..., q_{3N−k}, t)
⋮
r⃗_{N} = r⃗_{N}(q_{1}, q_{2}, ..., q_{3N−k}, t)

Føringsbetingelsene er nå implisitt inneholdt i transformasjonsligningene som transformerer det ene settet med koordinater til det andre.

Eksempel: Dobbeltpendel med bevegelse i et plan

De generaliserte koordinatene er θ_{1} og θ_{2}. Med to partikler har vi i utgangspunktet 6 frihetsgrader. Kravet om bevegelse i et plan gir én føringsbetingelse pr. partikkel. Konstante stavlengder l_{1} og l_{2} gir ytterligere 2 føringsbetingelse, så antall frihetsgrader blir 6 − 4 = 2.

1.3 D’Alemberts prinsipp og Lagranges ligninger

Vi begynner med å innføre begrepet virtuell forskyvning: en infinitesimal forskyvning av systemets koordinater, δr⃗_{i}, i overenstemmelse med eventuelle føringsbetingelser. Krefter og føringsbetingelser endres derfor ikke av virtuelle forskyvninger (ta også gjerne en titt på figur 5 på side 18).

Vi betrakter et system som vi antar er i likevekt, dvs. at alle F⃗_{i} = 0. Dermed gjelder naturligvis også at ∑_{i} F⃗_{i} · δr⃗_{i} = 0. Vi spalter så F⃗_{i} i en påtrykt kraft F⃗_{i}^{(a)} (a for “applied”), og en føringskraft f⃗_{i} og får:

∑_{i} F⃗_{i} · δr⃗_{i} = ∑_{i} F⃗_{i}^{(a)} · δr⃗_{i} + ∑_{i} f⃗_{i} · δr⃗_{i} = 0.

Vi begrenser oss nå til kun å se på systemer som oppfyller

∑_{i} f⃗_{i} · δr⃗_{i} = 0.  (1.14)

Dette er ikke en så streng restriksjon som det kan virke som. Sammenligner en med definisjonen (1.2) av arbeid, ser en at (1.14) er ekvivalent med at føringskreftene ikke gjør noe arbeid på systemet, oppfylt for alle føringskrefter som virker normalt på bevegelsen. Kravet gjelder for eksempel også føringer som beskriver punkter i stive legemer. (1.14) er imidlertid ikke oppfylt for systemer med friksjonskrefter som gjør arbeid på systemet. Med antagelsen (1.14) får vi “prinsippet om virtuelt arbeid”:

∑_{i} F⃗_{i}^{(a)} · δr⃗_{i} = 0  (1.15)

Merk at generelt er F⃗_{i}^{(a)} ≠ 0 siden δr⃗_{i} på grunn av føringsbetingelser generelt ikke alle er uavhengige.

Vi ser så på et system i bevegelse som oppfyller Newtons 2. lov for hver komponent, F⃗_{i} − ṗ_{i} = 0. Dette er analogt med det statiske tilfellet ovenfor dersom vi betrakter −ṗ som en “effektiv motkraft”. På samme måte som før skriver vi

∑_{i}(F⃗ − ṗ_{i}) · δr⃗_{i} = ∑_{i}(F⃗_{i}^{(a)} − ṗ_{i}) · δr⃗_{i} + \underbrace{∑_{i} f⃗_{i} · δr⃗_{i} = 0}_{antas =0}

Dette kalles D’Alemberts prinsipp:

∑_{i}(F⃗_{i}^{(a)} − ṗ_{i}) · δr⃗_{i} = 0  (1.16)

Vi har med dette oppnådd å eliminere føringskreftene. Dermed kan vi fra nå av droppe indeksen (a).

Vi antar nå at vi har å gjøre med et holonomt system og innfører uavhengige koordinater {q_{i}} slik at r⃗_{i} = r⃗_{i}(q_{1}, q_{2}, ..., q_{n}, t), og ved å bruke kjerneregelen for derivasjon skriver vi hastigheten v⃗_{i}:

v⃗_{i} ≡ ṙ_{i} = ∑_{i} \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{i}} q̇_{i} + \frac{∂r⃗_{i}}{∂t} = v⃗_{i}(q, q̇, t)

Den virtuelle forskyvningen skriver vi

δr⃗_{i} = ∑_{j} \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} δq⃗_{j}.

Merk at δt ikke er involvert her. Virtuell forskyvning gjelder kun koordinatene q_{i}, der vi har “frosset” tiden. Vi betrakter første ledd i D’Alemberts prinsipp:

∑_{i} F⃗_{i} · δr⃗_{i} = ∑_{i,j} F⃗_{i} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} δq⃗_{j} ≡ ∑_{j} Q_{j}δq_{j},

der vi har definert den generaliserte kraft,

Q_{j} ≡ ∑_{i} F⃗_{i} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} .  (1.17)

Deretter ser vi på andre ledd:

∑_{i} ṗ_{i} · δr⃗_{i} = ∑_{i,j} m_{i}r̈_{i} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} δq⃗_{j}

Her er

∑_{i} m_{i}r̈_{i} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = ∑_{i} [\frac{d}{dt} (m_{i}ṙ_{i} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} ) − m_{i}ṙ_{i} · \frac{d}{dt} \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} ] .

Vi kan bytte om d/dt og ∂/∂q_{j} i siste ledd:

\frac{d}{dt} \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = ∑_{k} \frac{∂^{2}r⃗_{i}}{∂q_{j}∂q_{k}} q̇_{k} + \frac{∂^{2}r⃗_{i}}{∂q_{j}∂t}

\frac{∂}{∂q_{j}} \frac{dr⃗_{i}}{dt} = \frac{∂}{∂q_{j}} v⃗_{i} = \frac{∂}{∂q_{j}} (∑_{k} \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{k}} q̇_{k} + \frac{∂r⃗_{i}}{∂t} )

Av dette ser vi at

\frac{d}{dt} \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = \frac{∂}{∂q_{j}} \frac{dr⃗_{i}}{dt}  og  (1.18)
\frac{∂v⃗_{i}}{∂q̇_{j}} = \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}}  (1.19)

Vi setter dette inn i andre ledd i D’Alemberts prinsipp som omformet ovenfor og får:

∑_{i} m_{i}r̈_{i} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = ∑_{i} [\frac{d}{dt} (m_{i}v⃗_{i} · \frac{∂v⃗_{i}}{∂q̇_{j}} ) − m_{i}v⃗_{i} · \frac{∂v⃗_{i}}{∂q_{j}} ]

= ∑_{i} [\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂q̇_{j}} (\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}) − \frac{∂}{∂q_{j}} (\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2})]

= \frac{d}{dt} \frac{∂T}{∂q̇_{j}} − \frac{∂T}{∂q_{j}} ,

der T = ∑_{i} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2} er systemets kinetiske energi.

Dermed kan vi skrive D’Alemberts prinsipp slik:

∑_{j} [\frac{d}{dt} \frac{∂T}{∂q̇_{j}} − \frac{∂T}{∂q_{j}} − Q_{j}] δq_{j} = 0

Antagelsen om holonome føringsbetingelser medfører at alle δq_{j} er uavhengige. Dermed gjelder relasjonen over for hver enkelt j (ikke bare for summen over j), og vi får et sett av 2.ordens ligninger:

\frac{d}{dt} \frac{∂T}{∂q̇_{j}} − \frac{∂T}{∂q_{j}} = Q_{j}.  (1.20)

Disse kalles ofte Lagranges ligninger, men det er vanligst å reservere denne betegnelsen for konservative systemer, det vil si der kraften kan uttrykkes

F⃗_{i} = −∇_{i}V

Det gir at

Q_{j} = ∑_{i} F⃗_{i} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = − ∑_{i} ∇_{i}V · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = −\frac{∂V}{∂q_{j}}

Innsatt i (1.20):

\frac{∂T}{∂q̇_{j}} − \frac{∂(T − V)}{∂q_{j}} = 0

Potensialet V = V (q_{i}) er ikke avhengig av generaliserte hastigheter q̇_{i}, så

\frac{∂T}{∂q̇_{j}} = \frac{∂(T − V)}{∂q̇_{j}}.

Vi definerer Lagrangefunksjonen

L ≡ T − V ,  (1.21)

setter inn i (1.20) og får Lagranges ligninger:

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{j}} − \frac{∂L}{∂q_{j}} = 0  (1.22)

Merk at (1.22) forutsetter holonomt og konservativt system.

Vi merker oss videre at L ikke er entydig; en alternativ funksjon L′(q, q̇, t) = L(q, q̇, t) + \frac{d}{dt}F (q, t) for en vilkårlig funksjon F (q, t) gir nøyaktig samme ligninger som L (du kan selv sette inn i utledningen over og se at dette følger av at vi ikke tillater variasjon i banens endepunkter).

Kommentar til utledningen ovenfor: Vi startet med et ønske om å eliminere føringskreftene fra bevegelsesligningene. Dette har vi oppnådd. I tillegg har vi endt opp med enklere ligninger som kun involverer skalare funksjoner, T og V, i motsetning til utgangspunktet som involverte vektorer, F⃗_{i} og r⃗_{i}.

1.4 Levi-Civita-symbolet

Før vi går videre, introduserer vi et nyttig verktøy når en arbeider med vektorer og tensorer; det såkalte Levi-Civita-symbolet ϵ_{ijk}. Dette symbolet har følgende egenskaper:

• antisymmetrisk i alle indekser (dvs. ϵ_{ijk} skifter fortegn når to indekser bytter plass).

• lik null når to eller flere indekser er like

• ϵ_{ijk} = +1 når ijk er sykliske (f.eks. ϵ_{123} = 1)

• ϵ_{ijk} = −1 når ijk er antisykliske (f.eks. ϵ_{132} = −1)

Levi-Civita-symbolet er i matematisk forstand en pseudotensor, en generalisering av en aksial vektor. Ved en koordinattransformasjon vil en pseudotensor multipliseres med transformasjonsdeterminanten (dette vil bli bedre kjent for dem som senere ser nærmere på klassisk feltteori).

Vi kan bruke Levi-Civita-symbolet til vektoralgebra. Vi antar i det videre summekonvensjon (dvs. det summeres over gjentatte indekser). I de følgende eksempler noterer vi vektorer med nummererte indekser slik at (x, y, z) ⟶ (x_{1}, x_{2}, x_{3}) og en vektor A⃗ har i denne notasjonen komponentene (A_{1}, A_{2}, A_{3}). Denne vektornotasjonen skal bli særlig nyttig i relativitetsteorien senere. Eksempler:

\begin{aligned}A⃗ & = B⃗ × C⃗ :  A_{i} & = ϵ_{ijk}B_{j}C_{k} \\ B⃗ & = ∇ × A⃗ :  B_{i} & = ϵ_{ijk}∂_{j}A_{k} = ϵ_{ijk}A_{k,j}, \end{aligned}  (1.23)

der vi også har innført enda litt ny notasjon for å redusere mengden skriving:

∂_{j} ≡ \frac{∂}{∂x_{j}}
A_{k,j} ≡ ∂_{j}A_{k}.

Vi har videre for ϵ_{ijk} at

ϵ_{ijk}ϵ_{ilm} = δ_{jl}δ_{km} − δ_{jm}δ_{kl}  (1.24)

Eksempel

\begin{aligned}(A⃗ × B⃗) · (C⃗ × D⃗) & =(A⃗ × B⃗)_{i}(C⃗ × D⃗)_{i} = ϵ_{ijk}A_{j}B_{k}ϵ_{ilm}C_{l}D_{m} \\ & =(δ_{jl}δ_{km} − δ_{jm}δ_{kl})A_{j}B_{k}C_{l}D_{m} \\ & =(A⃗ · C⃗)(B⃗ · D⃗) − (A⃗ · D⃗)(B⃗ · C⃗) \end{aligned}

1.5 Generaliserte (hastighetsavhengige) potensialer

Vi skal se at Lagranges ligninger også kan benyttes for enkelte ikke-holonome systemer. Vi antar at vi har med et hastighetsavhengig potensial U(q_{j}, q̇_{j}) å gjøre og definerer Lagrangefunksjonen som tidligere: L = T − U. Dersom vi kan skrive den generaliserte kraften Q_{j} på formen

Q_{j} = −\frac{∂U}{∂q_{j}} + \frac{d}{dt} \frac{∂U}{∂q̇_{j}} ,  (1.25)

får Lagranges ligninger uforandret form. U(q, q̇) kalles et generalisert potensial.

1.5.1 Anvendelse: Elektromagnetisk potensial

Som et viktig eksempel på generaliserte potensialer ser vi på et elektromagnetisk potensial. Fra elektromagnetismen husker vi Maxwells ligninger (i SI-enheter):

∇ × E⃗ = −\frac{∂B⃗}{∂t}  ∇ · D⃗ = ρ
∇ × H⃗ = j⃗ + \frac{∂D⃗}{∂t}  ∇ · B⃗ = 0

Lorentzkraften:

F⃗ = q (E⃗ + v⃗ × B⃗)

Relasjonen ∇ · B⃗ = 0 er automatisk oppfylt dersom vi skriver B⃗ som “curl” til et vektorpotensial, ettersom vi husker fra barnelærdommen at divergensen til curlen til enhver vektor alltid er null:

B⃗ = ∇ × A⃗.

Innsatt i Maxwells ligninger gir dette den nye ligningen:

∇ × E⃗ + \frac{∂}{∂t}(∇ × A⃗) = ∇ × (E⃗ + \frac{∂A}{∂t}) = 0.

Ettersom vi har fra matematikken at curl til en gradient alltid er null, skriver vi

E⃗ + \frac{∂A}{∂t} = −∇φ,

der φ er en skalar funksjon. Vi kan nå uttrykke Lorentzkraften ved A⃗ og φ:

F⃗ = q [−∇φ − \frac{∂A⃗}{∂t} + v⃗ × ∇ × A⃗] .

Det er nå hensiktsmessig å ta ibruk vektornotasjonen med indekser slik vi innførte dem i forrige avsnitt. Ved å bruke (1.23), (1.24) og at ϵ_{ijk} = ϵ_{kij} skriver vi:

[v⃗ × (∇ × A⃗)]_{i} = ϵ_{ijk}v_{j}(∇ × A⃗)_{k} = ϵ_{ijk}v_{j}ϵ_{klm}∂_{l}A_{m} = (δ_{il}δ_{jm} − δ_{im}δ_{jl})v_{j}∂_{l}A_{m}
= v_{j}∂_{i}A_{j} − v_{j}∂_{j}A_{i}

og setter inn i Lorentzkraften:

F_{i} = q [−∂_{i}φ + ∂_{i}v⃗ · A⃗ − \frac{dA_{i}}{dt} ]

= q [−∂_{i}(φ − v⃗ · A⃗) − \frac{d}{dt} \frac{∂}{∂v_{i}} (A⃗ · v⃗)]

= −∂_{i}U + \frac{d}{dt} \frac{∂U}{∂v_{i}} ,

der

U = U(x_{i}, v_{i}) = qφ − qA⃗ · v⃗  (1.26)

Merk at vi har brukt at

\frac{d}{dt} \frac{∂U}{∂v_{i}} = \frac{d}{dt} \frac{∂}{∂v_{i}} (\underbrace{qφ}_{→0} −qA⃗ · v⃗) = −\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂v_{i}} qA⃗ · v⃗

Vi har nå funnet Lagrangefunksjonen for ladet partikkel i elektromagnetisk felt :

L = T − U = T − qφ + qA⃗ · v⃗  (1.27)

1.5.2 Friksjonskrefter og Rayleighs dissipasjonsfunksjon Vi har sett at Lagranges ligninger for et holonomt system alltid kan skrives på formen

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} − \frac{∂L}{∂q_{i}} = Q_{i},

der L inneholder potensialet fra konservative krefter mens Q_{i} er kreftene som ikke kan avledes fra et potensial. Et typisk eksempel er friksjonskrefter. Som regel er friksjonskraften F_{f} proporsjonal med hastigheten v til en partikkel:

F_{fx} = −k_{x}v_{x}, evt.
F_{fx} = −\frac{∂}{∂v_{x}} (\frac{1}{2}mv_{x}^{2}) .

I 3 dimensjoner kan vi skrive

F⃗_{f} = −∇_{v}F,  (1.28)

der F er Rayleighs dissipasjonsfunksjon definert ved:

F = \frac{1}{2} ∑_{i} (k_{x}v_{ix}^{2} + k_{y}v_{iy}^{2} + k_{z}v_{iz}^{2})

Arbeidet utført av systemet mot friksjon:

dW = −F⃗_{f} · dr⃗ = −F⃗_{f} · v⃗dt = (k_{x}v_{ix}^{2} + k_{y}v_{iy}^{2} + k_{z}v_{iz}^{2}) dt = 2Fdt.

Det vil si at

Raten for energitap pga. friksjon er 2F.  (1.29)

Generalisert friksjonskraft skrives

Q_{j} = ∑_{i} F⃗_{if} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = − ∑_{i} ∇_{v}F · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = − ∑_{i} ∇_{v}F · \frac{∂ṙ_{i}}{∂q̇_{j}} = −\frac{∂F}{∂q̇_{j}}

Lagranges ligninger blir nå:

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} − \frac{∂L}{∂q_{i}} + \frac{∂F}{∂q̇_{i}} = 0  (1.30)

Vi må altså kjenne to skalare funksjoner, L og F, for å finne bevegelsesligningene for systemet.

1.6 Eksempler på bruk av Lagrangeformalismen

Vi skal se på tre eksempler på hvordan Lagrangeformalismen er et kraftig verktøy for å beskrive fysiske systemer. a: Én partikkel, kartesiske koordinater

Vi beskriver en fri partikkel hvis posisjon er gitt ved kartesiske koordinater (x, y, z). Kinetisk energi er gitt ved

T = \frac{1}{2}m(ẋ^{2} + ẏ^{2} + ż^{2}),

så

\frac{∂T}{∂x} = \frac{∂T}{∂y} = \frac{∂T}{∂z} = 0
\frac{∂T}{∂ẋ} = mẋ, \frac{∂T}{∂ẏ} = mẏ, \frac{∂T}{∂ż} = mż.

Bevegelsesligninger er gitt ved Lagrangeligningene (1.20):

\frac{d}{dt} \frac{∂T}{∂q̇_{i}} − \frac{∂T}{∂q_{i}} = Q_{i},

der q_{1} = x, q_{2} = y, q_{3} = z og Q_{i} = F_{i}, som er kraften som virker på partikkelen (f.eks. fra et ytre potensial). Innsatt gir dette:

\frac{d}{dt}(mẋ) = F_{x}, \frac{d}{dt}(mẏ) = F_{y}, \frac{d}{dt}(mż) = F_{z},

som vi gjenkjenner som Newtons 2. lov! Du kan selv sjekke at dersom F_{i} er konservative krefter, dvs. F_{i} = −∂V/∂q_{i}, får vi det samme resultatet dersom vi setter Lagrangefunksjonen L = T − V inn i ligningene (1.22).

b: Én partikkel, plane polarkoordinater

Vi beskriver nå partikkelens bevegelser ved polarkoordinater, dvs. at de kartesiske koordinatene transformeres slik:

\begin{matrix}x & = r cos θ \\ y & = r sin θ \end{matrix} \} ⇒ \{q_{i}\} = \{r, θ\}.

Hastigheter:

ẋ = ṙ cos θ − rθ̇ sin θ
ẏ = ṙ sin θ + rθ̇ cos θ,

så kinetisk energi blir

T = \frac{1}{2}m(ẋ^{2} + ẏ^{2}) = \frac{1}{2}m(ṙ^{2} + r^{2}θ̇^{2}).

Dette kunne vi også sett av geometrien i problemet:

Radiell hastighet: \frac{Δr}{Δt} → \frac{dr}{dt} = ṙ
Asimutal hastighet: \frac{rΔθ}{Δt} → r \frac{dθ}{dt} = rθ̇

De generaliserte kraftkomponentene er Q_{j} = F⃗ · \frac{∂r⃗}{∂q_{j}}. I polarkoordinater:

Q_{r} = F⃗ · \frac{∂r⃗}{∂r} = F⃗ · r̂ = F_{r}
Q_{θ} = F⃗ · \frac{∂r⃗}{∂θ} = F⃗ · rn⃗ = rF_{θ}

To generaliserte koordinater gir to Lagrangeligninger; vi finner de partiellderiverte:

\frac{∂T}{∂r} = mrθ̇^{2},  \frac{∂T}{∂ṙ} = mṙ,  \frac{d}{dt} \frac{∂T}{∂ṙ} = mr̈,

videre

\frac{∂T}{∂θ} = 0,  \frac{∂T}{∂θ̇} = mr^{2}θ̇,  \frac{d}{dt} \frac{∂T}{∂θ̇} = mr^{2}θ̈ + 2mrṙθ̇,

og vi får Lagrangeligningene (med q_{1} = r og q_{2} = θ):

mr̈ − mrθ̇^{2} = F_{r}
mr^{2}θ̈ + 2mrṙθ̇ = rF_{θ}.

Her kjenner vi igjen rθ̇^{2} som sentripetalakselerasjon.

Vi kan sette inn kjente uttrykk for L⃗ og N⃗,

L⃗ = r⃗ × p⃗ ⇒ L = rp_{θ} = rmv_{θ} = rmrθ̇ = mr^{2}θ̇
N⃗ = r⃗ × F⃗ ⇒ N = rF_{θ},

og Lagrangeligningen i q_{2} = θ får den (forhåpentligvis) velkjente formen

\frac{dL}{dt} = N.

c: Atwoods maskin

Et typisk eksempel på et enkelt fysisk system som godt lar seg beskrive ved Lagrangeformalismen, er den såkalte Atwoods maskin (se figuren). Som figuren indikerer, har systemet kun én uavhengig koordinat: x. Vi velger nullnivå for potensiell energi ved den stiplede linjen i figuren og finner:

Potensiell energi: V = −M_{1}gx − M_{2}g(l − x)
Kinetisk energi: T = \frac{1}{2}(M_{1} + M_{2})ẋ^{2},

så Lagrangefunksjonen blir

L = T − V = \frac{1}{2}(M_{1} + M_{2})ẋ^{2} + M_{1}gx + M_{2}g(l − x).

Relevante partiellderiverte:

\frac{∂L}{∂x} = (M_{1} − M_{2})g, \frac{∂L}{∂ẋ} = (M_{1} + M_{2})ẋ,

gir Lagrangeligningen

(M_{1} + M_{2})ẍ = (M_{1} − M_{2})g
⇓
ẍ = \frac{M_{1} − M_{2}}{M_{1} + M_{2}} g,

som vi vel nærmest kunne sett direkte.

Merk at føringskreftene (strekket i snoren) ikke forekommer i den Lagrangeske formuleringen; de er implisitt med i definisjonen av de uavhengige koordinatene (her koordinaten x). Vi kan dermed heller ikke bestemme snorstrekket direkte kun ved bruk av Lagranges metode.

2 Variasjonsprinsipper og Lagranges ligninger

2.1 Hamiltons prinsipp

Vi har til nå utledet Lagranges ligninger fra et “differensielt” prinsipp, ved å se på små virtuelle forskyvninger fra en gitt tilstand. Lagranges ligninger kan også utledes fra et “integralprinsipp” (evt. globalt prinsipp) ved å se på små variasjoner i hele bevegelsen mellom tider t_{1} og t_{2}.

La oss presisere utsagnet “systemets bevegelse mellom t_{1} og t_{2}”:

Konfigurasjonsrommet dannes av aksene til de n generaliserte koordinatene q_{1} ⋯ q_{2} (n = 3N − k). Posisjonen/tilstanden til hele systemet er ved gitt tid t gitt ved ett punkt i konfigurasjonsrommet. “Systemets bevegelse” er beskrevet ved en kurve i konfigurasjonsrommet der hvert punkt på kurven representerer hele systemets konfigurasjon ved et bestemt tidspunkt.

Hamiltons prinsipp:

Systemet beveger seg fra t_{1} til t_{2} slik at I = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} Ldt har et ekstremum (stasjonær verdi) for den virkelige veien.

(2.1)

Her er L = T − V = L(q, q̇, t), og integralet I kalles virkningsintegralet eller virkningen. Systemet er konservativt dersom V = V (q), men Hamiltons prinsipp gjelder også i mer generelle tilfeller der V → U = U(q, q̇, t) dersom Q_{i} = −\frac{∂U}{∂q_{i}} + \frac{d}{dt} \frac{∂U}{∂q̇_{i}}. Slike systemer kalles monogeniske.

Figur 4: (x, y) er fikserte ved t_{1} og t_{2}. t er en parameter for banen i konfigurasjonsrommet.

Hamiltons prinsipp kan uttrykkes slik:

δI = δ∫_{t_{1}}^{t_{2}} L(q_{1} ⋯ q_{n}, q̇_{1} ⋯ q̇_{n}, t)dt = 0.  (2.2)

Vi skal se at Lagranges ligninger følger av Hamiltons prinsipp.

2.2 Lagranges ligninger fra Hamiltons prinsipp

Anta først at vi har én frihetsgrad, q = q(t).

De forskjellige kurvene parametriseres ved en parameter α slik at α = 0 tilsvarende ekstremum av I. Dermed kan vi skrive

q(t, α) = q(t, 0) + αη(t),

der η(t) er vilkårlig, men oppfyller at η(t_{1}) = η(t_{2}) = 0. Virkningen skriver vi nå:

I = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} L [q(t, α), q̇(t, α), t] dt.

Vi er interesserte i virtuelle variasjoner for en fast t:

δq = (\frac{∂q}{∂α})_{0} dα
δq̇ = (\frac{∂q̇}{∂α})_{0} dα.

Figur 5: Partikkelbane fra 1 til 2

Variasjonen av I blir nå

δI = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} [\frac{∂L}{∂q}δq + \frac{∂L}{∂q̇}δq̇] dt.

Vi kan bytte om på δ og \frac{d}{dt} i siste ledd fordi:

\begin{matrix}δq̇ & = (\frac{∂q̇}{∂α})_{0} dα & = \frac{∂^{2}q}{∂α∂t}dα \\ \frac{d}{dt}δq & = \frac{d}{dt} \frac{∂q}{∂α}dα & = \frac{∂^{2}q}{∂t∂α}dα \end{matrix} \} ⇒ δq̇ = \frac{d}{dt}δq

At \frac{d}{dt} \frac{∂}{∂α} = \frac{∂^{2}}{∂t∂α} er innlysende her, ettersom det ikke er andre koordinater, men vi ser at det også må gjelde for flere koordinater dersom settet av koordinater q er uavhengige (dvs. q_{i} = q_{i}(t)). Vi skal siden generalisere til flere koordinater. Med dette får vi:

δI = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} [\frac{∂L}{∂q}δq + \frac{∂L}{∂q̇} \frac{d}{dt}δq] dt

= ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{∂L}{∂q}δqdt + \underbrace{[\frac{∂L}{∂q̇}δq]_{t_{1}}^{t_{2}}}_{=0} − ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇}δqdt.

Ifølge Hamiltons prinsipp, skal vi ha δI = 0, og ettersom δq er vilkårlig, følger det at

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇} − \frac{δL}{δq} = 0.

En direkte generalisering til mange frihetsgrader, i = 1, ..., n gir

δI = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∑_{i=1}^{n} (\frac{∂L}{∂q_{i}} − \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} ) δq_{i}dt = 0,  (2.3)

som medfører at

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} − \frac{∂L}{∂q_{i}} = 0, i = 1, ⋯, n,

som er Lagranges ligninger. Vi har sett at resultatet krever uavhengige koordinater, altså holonome føringer. Det gjelder for konservative systemer og for ikke-konservative systemer dersom Q_{i} = −\frac{∂U}{∂q_{i}} + \frac{d}{dt} \frac{∂U}{∂q̇_{i}}, L = T − U.

2.3 Variasjonsregning

Anta en kurve y(x) mellom y_{1} = y(x_{1}) og y_{2} = y(x_{2}) og la y′ = \frac{dy}{dx} (i Goldstein brukes ẏ, men vi reserverer dette til kun å gjelde \frac{dy}{dt}). Vi ønsker å finne ekstremalverdien av integralet

I = ∫_{x_{1}}^{x_{2}} f(y, y′, x)dx,

der f(y, y′, x) er en funksjon definert på kurven y(x). Dette er det samme som å finne den kurven y(x) som gir δI = 0. Vi får samme type regning som i foregående avsnitt.

δI = ∫_{x_{1}}^{x_{2}} [\frac{∂f}{∂y} δy + \frac{∂f}{∂y′} δy′] dx = 0.

Som før kan vi bytte om δ og \frac{d}{dx} i siste ledd: δy′ = \frac{d}{dx}δy, dermed

δI = ∫_{x_{1}}^{x_{2}} [\frac{∂f}{∂y} δy + \frac{∂f}{∂y′} \frac{d}{dx}δy] dx

= ∫_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{∂f}{∂y} δydx + \underbrace{[\frac{∂f}{∂y′} δy]_{x_{1}}^{x_{2}}}_{=0} − ∫_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d}{dx} \frac{∂f}{∂y′} δydx

= ∫_{x_{1}}^{x_{2}} (\frac{∂f}{∂y} − \frac{d}{dx} \frac{∂f}{∂y′} ) δydx = 0

Siden δy er vilkårlig, får vi:

\frac{∂f}{∂y} − \frac{d}{dx} \frac{∂f}{∂y′} = 0  (2.4)

Disse kalles Euler-Lagrangeligningene eller oftest bare Eulers ligninger.

Eksempel: Minimum omdreiningsflate

La oss betrakte en eller annen kurve mellom to fikserte punkter, (x_{1}, y_{1}) og (x_{2}, y_{2}), som vi dreier om y-aksen. Vi skal finne den kurven y(x) som gjør at omdreiningsflaten får minimum areal. Arealet av en stripe av overflaten er

ds = 2πxds = 2πx\sqrt{dx^{2} + dy^{2}} = 2πx\sqrt{1 + y′^{2}}dx,

som gir arealet

A = ∫_{x_{1}}^{x_{2}} 2πx\sqrt{1 + y′^{2}}dx = 2π ∫_{x_{1}}^{x_{2}} f(y, y′, x)dx,

med f(y, y′, x) = x\sqrt{1 + y′^{2}}. Derivatene er

\frac{∂f}{∂y} = 0, \frac{∂f}{∂y′} = \frac{xy′}{\sqrt{1 + y′^{2}}} ,

så

\frac{d}{dx} (\frac{xy′}{\sqrt{1 + y′^{2}}} ) = 0 ved Euler-Lagranges ligning.

Løsning:

\frac{xy′}{\sqrt{1 + y′^{2}}} = a = konst. ⇒ x^{2}y′^{2} = a^{2}(1 + y′^{2}) ⇒ y′^{2}(x^{2} − a^{2}) = a^{2} ⇒ \frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} .

gir standardintegralet

y = a ∫ \frac{dx}{\sqrt{x^{2} − a^{2}}} = a · arcosh\frac{x}{a} + b,

alternativt

x = a · cosh \frac{y − b}{a}.

Betingelsene y_{1} = y(x_{1}) og y_{2} = y(x_{2}) fastlegger integrasjonskonstantene a og b.

Eksempel: Brachistohcroneproblemet

Vi skal finne den kurven mellom de to punktene 1 og 2 som er slik at tilbakelagt tid for en partikkel som sklir langs banen akselerert av tyngdefeltet blir minimal. Vi antar her null utgangshastighet, dvs. partikkelen begynner i ro fra punkt 1. Minimal tid vil si at

t_{12} = ∫_{1}^{2} \frac{ds}{v}

skal ha et minimum. Energibevarelse gir at total energi hele tiden er null (idet vi velger null potensiell energi i 1):

\frac{1}{2}mv^{2} = mgy ⟹ v = \sqrt{2gy}

Integralet blir

t_{12} = ∫_{1}^{2} \begin{matrix}√ & \overline{1 + y′^{2}} \\ √ & \overline{2gy} \end{matrix} dx = \frac{1}{\sqrt{2g}} ∫_{1}^{2} f(y, y′, x)dx med f(y, y′, x) = \sqrt{\frac{1 + y′^{2}}{y}}

De deriverte

\frac{∂f}{∂y} = −\frac{\sqrt{1 + y′^{2}}}{2y^{3/2}} , \frac{∂f}{∂y′} = \frac{y′}{\sqrt{y}\sqrt{1 + y′^{2}}} ,

gir oss Euler-Lagrange-ligningen

\frac{\sqrt{1 + y′^{2}}}{2y^{3/2}} + \frac{d}{dx} \frac{y′}{\sqrt{y}\sqrt{1 + y′^{2}}} = 0

Vi skriver ut andre ledd:

\frac{y′′}{\sqrt{y}\sqrt{1 + y′^{2}}} − \frac{y′^{2}}{2y^{3/2}\sqrt{1 + y′^{2}}} − \frac{y′^{2}y′′}{\sqrt{y}(1 + y′^{2})^{3/2}} .

Vi tar så med første ledd og setter y^{−1/2}(1 + y′^{2})^{−1/2}) utenfor:

\frac{1}{\sqrt{y}\sqrt{1 + y′^{2}}} [\frac{1 + y′^{2}}{2y} + y′′ − \frac{y′^{2}}{2y} − \frac{y′^{2}y′′}{1 + y′^{2}} ] = 0

⟹ \frac{1}{2y} + \frac{y′′(1 + y′^{2}) − y′^{2}y′′}{1 + y′^{2}} = 0
⟹ \frac{1}{2y} + \frac{y′′}{1 + y′^{2}} = 0  | · y′
⟹ \frac{y′}{2y} + \frac{y′y′′}{1 + y′^{2}} = 0
⟹ \frac{1}{2}(ln y)′ + \frac{1}{2} [ln(1 + y′^{2})]′ = 0
⟹ {ln[y(1 + y′^{2})]}′ = 0
⟹ ln[y(1 + y′^{2})] = konst.
⟹ y(1 + y′^{2}) = konst. ≡ 2k

Vi gjør så en ansatz om at vi kan bruke følgende parameterfremstilling:

x = k(θ − sin θ); y = k(1 − cos θ)

Brachistochroneproblemet fortsetter... fortsettelse...

Parametriseringen gir y′(θ):

\frac{dy}{dx} = \frac{k sin θdθ}{k(1 − cos θ)dθ} = \frac{sin θ}{1 − cos θ}
⟹ 1 + y′^{2} = \frac{(1 − cos θ)^{2} + sin^{2} θ}{(1 − cos θ)^{2}} = \frac{1 − 2 cos θ + cos^{2} θ + sin^{2} θ}{(1 − cos^{2} θ)^{2}} = \frac{2}{1 − cos θ}
⟹ y(1 + y′^{2}) = k(1 − cos θ)\frac{2}{1 − cos θ} = 2k,

så vi ser at parametriseringen stemmer!

Hvis partikkelen begynner i origo med null utgangshastighet ser banen (som gitt ved parametriseringen) slik ut:

2.4 Hamiltons prinsipp for ikke-holonome systemer

Vi har til nå forutsatt holonome føringer som kan uttrykkes f(r⃗_{1}, ..., r⃗_{N}, t) = 0. Vi kunne da med j holonome føringer, innføre n = 3N − j generaliserte koordinater q_{k} som alle er uavhengige. Hamiltons prinsipp,

δI = δ∫_{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{1}, ..., q_{n}, q̇_{1}, ..., q̇_{n}, t)dt = 0,

som ledet frem til

∫_{t_{1}}^{t_{2}} dt ∑_{k=1}^{n} (\frac{∂L}{∂q_{k}} − \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{k}} ) δq_{k} = 0,  (2.5)

og som med uavhengige δq_{k} gav oss Lagranges ligninger, \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{k}} − \frac{∂L}{∂q_{k}} = 0 der k = 1, 2, ..., n.

For ikke-holonome systemer er ikke alle δq_{k} uavhengige, så vi kan ikke uten videre bruke Hamiltons prinsipp. Vi skal imidlertid se at vi kan formulere en utgave av prinsippet for visse ikke-holonome systemer.

La oss anta at vårt system beskrevet av n koordinater (vi antar at alle holonome føringer allerede er innbakt i disse) har m ikke-holonome føringer. Vi ser kun på systemer der våre ikke-holonome føringer kan skrives

∑_{k=1}^{n} a_{lk}dq_{k} + a_{lt}dt = 0; l = 1, 2, ..., n.

eventuelt

∑_{k=1}^{n} a_{lk}q̇_{k} + a_{lt} = 0;  l = 1, 2, ..., m.  (2.6)

Deler vi (2.6) med dt, ser vi umiddelbart at dette er det samme som at de ikke-holonome føringene må kunne skrives som en sum av første ordens ledd av hastigheter. Koeffisientene a_{lk} og a_{lt} kan generelt avhenge av q

Figur 6: n − m uavhengige og m ikke-uavhengige koordinater

og t. Vi kan nå ikke konstruere varierte baner med forskyvninger som oppfyller føringsbetingelsene (2.6) (dette bevises ikke her). Vi kan imidlertid konstruere en variert bane fra den virkelige banen ved virtuelle forskyvninger δq_{k}, som må oppfylle

∑_{k=1}^{n} a_{lk}δq_{k} = 0

(husk: δt er ikke involvert; forskyvning ved fast t). Bruker nå “Lagranges metode med ubestemte koeffisienter”. Vi har m ligninger som hver ganges med en koeffisient λ_{l}:

λ_{l} ∑_{k=1}^{n} a_{lk}δq_{k} = 0; λ_{l} = λ_{l}(q, t) generelt

som medfører

∫_{t_{1}}^{t_{2}} dt ∑_{l=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} λ_{l}a_{lk}δq_{k} = 0.  (2.7)

Vi antar videre at Hamiltons prinsipp også gjelder for ikke-holonome systemer. Da kan vi kombinere (2.5) og (2.7) over og får:

∫_{1}^{2} dt ∑_{k=1}^{n} (\frac{∂L}{∂q_{k}} − \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{k}} + ∑_{l=1}^{m} λ_{l}a_{lk}) δq_{k} = 0.

Her er ikke alle δq_{k} uavhengige, så vi kan ikke sette (...) = 0 for alle k slik vi gjorde det tidligere (se figur 6). Men vi har koeffisientene λ_{l} til vår disposisjon! Vi velger dem slik at

\frac{∂L}{∂q_{k}} − \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{k}} + ∑_{l=1}^{m} λ_{l}a_{lk} = 0;  k = n − m + 1, ..., n,  (2.8)

og står da igjen med

∫_{1}^{2} dt ∑_{k=1}^{n−m} (\frac{∂L}{∂q_{k}} − \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{k}} + ∑_{l=1}^{m} λ_{l}a_{lk}) δq_{k} = 0.  (2.9)

Her er alle δq_{k} uavhengige, så vi kan sette (...) = 0 for k = 1, 2, ..., n − m. Dermed:

\frac{∂L}{∂q_{k}} − \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{k}} + ∑_{l=1}^{m} λ_{l}a_{lk} = 0; k = 1, 2, ..., n.

Vi har n + m ukjente: q_{1}, ..., q_{n} og λ_{1}, ..., λ_{m}. Men vi har også n + m ligninger: n Lagrangeligninger (2.9) og m føringsbetingelser (2.6). Vi har redusert problemet vårt til et (generelt ikke-lineært) ligningssett som bestandig kan løses numerisk (i prinsippet også analytisk).

Eksempel: Ring som ruller på et skråplan

Vi har i dette tilfellet to generaliserte koordinater, x og θ. Videre har vi en føringsbetingelse, den såkalte rullebetingelsen: rdθ = dx. Vi antar at ringen starter i ro på toppen ved x = 0. Konstruerer Lagrangefunksjonen:

T = \frac{1}{2}Mẋ^{2} + \frac{1}{2}Mr^{2}θ̇^{2}
V = Mg(l − x) sin φ
⇒ L = T − V = \frac{1}{2}Mẋ^{2} + \frac{1}{2}Mr^{2}θ̇^{2} − Mg(l − x) sin φ

Én føringsbetingelse gir én føringsligning ∑_{k=1}^{2} a_{k}q̇_{k} + a_{t} = a_{x}ẋ + a_{θ}θ̇ + a_{t} = 0. Sammenligning med rdθ = dx, altså

ẋ − rθ̇ = 0,

gir a_{x} = 1, a_{θ} = −r og a_{t} = 0. Fra Lagranges ligninger, \frac{∂L}{∂q_{k}} − \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{k}} + λa_{k} = 0, får vi:

\begin{matrix}\frac{∂L}{∂x} = Mg sin φ,  \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂ẋ} = Mẍ,  λa_{x} = λ \\ ⇒ Mg sin φ − Mẍ + λ = 0 \end{matrix} \}q_{1} = x

\begin{matrix}\frac{∂L}{∂θ} = 0,  \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂θ̇} = Mr^{2}θ̈,  λa_{θ} = −rλ \\ ⇒ −Mrθ̈ − λ = 0 \end{matrix} \}q_{2} = θ

Vi har tre ukjente (variable), x,θ og λ, og tre ligninger til å finne dem (to Lagrangeligninger pluss føringsbetingelsen). Vi tar \frac{d}{dt} på begge sider av føringsligningen rθ̇ = ẋ, setter inn i Lagrangeligningen for θ og får

Mẍ − λ,

som innsatt i Lagrangeligningen over x gir

ẍ = \frac{1}{2}g sin φ;  λ = −\frac{1}{2}Mg sin φ;  θ̈ = \frac{ẍ}{r} = \frac{g}{2r} sin φ.

Vi legger merke til:

• Ved friksjonsløs glidning ned skråplanet er selvsagt akselerasjonen ẍ lik g sin φ, så ẍ er altså halvparten så stor ved rulling som ved glidning (en del av den potensielle energien går over til rotasjonsenergi).

• Ettersom ẍ = \frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}g sin φ, fås at ∫_{0}^{v_{0}} vdv = \frac{1}{2}v_{0}^{2} = \frac{1}{2}g sin φ ∫_{0}^{l} dx = \frac{1}{2}gl sin φ, altså

v_{0} = \sqrt{gl sin φ}

ved bunnen av planet.

• Vi kan skrive −λ = Mrθ̈, og innser at −λ = \frac{1}{2}Mg sin φ er føringskraften som gjør at ringen begynner å rotere.

• Fortegnet på λ er her vilkårlig; i Goldstein er valgt a_{θ} = r og a_{x} = −1, som gir λ = \frac{1}{2}Mg sin φ. Men fysikken er selvsagt den samme!

• Merk at vi her har brukt metoden på et eksempel med holonome føringer; metoden kan være hensiktsmessig også da!

’

2.5 Fordeler med variasjonsprinsipp

• Prinsippet er mest nyttig når man kan finne en Lagrangefunksjon L uttrykt ved uavhengige koordinater, altså for holonome systemer.

• Metoden involverer kun T og V, som er fysiske størrelser uavhengig av koordinatvalg. Hele formuleringen er dermed automatisk invariant med hensyn på valg av koordinater.

• Fra før hadde vi at L er ubestemt med hensyn på addisjon av \frac{dF}{dt} der F = F (q, t). Med Hamiltons prinsipp som basis er dette innlysende:

δ ∫_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{dF}{dt} dt = δF (t_{2}) − δF (t_{1}) = 0,

fordi vi ikke har noen variasjon i endepunktene.

• Kan anvende metoden i mange grener av fysikken. Eks:

L = \frac{1}{2} ∑_{j} L_{j}q̇_{j}^{2} + \frac{1}{2} ∑_{jk,k≠j} M_{jk}q̇_{j}q̇_{k} − ∑_{j} \frac{q_{j}^{2}}{2C_{j}} + ∑_{j} E_{j}(t)q_{j}

F = \frac{1}{2} ∑_{j} R_{j}q̇_{j}^{2} (dissipasjonsfunksjonen)

Lagranges ligninger blir:

L_{j}q̈_{j} + ∑_{k≠j} M_{jk}q̈_{k} + R_{j}q̇_{j} + \frac{q_{j}}{C_{j}} = E_{j}(t),

som kan beskrive

1. system av elektriske kretser koblet via gjensidige induktanser M_{jk} (q ˆ= elektrisk ladning),

2. system av masser og fjærer som beveger seg i viskøst medium (q ˆ= posisjoner).

2.6 Bevarelsessetninger og symmetriegenskaper

For et system med n frihetsgrader vil bevegelsesligningene være n diff.ligninger som er av 2. orden i tiden. Løsningen innebærer dermed to integrasjoner pr. ligning, dvs. vi får 2n integrasjonskonstanter som kan bestemmes fra initialbetingelsene, som for eksempel kan være startverdier for q_{1}, q_{2}, ...q_{n}, q̇_{1}, ..., q̇_{n}.

Vi er ofte ikke interessert i en fullstendig lsning for q_{j}(t) for alle j. Noen ganger holder det eller er til og med viktigere å kunne beskrive bevegelsen mer generelt i sin natur. To sentrale begreper er da bevaringslover og symmetriegenskaper.

Anta et system av punktmasser i et potensial V som kun er posisjonsavhengig. Da

\frac{∂L}{∂ẋ_{i}} = \frac{∂T}{∂ẋ_{i}} − \frac{∂V}{∂ẋ_{i}} = \frac{∂}{∂ẋ_{i}} ∑_{i} \frac{1}{2}m_{i}(ẋ_{i}^{2} + ẏ_{i}^{2} + ż_{i}^{2}) = m_{i}ẋ_{i} = p_{ix}.

Med generaliserte koordinater q_{i} definerer vi den generaliserte, eventuelt kanoniske, eventuelt konjugerte impulsen som

p_{i} = \frac{∂L}{∂q̇_{i}} .  (2.10)

Hvis potensialet er hastighetsavhengig, vil kanonisk impuls være forskjellig fra mekanisk impuls.

Eksempel: Partikler i elektromagnetisk felt

Vi fant Lagrangefunksjonen for partikkel i elektromagnetisk felt på side 12:

L = \frac{1}{2} ∑_{i} m_{i}ṙ_{i}^{2} − ∑_{i} q_{i}φ(r⃗_{i}) + ∑_{i} q_{i}A⃗(r⃗_{i}) · ṙ_{i}

Gir

p_{ix} = \frac{∂L}{∂ẋ_{i}} = m_{i}ẋ_{i} + q_{i}A_{x} ≠ m_{i}ẋ_{i}

Vi sier at vi har en syklisk koordinat q_{i} dersom L ikke inneholder q_{i}. Dermed er \frac{∂L}{∂q_{i}} = 0 og Lagranges ligninger i q_{i} blir

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} = ṗ_{i} = 0.

Altså p_{i} =konst. når q_{i} er syklisk, eller

Kanonisk impuls tilhørende syklisk koordinat er bevart. (2.11)

Eksempel: x-uavhengig EM-felt

Anta et elektromagnetisk felt der φ og A⃗ er uavhengige av x. Da er også L uavhengig av x, dvs. x er en syklisk koordinat.

p_{x} = \frac{∂L}{∂ẋ} = mẋ + qA_{x} = konst.,

mens mekanisk impuls mẋ generelt ikke er bevart.

Vi skal nå se nærmere på bevaringslover ifm. translasjon og rotasjon samt bevaring av energi.

2.6.1 Translasjon

Vi ser på en generell koordinat q_{j} som er slik at dq_{j} betyr translasjon av hele systemet i en retning n⃗ (figur 7). Da har vi

\frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = lim_{dq_{j}→0} \frac{r⃗_{i}(q_{j} + dq_{j}) − r⃗_{i}(q_{j})}{dq_{j}} = \frac{dq_{j}n⃗}{dq_{j}} = n⃗ (for alle i)

Anta at systemet er konservativt, altså V = V (q). Lagrange for holonomt system (ligning 1.20):

\frac{d}{dt} \frac{∂T}{∂q̇_{j}} − \frac{∂T}{∂q_{j}} = Q_{j}.

Hastigheter, og dermed kinetisk energi T er upåvirket av å flytte origo, så \frac{∂T}{∂q_{j}} = 0. Dermed (ved å bruke ligning 1.17):

\underline{ṗ_{j}} = Q_{j} = ∑_{i} F⃗_{i} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = ∑_{i} F⃗_{i} · n⃗ = \underline{n⃗ · F⃗} .  (2.12)

Med andre ord: den generaliserte kraftkomponenten Q_{j} er komponenten av den totale kraften F⃗ langs n⃗. Med T = \frac{1}{2} ∑_{i} m_{i}ṙ_{i}^{2} får vi

\underline{p_{j}} = \frac{∂T}{∂q̇_{j}} = ∑_{i} m_{i}ṙ_{i} · \frac{∂ṙ_{i}}{∂q̇_{j}} = ∑_{i} m_{i}ṙ_{i} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = ∑_{i} m_{i}v⃗_{i} · n⃗ = \underline{n⃗ · P⃗ ,}  (2.13)

Figur 7: En liten translasjon dq_{j} av hele systemet

Figur 8: En liten rotasjon dq_{j} av hele systemet

så p_{j} er komponenten av total lineær impuls P⃗ langs n⃗. Dermed konkluderer vi med at ṗ_{j} = Q_{j} er bevegelsesligningene for total lineær impuls.

Dersom nå q_{j} er syklisk, vil \frac{∂L}{∂q_{j}} = −\frac{∂V}{∂q_{j}} = Q_{j} = 0, dvs. ṗ_{j} = 0. Dette er bevaringsloven for lineær impuls som vi fant tidligere; når ytre kraft er null, er total impuls bevart.

2.6.2 Rotasjon

Vi ser videre på en generell koordinat q_{j} som er slik at dq_{j} medfører en rotasjon av hele systemet omkring en akse n⃗.

Med de samme argumentene som vi brukte ovenfor, får vi helt analogt (se figur 8)

ṗ_{j} = Q_{j}  med  Q_{j} = ∑_{i} F⃗_{i} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}}

Vi ser av figuren at |dr⃗_{i}| = r_{i} sin θdq_{j}, så |\frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} | = r_{i} sin θ med retning ⊥ r⃗_{i} og n⃗ ⟹

\frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = n⃗ × r⃗_{i}.

Vi får som i translasjonstilfellet

\underline{Q_{j}} = ∑_{i} F⃗ · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = ∑_{i} F⃗ · (n⃗ × r⃗_{i}) = ∑_{i} n⃗ · (r⃗_{i} × F⃗_{i}) = ∑_{i} n⃗ · N⃗_{i} = \underline{n⃗ · N⃗}.  (2.14)
\underline{p_{j}} = ∑_{i} v⃗_{i} · \frac{∂r⃗_{i}}{∂q_{j}} = ∑_{i} m_{i}v⃗_{i} · (n⃗ × r⃗_{i}) = ∑_{i} n⃗ · (r⃗_{i} × m_{i}v⃗_{i}) = n⃗ · ∑_{i} L⃗_{i} = \underline{n⃗ · L⃗}  (2.15)

Q_{j} er altså komponenten av dreiemomentet N⃗ langs n⃗ og p_{j} er komponenten av dreieimpulsen L⃗ langs n⃗. Hvis q_{j} er syklisk, er igjen \frac{∂L}{∂q_{j}} = −\frac{∂V}{∂q_{j}} = Q_{j} = n⃗ · N⃗ = 0, og p_{j} = n⃗ · L⃗ er bevart.

Generelt:

• Hvis systemet er invariant overfor translasjon langs en akse n⃗, er P⃗ konstant langs translasjonsaksen n⃗.

• Hvis systemet er invariant overfor rotasjon om en akse n⃗, er L⃗ konstant omkring rotasjonsaksen n⃗. (Kulesymmetrisk system⟹ L⃗ =konst.)

2.6.3 Bevarelse av energi

Anta at vi har L = L(q_{i}, q̇_{i}, t) og V = V (q_{i}). Den absolutt tidsderiverte, \frac{dL}{dt}:

\frac{dL}{dt} = ∑_{i} \frac{∂L}{∂q_{i}} \frac{dq_{i}}{dt} + ∑_{i} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} \frac{dq̇_{i}}{dt} + \frac{∂L}{∂t}

= ∑_{i} \frac{d}{dt} (\frac{∂L}{∂q̇_{i}} ) q̇_{i} + ∑_{i} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} \frac{dq̇_{i}}{dt} + \frac{∂L}{∂t}

= ∑_{i} \frac{d}{dt} [\frac{∂L}{∂q̇_{i}} q̇_{i}] + \frac{∂L}{∂t},

der vi har brukt Lagranges ligninger,\frac{∂L}{∂q_{i}} = \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}}. Dette gir

\frac{d}{dt} (∑_{i} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} q̇_{i} − L) + \frac{∂L}{∂t} = 0.

Energifunksjonen (som vi skal komme nærmere inn på i kapittel 3), er

H(q, q̇, t) = ∑_{i} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} q̇_{i} − L,

gir

\frac{dH}{dt} = −\frac{∂L}{∂t}.  (2.16)

La oss nå anta at L = L(q_{i}, q̇_{i}), dvs. \frac{∂L}{∂t} = 0. Vi ser at dette medfører at dH/dt = 0, og at energifunksjonen er bevart. Det gjenstår å finne sammenhengen mellom funksjonen H og total energi.

At Lagrangefunksjonen ikke er eksplisitt tidsavhengig, \frac{∂L}{∂t} = 0, medfører

\frac{d}{dt} (∑_{i} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} q̇_{i} − L) = 0.

For en homogen funksjon av n-te grad gjelder Eulers teorem:

∑_{i} x_{i} \frac{∂f}{∂x_{i}} = nf.  (2.17)

2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 29 Kinetisk energi T er en homogen funksjon av andre grad:

∑_{i} q̇_{i} \frac{∂T}{∂q̇_{i}} = ∑_{i} q̇_{i}m_{i}q̇_{i} = 2T.

(Da systemet er konservativt, er p_{i} = \frac{∂L}{∂q̇_{i}} = \frac{∂T}{∂q̇_{i}}.) Dermed

H = 2T − V = 2T − (T − V) = T + V = total energi.

Oppsummert:

Hvis \frac{∂L}{∂t} = 0, er den totale energien bevart.  (2.18)

3 Hamiltons ligninger

Vi har til nå beskjeftiget oss med Lagranges formulering av mekanikken. En alternativ formalisme ble introdusert av Hamilton, og istedet for Lagranges funksjon og ligninger, betrakter vi her Hamiltons funksjon og Hamiltons ligninger. Det er verd å merke seg

• Lagranges ligninger er ekvivalente med Hamiltons ligninger; det er derfor ingen ny fysikk i dette kapittelet, bare en ny metode.

• Hamiltons metode er ikke bedre enn Lagrangeformalismen med tanke på direkte løsning av mekanikkproblemer.

• Hamiltons prosedyre er mer velegnet på andre områder av fysikken, f.eks. innen kvantemekanikk og statistisk mekanikk.

• Vi antar i dette kapittelet holonome systemer og monogeniske krefter, dvs. V = V (q), evt. U = U(q, q̇) slik at Q_{i} = −\frac{∂U}{∂q_{i}} + \frac{d}{dt} \frac{∂U}{∂q̇} (jf. det elektromagnetiske felt, kapittel 1.5.1)

3.1 Legendretransformasjoner og Hamiltons bevegelsesligninger

3.1.1 Hamilton vs. Lagrange

La oss raskt rekapitulere hvordan vi angrep problemer med Lagranges metode. For et system med n frihetsgrader fikk vi n 2.ordens diff.ligninger

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} − \frac{∂L}{∂q_{i}} = 0, i = 1, 2, ..., n.

Fullstendig løsning krever 2n initialbetingelser, f.eks. verdier for q_{1}, ..., q_{n}, q̇_{1}, ..., q̇_{n} ved en tid t_{1}, evt. verdier for q_{1}, ..., q_{n} ved to tider t_{1} og t_{2}. Systemets tilstand spesifiseres ved et punkt i det n-dimensjonale konfigurasjonsrommet med akser q_{i}.

I Hamiltonformuleringen har vi 1. ordens ligninger, så vi får kun én integrasjonskonstant pr. ligning som skal spesifiseres. Fysikken er imidlertid den samme uansett formulering, så vi trenger fremdeles 2n initialbetingelser, altså må vi ha 2n diff.ligninger. Systemets tilstand spesifiseres ved et punkt i det 2n-dimensjonale faserommet med akser q_{i} og p_{i}, der

p_{i} = \frac{∂}{∂q̇_{i}} L(q_{j}, q̇_{j}, t), i = 1, 2, ..., n.

q, p kalles de kanoniske variable.

3.1.2 Generelt om Legendretransformasjoner

Matematisk innebærer overgangen fra Lagrange- til Hamiltonformulering at vi endrer variable i våre funksjoner fra (q, q̇, t) til (q, p, t) med p_{i} = ∂L/∂q̇_{i}. Til dette trenger vi en Legendretransformasjon.

Vi skal først se generelt på Legendretransformasjoner. Anta at vi har en funksjon f(x, y) slik at

df = udx + vdy;  u = \frac{∂f}{∂x} ,  v = \frac{∂f}{∂y} .

Vi ønsker å forandre basis fra (x, y) til (u, y) slik at differensialer uttrykkes ved du og dy. Definerer funksjonen

g = f − ux
⟹ dg = df − udx − xdu = udx + vdy − udx − xdu
= vdy − xdu,

som er vår ønskede form! x og v er nå funksjoner av u og y:

x = −\frac{∂g}{∂u}, v = \frac{∂g}{∂y} .

Legendrepolynomer brukes mye i termodynamikken.

Eksempel fra termodynamikken

Entalpien H er funksjon av entropien S og trykket p:

\frac{∂H}{∂S} = T,  \frac{∂H}{∂p} = V ⟹  dH = T dS + V dp

H uttrykt ved S og p er nyttig for isentropiske og isobariske prosesser. Dersom en ønsker å beskrive isotermiske og isobariske prosesser, trenger en heller en funksjon av T og p. Legendretransformasjonen gjør vi med funksjonen

G = H − T S

så

dG = dH − T dS − SdT = T dS + V dp − T dS − SdT
= V dp − SdT,

slik at

\frac{∂G}{∂p} = V; −\frac{∂G}{∂T} = S.

G er Gibbs fri energi.

3.1.3 Fra Lagrange- til Hamiltonformalisme

Den “naturlige” Legendretransformasjonen for endring av variable fra (q, q̇, t) til (q, p, t) er (jf. eksempelet over):

H = H(q, p, t) = p_{i}q̇_{i} − L(q, q̇, t)

Vi differensierer

dH = \frac{∂H}{∂q_{i}} dq_{i} + \frac{∂H}{∂p_{i}} dp_{i} + \frac{∂H}{∂t} dt

Fra definisjonen av H får vi

dH = q̇_{i}dp_{i} + p_{i}dq̇_{i} − \frac{∂L}{∂q_{i}} dq_{i} − \frac{∂L}{∂q̇_{i}} dq̇_{i} − \frac{∂L}{∂t}dt.

Ettersom p_{i} = \frac{∂L}{∂q̇_{i}}, forsvinner de to leddene med dq̇_{i}. Videre har vi fra Lagranges ligninger at

\frac{∂L}{∂q_{i}} = \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂q̇_{i}} = \frac{d}{dt}p_{i} = ṗ_{i}.

Dermed:

dH = q̇_{i}dp_{i} − ṗ_{i}dq_{i} − \frac{∂L}{∂t},

og vi kan skrive ned Hamiltons ligninger:

\begin{matrix}q̇_{i} = \frac{∂H}{∂p} \\ ṗ_{i} = −\frac{∂H}{∂q} \end{matrix}  (3.1)

I tillegg har vi at

−\frac{∂L}{∂t} = \frac{∂H}{∂t}  (3.2)

Den vanlige prosedyren i Hamiltonformalismen går som følger:

1. Konstruer L(q, q̇, t)

2. Definér kanoniske impulser p_{i} = \frac{∂L}{∂q̇_{i}}.

3. Konstruer H = pq̇ − L; her er H en funksjon av q, q̇, p og t:

4. Benytt p_{i} = \frac{∂L}{∂q̇_{i}} til å finne q̇_{i} som funksjon av (q, p, t).

5. Eliminer deretter q̇_{i} fra H slik at H = H(q, p, t). Deretter kan H benyttes til å løse de kanoniske bevegelsesligningene. Eksempel: Partikkel i sentralt kraftfelt

Vi bruker polarkoordinater her; q_{i} = (r, θ, ϕ). Sentralsymmetri, V = V (r).

T = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}m(ṙ^{2} + r^{2} sin^{2} θφ̇^{2} + r^{2}θ̇^{2})

Lagrangefunksjonen er L = T − V. Bruker p_{i} = \frac{∂L}{∂q̇_{i}} til å eliminere q̇_{i} fra H:

p_{r} = \frac{∂L}{∂ṙ} = mṙ;  p_{θ} = \frac{∂L}{∂θ̇};  p_{φ} = \frac{∂L}{∂φ̇}.

Definerer

H = p_{i}q̇_{i} − T + V = mṙ^{2} + mr^{2}θ̇^{2} + mr^{2} sin^{2} θφ̇^{2} − \frac{1}{2}mṙ^{2} − \frac{1}{2}mr^{2}θ̇^{2} − \frac{1}{2}mr^{2} sin^{2} θφ̇^{2} + V (r)

= T + V = \frac{1}{2}m\frac{p_{r}^{2}}{m^{2}} + \frac{1}{2}mr^{2} sin^{2} θ \frac{p_{φ}^{2}}{m^{2}r^{4} sin^{4} θ} + \frac{1}{2}mr^{2} \frac{p_{θ}^{2}}{m^{2}r^{4}} + V (r)

= \frac{1}{2m} (p_{r}^{2} + \frac{p_{θ}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{φ}^{2}}{r^{2} sin^{2} θ} ) + V (r)

= H(p, q)

Altså: Vi har vist at H =total energi T + V, og vi har greid å uttrykke H som funksjon av de kanoniske variable, (q, p) = (r, θ, φ, p_{r}, p_{θ}, p_{φ}).

Eksempel: Partikkel i elektromagnetisk felt

Det elektromagnetiske felt er et ikke-konservativt system; L = T − U har et hastighetsavhengig potensial U = qφ − qA⃗ · v⃗ (vi behandlet dette systemet i Lagrangeformalismen i avsnitt 1.5.1). Vi husker at Lagrangeligningene \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂ẋ_{i}} − \frac{∂L}{∂x_{i}} er oppfylt med dette potensialet U.

L = T − U = \frac{1}{2}mv^{2} − qφ + qA⃗ · v⃗ = L(x_{i}, ẋ_{i}, t).

Anta kartesiske koordinater (og vi bruker i det følgende summekonvensjon):

L = \frac{1}{2}mẋ_{i}ẋ_{i} + qA_{i}ẋ_{i} − qφ
⟹ p_{i} = \frac{∂L}{∂ẋ_{i}} = mẋ_{i} + qA_{i}
⟹ H = p_{i}ẋ_{i} − L = (mẋ_{i} + qA_{i})ẋ_{i} − \frac{1}{2}mẋ_{i}ẋ_{i} − qA_{i}ẋ_{i} + qφ

= \frac{1}{2}mẋ_{i}ẋ_{i} + qφ

= mekanisk energi + potensiell energi.

Vi eliminerer ẋ_{i} ved å uttrykke p_{i} ved ẋ_{i}: ẋ_{i} = \frac{1}{m}(p − qA_{i}). Innsatt:

H(x_{i}, p_{i}, t) = \frac{1}{2m}(p_{i} − qA_{i})(p_{i} − qA_{i}) + qφ

= \frac{1}{2m}(p⃗ − qA⃗)^{2} + qφ,

der avhengigheten av ẋ_{i} og t ligger i A⃗ og φ. Hvis nå A⃗ og φ er uavhengige av t, blir \frac{∂L}{∂t} = 0, og dermed

\frac{dH}{dt} = \frac{∂H}{∂t} = −\frac{∂L}{∂t} = 0

4 Tolegemeproblemet; sentrale krefter

Vi skal i dette kapittelet betrakte systemer av to legemer.

Figur 9: To legemer.

4.1 Reduksjon til ekvivalent ettlegemeproblem

To legemer har tilsammen 6 frihetsgrader, og beskrives av seks generaliserte koordinater. La de to legemene ha posisjoner r⃗_{1} og r⃗_{2}. Vi vet imidlertid at vi kan benytte to vilkårlige (lineært uavhengige) lineærkombinasjoner av disse to vektorene som basisvektorer for å beskrive systemets dynamikk, så istedet for å bruke posisjonene til enkeltpartiklene, definerer vi oss to nye, uavhengige posisjonsvektorer som bedre beskriver systemet av partikler; massesenterets posisjon, R⃗, og den relative posisjonsvektor, r⃗, definert slik:

R⃗ ≡ \frac{m_{1}r⃗_{1} + m_{2}r⃗_{2}}{m_{1} + m_{2}}  (4.1)
r⃗ ≡ r⃗_{2} − r⃗_{1}.  (4.2)

Vi skal se at dette er et mer hensiktsmessig valg. La oss anta konservativt system og sentrale krefter, dvs.

V = V (r), r = |r⃗|.

Lagrangefunksjonen, som vanlig:

L = T ( Ṙ, ṙ) − V (r);

vi finner den kinetiske energien (slik vi gjorde på side 7):

T = \frac{1}{2}m_{1}ṙ_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}ṙ_{2}^{2} = \frac{1}{2}m_{1}( Ṙ + ṙ_{1}′)^{2} + \frac{1}{2}m_{2}( Ṙ + ṙ_{2}′)^{2}

= \frac{1}{2}(m_{1} + m_{2}) Ṙ^{2} + \frac{1}{2}m_{1}ṙ_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}ṙ_{2}^{2} + Ṙ · \frac{d}{dt} \underbrace{(m_{i}r′_{1} + m_{i}r′_{2})}_{=0}

= \frac{1}{2}(m_{1} + m_{2}) Ṙ^{2} + T′,

med

T′ = \frac{1}{2}m_{1} (−\frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} ṙ)^{2} + \frac{1}{2}m_{2} (\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} ṙ)^{2}

= \frac{1}{2}m_{1}m_{2}ṙ^{2} \frac{m_{2} + m_{1}}{(m_{1} + m_{2})^{2}} = \frac{1}{2} \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} ṙ^{2}

Vi innfører nå den reduserte masse:

μ ≡ \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} ,  (4.3)

eventuelt

\frac{1}{μ} = \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} .  (4.4)

Dessuten skriver vi den totale massen

M ≡ m_{1} + m_{2}

Dermed

T = \frac{1}{2}M Ṙ^{2} + \frac{1}{2}μṙ^{2}.  (4.5)

og Lagrangefunksjonen

L = \frac{1}{2}M Ṙ^{2} + \frac{1}{2}μṙ^{2} − V (r) = L(r, ṙ, Ṙ).

R⃗ inngår ikke i Lagrangefunksjonen og er dermed en syklisk koordinat, som medfører at p_{R} = ∂L/∂Ṙ = MṘ =konst., og dermed også Ṙ =konst. Vi kan rett og slett droppe leddet \frac{1}{2}M Ṙ^{2} i Lagrangefunksjonen, og vi har redusert problemet til et ekvivalent ettlegemeproblem med samme formalisme som for én partikkel med masse μ og posisjon r⃗:

L = \frac{1}{2}μṙ^{2} − V (r).  (4.6)

4.2 Bevegelsesligningene

Med reduksjonen ovenfor i bakhodet, er den naturlige fortsettelsen å formulere bevegelsesligningene for en partikkel i et sentralt kraftfelt F⃗ = −∇V (r). Ettersom systemet er rotasjonssymmetrisk, må total dreieimpuls være bevart:

L⃗ = r⃗ × p⃗ = konst., både i størrelse og retning.

Dette kan bare være oppfylt dersom r⃗ hele tiden ligger i et plan normalt på L⃗ (slik sentralbevegelse skjer derfor alltid i et plan). Det virker nå naturlig å benytte polarkoordinater slik at polaraksen er parallell med L⃗, som gir oss polarvinkelen

φ = \frac{π}{2} = konst.,

og vi står igjen med to frie koordinater, r og θ, der θ er asimutvinkelen i planet. Vi lar partikkelens masse være m og formulerer Lagrangefunksjonen

L = T − V = \frac{1}{2}m(ṙ + r^{2}θ̇^{2}) − V (r) = L(r, ṙ, θ̇).

θ er som vi ser en syklisk koordinat, så

p_{θ} = \frac{∂L}{∂θ̇} = mr^{2}θ̇ = konst. ≡ l,

der l er dreieimpulsens størrelse. Den ene bevegelsesligningen blir dermed

ṗ_{θ} = \frac{d}{dt}(mr^{2}θ̇) = 0

Figur 10: Keplers andre lov: radien sveiper over like store arealer i løpet av like store tidsrom.

Vi kan nå bevise Keplers 2. lov, som sier at radien sveiper over like store arealer i like store tidsrom. Av figur 4.2 ser vi

dA = \frac{1}{2}r · rdθ
⇓
Ȧ = \frac{1}{2}r^{2}θ̇ = \frac{1}{2m}p_{θ} = konst.

Kepler formulerte loven for planetbevegelse i potensial V ∼ r^{−1}, men resultatet er som vi ser gyldig for generell sentralbevegelse.

Vi vender tilbake til bevegelsesligningene og finner den andre av bevegelsesligningene, for koordinaten r:

\underbrace{\frac{d}{dt}(mr⃗)}_{= \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂ṙ}} − \underbrace{mrθ̇^{2} + \frac{∂V}{∂r}}_{= \frac{∂L}{∂r}} = 0.

Kraft i r⃗-retning: f(r) ≡ −\frac{∂V}{∂r} , så

mr̈ − mrθ̇^{2} = f(r).

Vi eliminerer θ̇ ved hjelp av konstanten l = mr^{2}θ̇, dvs.

θ̇ = \frac{l}{mr^{2}} ,  (4.7)

og får en 2. ordens diff.ligning bare i r:

mr̈ − \frac{l^{2}}{mr^{3}} = f(r).

Vi arbeider med et konservativt system, og da har vi sett at total mekanisk energi, E, er en bevegelseskonstant:

E = \frac{1}{2}m(ṙ + r^{2}θ̇^{2}) + V (r).  (4.8)

Vi har to variable, r og θ, og i utgangspunktet to 2. ordens diff.ligninger, det vil si at vi må foreta fire integrasjoner for å finne r(t) og θ(t). Vi har imidlertid allerede gjort to integrasjoner der integrasjonskonstantene ble fastslått ved hjelp av l og E. Det gjenstår da å gjøre to integrasjoner for å løse de to ligningene av 1. orden. La oss starte med (4.8), omskrevet ved hjelp av (4.7):

\frac{1}{2}mṙ^{2} + \frac{l^{2}}{2mr^{2}} + V = E,

dvs.

ṙ = \sqrt{\frac{2}{m} (E − V − \frac{l^{2}}{2mr^{2}} )} og dermed
dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m} (E − V − l^{2}/2mr^{2})}}

Vi ser at vi har valgt positivt fortegn foran kvadratroten i uttrykket for ṙ. La r(t = 0) = r_{0} =minimum radius. Dermed er dr > 0 når dt > 0, og valget av positiv løsning er ok. Løst for t får vi:

t = ∫_{r_{0}}^{r} \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E − V − l^{2}/2mr^{2})}} = t(r; E, l, r_{0}),  (4.9)

som (i hvert fall i prinsippet) kan inverteres slik at vi finner r(t). Om vi antar kjent r(t) finner vi θ(t) av mr^{2}θ̇ = l:

dθ = \frac{ldt}{mr^{2}}

så

θ(t) = l ∫_{0}^{t} \frac{dt}{mr^{2}(t)} + θ_{0};  θ_{0} ≡ θ(t = 0).  (4.10)

Vi ser at vi har fått fire integrasjonskonstanter: E, l, r_{0} og θ_{0}. I klassisk mekanikk kunne vi like godt ha valgt fire andre størrelser, f.eks. r_{0}, θ_{0}, ṙ_{0}, θ̇_{0} for å bestemme systemet entydig. I kvantemekanikk, derimot, er initialverdier av r, θ, samtidig med ṙ, θ̇ uten mening (da operatorene som representerer disse størrelsene i kvantemekanikk ikke kommuterer, kan de ikke ha skarp verdi samtidig, jf. Heisenbergs uskarphetsprinsipp som er grundig behandlet i enhver tekstbok i kvantemekanikk). Det er derfor fornuftig å velge E og l dersom en ønsker å diskutere overgangen fra klassisk mekanikk til kvantemekanikk.

4.3 Ekvivalent éndimensjonalt problem

I de fleste tilfeller er det ikke mulig å løse integralene for t og θ analytisk. Vi kan imidlertid oppnå en del innsikt uten å finne den fullstendige løsningen ved å betrakte en éndimensjonal analogi.

Vi hadde følgende bevegelsesligninger for systemet:

mr̈ − mrθ̇^{2} = f(r) = −\frac{∂V}{∂r}

θ̇ = \frac{l}{mr^{2}} .

Innsatt for θ̇ får vi

mr̈ = f(r) + \frac{l^{2}}{mr^{3}} ≡ f′(r),

som vi kjenner igjen som Newtons andre lov for et éndimensjonalt problem der en masse m påvirkes av en kraft f′ = f + \frac{l^{2}}{mr^{3}} . Vi kikker på tilleggsleddet:

\frac{l^{2}}{mr^{3}} = \frac{(mr^{2}θ̇)^{2}}{mr^{3}} = mrθ̇^{2} = \frac{mv_{θ}^{2}}{r} ,

som vi kjenner igjen som sentrifugalkraften. Alternativt kan vi betrakte energien:

E = \frac{1}{2}mṙ^{2} + \frac{1}{2}mr^{2}θ̇^{2} + V (r)

= \frac{1}{2}mṙ^{2} + \frac{l^{2}}{2mr^{2}} + V (r),

Figur 11: Sentrifugalbarriæren med −k/r-potensial.

som er det samme som vi får for et éndimensjonalt problem med potensiell energi

V′(r) = V (r) + \frac{l^{2}}{2mr^{2}} .  (4.11)

Kraften avledet av V′(r) er

f′ = −\frac{∂V′}{∂r} = f + \frac{l^{2}}{2mr^{3}} ,  (4.12)

som vi fikk ovenfor.

Eksempel: Attraktiv r^{−2}-kraft

Betrakt potensial V (r) = −k/r, dvs. f(r) = −k/r^{2}. Som vi så over får vi da:

V′ = −\frac{k}{r} + \frac{l^{2}}{2mr^{2}} ,

der det siste leddet kalles sentrifugalbarrieren. Total mekanisk energi

E = \frac{1}{2}mṙ^{2} + V′(r) ≥ V′(r)

La oss plotte V′(r) (figur 11). Vi legger merke til grensene

lim_{r→0} V′(r) = +∞
lim_{r→∞} V′(r) = 0

Hvis total energi er E_{1} > 0 kan partikkelen ikke komme nærmere origo enn r_{1} (som vist på figurene), ettersom vi må ha E ≥ V′. Vi ser videre at det ikke er noen øvre grense for r for positive energier; vi sier at bevegelsen ikke er bundet. Partikkelen har et vendepunkt i r = r_{1}. Skisse av partikkelens bane ved ubundet bevegelse (hyperbel):

Figur 12: Partikkelbane, bundet sentralbevegelse. Vendepunkter for r = r_{1} og r = r_{2}.

Når E = E_{2} = 0 får vi kvalitativt samme bevegelse (parabel).

Hva blir situasjonen så for E < 0? Bevegelsen må nå bli bundet, dvs. r_{1} ≤ r ≤ r_{2} med to vendepunkter, henholdsvis r_{1} og r_{2}.

Når energien er mindre enn 0, men større enn E_{0}, kan vi få ganske kompliserte baner som vist i figur 12. Bevegelsen trenger ikke å være en lukket kurve.

Er energien akkurat E = E_{4}, blir r_{1} = r_{2} = r_{0}, og banen må bli en sirkel med ṙ (partikkelen har ikke nok energi til å bevege seg i r-retning). Minimumspunktet for V′ er gitt ved

f′ = −\frac{∂V′}{∂r} = 0  dvs.
f = −mrθ̇^{2}.

Det vil si at ytre kraft her akkurat balanseres av sentrifugalkraften.

Eksempel: Harmonisk oscilltor

Harmonisk oscillator-potensialet er: f(r) = −kr, V (r) = \frac{1}{2}kr^{2}

Ingen dreieimpuls, r⃗∥v⃗, så bevegelsen skjer langs en rett linje gjennom bunnpunktet. V′ = V, så vi får en bundet harmonisk bevelgelse med r ≤ r_{1}.

V′ = \frac{1}{2}kr^{2} + \frac{l^{2}}{2mr^{2}} .

Vi får en bundet bevegelse med r_{1} ≤ r ≤ r_{2}.

Ligningen f⃗ = −kr⃗ er på komponentform:

f_{x} = −kx, f_{y} = −ky,

så vi har altså to harmoniske oscillatorer som danner en vinkel på 90^{o} med hverandre. Vi ser videre at oscillatorene har samme frekvens, dvs. banen er en ellipse. Eksempler på slike systemer kan være

• Sfærisk pendel

• Lissajoufigurer på oscilloskopet

4.4 Virialteoremet

Virialteoremet er et generelt teorem som er gyldig for mange ulike fysiske systemer. Som resultat er det av statisk natur, idet det har å gjøre med tidsmiddelet av fysiske størrelser.

Vi antar et system av massepunkter i posisjoner r⃗_{i} påvirket av krefter F⃗_{i} (som inkluderer eventuelle føringskrefter). Newtons andre lov lyder som vanlig ṗ_{i} = F⃗_{i}. Vi lager oss funksjonen

G = ∑_{i} p⃗_{i} · r⃗_{i},  som gir

\frac{dG}{dt} = ∑_{i} ṙ_{i} · p⃗_{i} + ∑_{i} ṗ · r⃗_{i}

Omformer den tidsderiverte:

1. ledd: ∑_{i} ṙ_{i} · p⃗_{i} = ∑_{i} ṙ_{i} · m_{i}ṙ_{i} = ∑_{i} m_{i}v_{i}^{2} = 2T
2. ledd: ∑_{i} ṗ · r⃗_{i} = ∑_{i} F⃗_{i} · r⃗_{i}

Dermed:

\frac{dG}{dt} = 2T + ∑_{i} F⃗_{i} · r⃗_{i}

Vi midler denne ligningen over et tidsintervall τ:

\overline{\frac{dG}{dt}} ≡ \frac{1}{τ} ∫_{0}^{τ} \frac{dG}{dt}dt = 2\overline{T} + \overline{∑_{i} F⃗_{i} · r⃗_{i}},

det vil si

2\overline{T} + \overline{∑_{i} F⃗_{i} · r⃗_{i}} = \frac{1}{τ} [G(τ) − G(0)] .

Dersom vi ser på en periodisk bevegelse der perioden er τ, er det åpenbart at høyre side av denne ligningen må være null. For generell ikke-periodisk bevegelse krever vi at r⃗_{i} og p⃗_{i} må være endelige, og altså er også G endelig. Av dette følger at

lim_{τ→∞} \frac{1}{τ} [G(τ) − G(0)] = 0,

så i begge tilfeller får vi virialteoremet:

\overline{T} = −\frac{1}{2} \overline{∑_{i} F⃗_{i} · r⃗_{i}}  (4.13)

Eksempel: Ideell gass

Vi betrakter N atomer i et volum V. Ekvipartisjonsprinsippet (kjent fra statistisk mekanikk) gir oss da at den indre energi

U = \overline{T} = \frac{3}{2}NkT,

der k = 1.38 · 10^{−23}J/K er Boltzmanns konstant. Veggkraften i boksen er gitt ved

dF⃗_{i} = −pn⃗dA,

der p her betegner trykket. Vi antar at gassen er ideell, dvs. at interatomære vekselvirkninger kan neglisjeres. Vi beregner middelverdien

\frac{1}{2} ∑_{i} F⃗_{i} · r⃗_{i} = −\frac{1}{2}p ∫ n⃗ · r⃗dA = −\frac{1}{2}p ∫ ∇ · r⃗dV = \frac{3}{2}pV,

der vi har brukt at

∫ ∇ · r⃗dV = ∑_{i=1}^{3} ∫ \frac{∂r_{i}}{∂x_{i}} dx_{i} = 3V.

Innsatt i virialteoremet får vi

pV = NkT,

som vi kjenner igjen som Boyles lov eller Ideell gasslov.

Eksempel: F⃗_{i} = −∇_{i}V

Dersom alle krefter kan skrives som en gradient til et potensial V, slik at F⃗_{i} = −∇_{i}V, tar virialteoremet formen

\overline{T} = \frac{1}{2}\overline{∑_{i} ∇_{i}V · r⃗_{i}}.

La oss for enkelhets skyld betrakte én partikkel i et sentralfelt:

\overline{T} = \frac{1}{2} \overline{\frac{∂V}{∂r} r}.

Anta videre at potensialet kan skrives som en potens i r, altså

V = ar^{n+1} ⟺ f ∼ r^{n}

(husk her at også mange potensialer av en annen matematisk form også lar seg Taylorutvikle i potenser av r, så resultatet vi får lar seg også anvende i analyse av mer generelle potensialer). Vi får:

\frac{∂V}{∂r} r = (n + 1)V

og dermed

\overline{T} = \frac{n + 1}{2}\overline{V} .  (4.14)

To viktige eksempler på potensialer på denne formen er Keplerpotensialet n = −2 og harmonisk oscillator, n = 1. Vi får

\overline{T} = −\frac{1}{2} \overline{V} for n = −2
\overline{T} = \overline{V} for n = 1.

4.5 Keplerproblemet

La oss gå tilbake til problemet med sentrale krefter på formen f(r) = −k/r^{2}, dvs. potensial V (r) = −k/r. Vi ønsker å bestemme banen til en partikkel som beveger seg i dette potensialet, det vil si å finne sammenhengen mellom r og θ.

Vi hadde

ṙ = \sqrt{\frac{2}{m} (E − V − \frac{l^{2}}{2mr^{2}} )}

for generell V (r). Denne skriver vi på formen

dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m} (E − V − \frac{l^{2}}{2mr^{2}} )}}.

Vi innfører dθ ved å bruke θ̇ = l/mr^{2}, altså ldt = mr^{2}dθ:

dθ = \frac{ldr}{mr^{2}\sqrt{\frac{2}{m} (E − V − \frac{l^{2}}{2mr^{2}} )}},

med løsning for θ

θ(r) = ∫_{r_{0}}^{r} \frac{ldr′}{mr′^{2}\sqrt{\frac{2}{m} (E − V − \frac{l^{2}}{2mr′^{2}} )}} + θ_{0}.

Vi setter nå inn for potensialet, V = −k/r, og substituerer: u ≡ 1/r; du = −dr/r^{2}:

θ = θ_{0} − ∫_{u_{0}}^{u} \frac{du}{\sqrt{\frac{2mE}{l^{2}} + \frac{2mku}{l^{2}} − u^{2}}} .

Konstanten θ_{0} er bestemt av initialbetingelsene. La oss sette θ_{0} = 0, det vil si at vinkelen θ regnes i forhold til perihel, det vil si det punktet hvor partikkelen er nærmest origo.

Integralet i uttrykket for θ er et standardintegral med analytisk løsning:

∫ \frac{dx}{\sqrt{α + βx + γx^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{−γ}} arccos [−\frac{β + 2γx}{\sqrt{q}}] ,

der q = β^{2} − 4αγ. Sammenligning med integralet vi skal løse tilsier at vi må velge konstantene slik

α = \frac{2mE}{l^{2}} ,  β = \frac{2mk}{l^{2}} ,  γ = −1,  q = (\frac{2mk}{l^{2}} )^{2} (1 + \frac{2El^{2}}{mk^{2}} )

så

−\frac{β + 2γu}{\sqrt{q}} = −\frac{1 + \frac{2γu}{β}}{\sqrt{1 − \frac{4αγ}{β^{2}}}} = \frac{\frac{l^{2}u}{mk} − 1}{\sqrt{1 + \frac{2El^{2}}{mk^{2}}}}

gir

θ = − arccos (\frac{\frac{l^{2}}{mkr} − 1}{\sqrt{1 + \frac{2El^{2}}{mk^{2}}}} ) .

Vi innfører eksentrisiteten ϵ:

ϵ = \sqrt{1 + \frac{2El^{2}}{mk^{2}}} ,  (4.15)

og videre “baneparameter”, p:

p = \frac{l^{2}}{mk} .

Dermed:

θ = − arccos (\frac{1}{ϵ}(\frac{p}{r} − 1))  (4.16)

Dette kan vi løse med hensyn på r (bruker at cos(x) = cos(−x)):

cos θ = \frac{1}{ϵ}(\frac{p}{r} − 1) ⟹ \frac{p}{r} = 1 + ϵ cos θ

r = \frac{p}{1 + ϵ cos θ} .  (4.17)

Dette er et kjeglesnitt med brennpunkt i origo. Vi ser at θ = 0 tilsvarer r = r_{0} = p/(1 + ϵ), altså perihelen. Vi kan nå klassifisere ulike typer baner:

ϵ > 1: hyperbel (E > 0)
ϵ = 1: parabel (E = 0)
ϵ < 1: ellipse  (E < 0)
ϵ = 0: sirkel  (E = −mk^{2}/2l^{2})

La oss se litt nærmere på ellipsen. Store halvakse benevner vi med a og lille halvakse med b. For bundet bevegelse har vi da r_{1} ≤ r ≤ r_{2}.

4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 45 Av figuren ser vi at

2a = r_{1} + r_{2} = \frac{p}{1 + ϵ} + \frac{p}{1 − ϵ} = \frac{2p}{1 − ϵ^{2}} ,

dvs. (husk: E < 0)

a = \frac{p}{1 − ϵ^{2}} = \frac{\frac{l^{2}}{mk}}{1 − (1 + \frac{2El^{2}}{mk^{2}} )} = −\frac{k}{2E} = \frac{k}{2|E|}

Hvis 2c er avstanden mellom brennpunktene gjelder

ϵ = \frac{c}{a}  (4.18)

Videre har vi for en ellipse at a^{2} = b^{2} + c^{2}. Dermed:

b^{2} = a^{2} − c^{2} = a^{2} − a^{2}ϵ^{2} = \frac{p^{2}}{(1 − ϵ^{2})^{2}} (1 − ϵ^{2}) = \frac{p^{2}}{1 − ϵ^{2}} = −\frac{(\frac{l^{2}}{mk})^{2}}{\frac{2El^{2}}{mk^{2}}} = −\frac{l^{2}}{2mE} ,

så

b = \frac{l}{\sqrt{2m|E|}}  (4.19)

Merk: b avhenger av både E og l, men a avhenger kun av E. 4.5.1 Omløpstid T Vi har vist at “arealhastigheten” er konstant i sentralbevegelse (side 36):

\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^{2}θ̇ = \frac{l}{2m}.

Vi integrerer over én periode:

∫_{0}^{T} \frac{dA}{dt}dt = A = \frac{l}{2m}T.

For en ellipse kjenner vi arealet gitt ved A = πab, så

T = \frac{2πm}{l}ab.

4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 46 Med resultetene ovenfor; b = l/\sqrt{2m|E|} og a = k/2|E|:

\frac{b}{l} = \frac{1}{\sqrt{2m|E|}} = \frac{1}{\sqrt{2m\frac{k}{2a}}} = \sqrt{\frac{a}{mk}} ,

og omløpstiden blir

T = 2πma\sqrt{\frac{a}{mk}} = 2πa^{3/2}\sqrt{\frac{m}{k}},

som er Keplers 3. lov:

T^{2} ∝ a^{3}  (4.20)

4.5.2 Tidsutviklingen Vi fant på side 37:

t = ∫_{r_{0}}^{r} \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E − V − l^{2}/2mr^{2})}}.

Nå er V = −k/r. For å finne et hensiktsmessig uttrykk, bruker vi uttrykkene for a og b samt at a^{2} − b^{2} = a^{2}ϵ^{2} som vi fant ovenfor. Vi får da (betrakter først det ubestemte integralet):

t = ∫ \frac{rdr}{\sqrt{−\frac{2|E|r^{2}}{m} − \frac{2kr}{m} − \frac{l^{2}}{m^{2}}}} = \sqrt{\frac{m}{2|E|}} ∫ \frac{rdr}{\sqrt{−r^{2} + \frac{k}{|E|}r − \frac{l^{2}}{2m|E|}}} ,

så

t = \sqrt{\frac{ma}{k}} ∫ \frac{rdr}{\sqrt{−r^{2} + 2ar − b^{2}}}  (4.21)

Uttrykket under rottegnet kan omskrives:

−r^{2} + 2ar − a^{2} + a^{2} − b^{2} = −(r − a)^{2} + a^{2}ϵ^{2}.

Gjør nå substitusjonen

a − r ≡ aϵ cos ξ,
dr = aϵ sin ξdξ

slik at

t = \sqrt{\frac{ma}{k}} ∫ \frac{(a − aϵ cos ξ)aϵ sin ξdξ}{\sqrt{a^{2}ϵ^{2} − a^{2}ϵ^{2} cos^{2} ξ}}
= \sqrt{\frac{ma^{3}}{k}} ∫ (1 − ϵ cos ξ)dξ = \sqrt{\frac{ma^{3}}{k}} (ξ − ϵ sin ξ) + konst.

Vi velger initialpunktet slik at konst.= 0. Da får vi følgende parameterfremstilling av r(t):

r = a(1 − ϵ cos ξ), t = \sqrt{\frac{ma^{3}}{k}} (ξ − ϵ sin ξ). (4.22)

Vi ser at ξ = 0 tilsvarer t = 0, og at partikkelen da er i posisjonen a(1 − ϵ), det vil si i perihel.

4.6 Spredning i sentralt kraftfelt

Vi skal i dette kapittelet beskrive et system der partikler blir spredt av et sentralt kraftfelt. Problemet vi betrakter her er ikke-relativistisk og med neglisjerbare kvanteeffekter, men formalismen vi utvikler her er den samme som vi møter igjen innenfor f.eks. atom- og partikkelfysikk der vi ikke kan neglisjere disse korreksjonene.

Anta at vi har en uniform strøm av partikler (elektroner, α-partikler, planeter ...) på vei mot et kraftsentrum. Anta videre at partiklene har lik masse og energi. Potensialet V (r) vi betrakter er slik at kraften f(r) = −∂V/∂r ⟶ 0 når r → ∞. Generelt kan vi ha både tiltrekkende og frastøtende V (r).

Vi beskriver den innkommende partikkelstrømmen ved intensiteten I, definert som

I ≡ # partikler gjennom en enhet tverrsnittsareal normalt på strømmen pr. tidsenhet  (4.23)

Partiklenes baner avbøyes fra en rettlinjet bevegelse når de passerer kraftsenteret. Etter passering avtar etterhvert kreftene som virker på partiklene og banene blir til slutt rette linjer igjen. Vi definerer nok en hensiktsmessig størrelse: det differensielle spredningstverrsnitt:

σ(Ω)dΩ ≡ \frac{# part. spredt inn i romvinkel dΩ pr. tidsenhet}{innfallende intensitet}.  (4.24)

Dimensjonen til σ(Ω) er: [σ(Ω)] = \begin{matrix}s & ^{−1} \\ m & ^{−2} & s & ^{−1} \end{matrix} = m^{2}. Ettersom kreftene vi betrakter er sentrale, har vi symmetri om aksen som angir den innkommende retningen. Dermed er systemet uavhengig av asimutalvinkelen φ (vi sier at systemet er invariant under rotasjoner om polaraksen) og vi kan betrakte romvinkelelementer som infinitesimalt tynne “ringer”:

dΩ = 2π sin Θ · dΘ,

der Θ er spredningsvinkelen.

Vi ser på tilfellet med frastøtende potensial.

Vi har brukt Θ til å benevne spredningsvinkelen og kaller koordinaten som betegner vinkelen mellom partikkelens posisjonsvektor og polaraksen til enhver tid for θ (merk forskjellen!). Det er hensiktsmessig å innføre støtparameteren s (se figuren over). Vi uttrykker dreieimpulsen “lenge før” støtet:

l = |r⃗ × p⃗| =^{r→∞} mv_{0}s = m\sqrt{\frac{2E}{m}} s = s\sqrt{2mE}.

Med sentrale krefter fant vi at dreieimpulsen er bevart (både θ og φ er sykliske koordinater i systemet jf. kapitlet om Lagrangeformalisme). Anta at ulike verdier av s gir ulike spredningsretninger. Ved fiksert E og s er spredningsvinkelen Θ dermed entydig bestemt (jf. kvantemekanikken, der θ kan måles med en viss sannsynlighet. Støtparameteren s kan ikke være skarpt definert i en kvantemekanisk beskrivelse). Antatt et entydig forhold mellom Θ og s skriver vi:

# partikler inn mellom s og s + ds = # partikler ut mellom Θ og Θ + dΘ
|IdA| = |Iσ(Ω)dΩ|
I · 2πs|ds| = 2πσ(Θ)I sin Θ|dΘ|;

ettersom vi ofte har ds/dΘ < 0, må vi sette |ds| og |dΘ|. Vi får

σ(Θ) = \frac{s}{sin Θ} |\frac{ds}{dΘ} |  (4.25)

Sammenhengen mellom s og Θ kan finnes ved å gå tilbake til uttrykket vi hadde på side 43:

θ(r) = ∫_{r_{0}}^{r} \frac{dr′}{r′^{2}\sqrt{\frac{2mE}{l^{2}} − \frac{2mV}{l^{2}} − \frac{1}{r^{2}}}} + θ_{0}.

Vi definerer oss vinkelen Ψ som er hensiktsmessig i regningen:

Av figuren ser vi at

Θ + 2Ψ = π.

La r_{0} = ∞ tilsvare θ_{0} = π og r = r_{m} tilsvare θ = π − Ψ. Da har vi

π − Ψ = ∫_{∞}^{r_{m}} \frac{dr′}{r′^{2}\sqrt{\frac{2mE}{l^{2}} − \frac{2mV}{l^{2}} − \frac{1}{r^{2}}}} + π

Ψ = ∫_{r_{m}}^{∞} \frac{dr′}{r′^{2}\sqrt{\frac{2mE}{l^{2}} − \frac{2mV}{l^{2}} − \frac{1}{r^{2}}}} .

Hadde at l = s\sqrt{2mE}, så 2mE/l^{2} = 1/s^{2}. Videre er 2mV/l^{2} = V/Es^{2}, så

Ψ = ∫_{r_{m}}^{∞} \frac{dr′}{r′^{2}\sqrt{\frac{1}{s^{2}} − \frac{V}{Es^{2}} − \frac{1}{r^{2}}}} = ∫_{r_{m}}^{∞} \frac{sdr′}{r′^{2}\sqrt{1 − \frac{V}{E} − \frac{s^{2}}{r^{2}}}} .

Substitusjon: u ≡ 1/r, du = −dr/r^{2}, u_{m} = 1/r_{m}:

Ψ = ∫_{0}^{u_{m}} \frac{sdu}{\sqrt{1 − V/E − s^{2}u^{2}}}

Θ(z) = π − 2 ∫_{0}^{u_{m}} \frac{sdu}{\sqrt{1 − V/E − s^{2}u^{2}}} .  (4.26)

Vi kjenner her u_{m}. Den er gitt ved 1 − V/E − s^{2}u_{m}^{2} = 0 siden dr = r^{2}\sqrt{\frac{2mE}{l^{2}}} \sqrt{1 − V/E − s^{2}u^{2}}dθ, og i perihel er dθ/dr = 0.

Som regel må Θ(s) beregnes med numeriske metoder, men vi skal se på et viktig eksempel der banen kan beregnes analytisk. Da kan vi også nokså enkelt beregne s(Θ) og σ(Θ).

4.6.1 Repulsiv spredning av ladde partikler i Coulombfeltet

Vi skal se på et viktig eksempel på spredning i sentralt kraftfelt, nemlig den frastøtende kraften på en ladning i Coulombfeltet fra en annen partikkel. Dette er en litt forenklet utgave av det systemet Rutherford betraktet i sitt berømte eksperiment der han skjøt α-partikler (ladning 2e) mot en gullfolie der kjernene (med ladningen 79e) er mye tyngre enn de innkommende α-partiklene (Du har sikkert lært at systemer i atommålestokk må angripes kvantemekanisk, men vi skal se at i akkurat dette tilfellet gir vår klassiske behandling korrekt svar!).

Vi betrakter positivt ladde partikler med ladning henholdsvis Ze og Z′e:

Vi antar vider at M ≫ m, slik at massesenteret med god tilnærming er identisk med posisjonen til M. Vi antar at massesenteret ligger i ro i vårt referansesystem (lab.systemet). Coulombkraften og -potensialet er

V (r) = \frac{ZZ′e^{2}}{4πϵ_{0}r}
f(r) = \frac{ZZ′e^{2}}{4πϵ_{0}r^{2}}

Vi ser at potensialet er det samme som det vi behandlet i avsnittet om Keplerproblemet; V = −k/r med k = −ZZ′/4πϵ_{0}. Vi har at E = T + V = \frac{1}{2}mv^{2} + V = \frac{1}{2}mv_{0}^{2} > 0, så banen blir en hyperbel med eksentrisitet

ϵ = \sqrt{1 + \frac{2El^{2}}{mk^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{2El^{2}}{m} (\frac{4πϵ_{0}}{ZZ′e^{2}} )^{2}} > 1.

Da l^{2} = s^{2} · 2mE, blir 2El^{2}/m = 4E^{2}s^{2}. På side 44 skrev vi kjeglesnittet som

\frac{p}{r} = 1 + ϵ cos θ,

som er gyldig både for hyperbel, parabel og ellipse, da p = l^{2}/mk for alle disse banetypene. Her er k < 0, dvs. p < 0. Vi kan da skrive:

\frac{|p|}{r} = ϵ cos θ − 1,  (cos θ ≥ 1/ϵ)
|p| = \frac{l^{2}}{m|k|} = \frac{l^{2} · 4πϵ_{0}}{m · ZZ′e^{2}}

Banen,

r = \frac{|p|}{ϵ cos θ − 1}

har asymptotene

r → ∞ ⇒ θ → (±)Ψ ⇒ ϵ cos Ψ − 1 = 0 ⇒ cos Ψ = 1/ϵ.

Spredningsvinkelen (se figuren) har vi: Θ = π − 2Ψ, dermed

cos Ψ = cos (\frac{π}{2} − \frac{Θ}{2}) = sin \frac{Θ}{2} = \frac{1}{ϵ},

så

cot^{2} \frac{Θ}{2} = cos^{2} \frac{Θ}{2} sin^{2} \frac{Θ}{2} = \frac{1 − sin^{2} \frac{Θ}{2}}{sin^{2} \frac{Θ}{2}} = \frac{1 − 1/ϵ^{2}}{1/ϵ^{2}} = ϵ^{2} − 1 = (2Es\frac{4πϵ_{0}}{ZZ′e^{2}} )^{2}
⇓
cot \frac{Θ}{2} = 4πϵ_{0} \frac{2Es}{ZZ′e^{2}}
⇓
s = \frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{ZZ′e^{2}}{2E} cot \frac{Θ}{2} = s(Θ, E)
⇓
|\frac{ds}{dΘ}| = \frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{ZZ′e^{2}}{2E} \frac{1}{sin^{2} \frac{Θ}{2}}

Vi trekke ut kvadratroten slik vi har gjort over da 0 ≤ Θ ≤ π medfører at cot \frac{Θ}{2} ≥ 0. Ved ligning (4.25):

σ(Θ) = \frac{s}{sin Θ} |\frac{ds}{dΘ}| = (\frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{ZZ′e^{2}}{2E} )^{2} \frac{cot \frac{Θ}{2}}{2 sin Θ sin^{2} \frac{Θ}{2}} .

Vi bruker at cot \frac{Θ}{2} = cos \frac{Θ}{2}/ sin \frac{Θ}{2} og at sin Θ = 2 sin \frac{Θ}{2} cos \frac{Θ}{2} og får:

σ(Θ) = (\frac{1}{4πϵ_{0}} )^{2} (\frac{ZZ′e^{2}}{2E} )^{2} \frac{1}{sin^{4} \frac{Θ}{2}}  (4.27)

Overraskende nok gir ikkerelativistisk kvantemekanikk nøyaktig samme svar! (Men merk at en i kvantemekanikken snakker om en vinkelfordeling, mens vi her har tatt utgangspunkt i et entydig forhold mellom støtparameter og spredningsvinkel. En skarp støtparameter gir ikke mening kvantemekanisk.)

Det totale spredningstverrsnittet fås ved integrasjon over hele romvinkelrommet:

σ = ∫ σ(Ω)dΩ = 2π ∫_{0}^{π} σ(Θ) sin ΘdΘ.

Med et Coulombpotensial vil σ(Θ) ∼ sin^{−4}(Θ/2), og integralet over divergerer. Dette skyldes at Coulombkraften har lang rekkevidde, partikkelbanen blir avbøyd selv om støtparameteren s er aldri så stor, og vi får bidrag til σ for alle s! I realistiske systemer vil ladninger som regel være skjermet av andre ladninger slik at systemet ser nøytralt ut fra tilstrekkelig stor avstand. Da får Coulombvekselvirkningen endelig rekkevidde, og spredningstverrsnittet blir endelig. I kvantemekanikken vil en finne at spredningstverrsnittet er endelig dersom V (r) → 0 fortere enn 1/r^{2} når r → ∞. Potensialet omkring en skjermet ladning beskrives av det såkalte Yukawa-potensialet, som avtar eksponensielt.

En kommentar til beregningene over: Vi antok at M ≫ m og at massesenteret lå tilnærmet i ro sett fra lab.systemet. Rutherfords formel gjelder alltid i CM-systemet der Θ er vinkelen mellom inn- og utgående partikkel.

4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 51 I lab.systemet er vinkelen mellom inn- og utgående partikkel generelt forskjellig fra Θ.

5 Stive legemers kinematikk

Vi skal i dette kapitlet betrakte bevegelsene til såkalte stive legemer. Svært mange mekaniske systemer vil inneholde legemer som er (tilnærmet) stive, og det er også slike legemer Einstein omtaler i sin spesielle relativitetsteori (som vi kommer tilbake til).

Vi definerer et stivt legeme som et system av punktmasser underlagt holonome føringer som uttrykker at avstanden mellom to vilkårlig valgte partikler er konstant. Kinematikken omhandler bevegelsens natur og karakter.

5.1 Uavhengige koordinater

Et stivt legeme med N partikler har i utganspunktet 3N frihetsgrader. Antallet frihetsgrader blir imidlertid kraftig redusert av føringene r_{ij} = c_{ij} =konstant. Antallet føringer er 1 + 2 + ... + N = \frac{1}{2}N(N − 1), men ikke alle disse er uavhengige.

For å spesifisere posisjonen til et vilkårlig punkt i legemet, må vi kjenne posisjonen til 3 punkter i legemet (som ikke ligger langs én og samme linje). Alle punkter i legemet er derfor entydig bestemt dersom vi kjenner 3 spesifiserte punkter, pluss føringene r_{ij} = c_{ij}. De tre punktene er imidlertid bundet seg imellom av tre føringer, så antall frihetsgrader for legemet reduseres fra 9 til 6:

Figur 13: Legemets posisjon er bestemt dersom vi kjenner tre punkter og føringene de er underlagt

• 3 koordinater for å spesifisere punkt 1

• 2 koordinater for å spesifisere punkt 2 (som må ligge på en kuleflate med radius r_{12} = c_{12} sentrert i punkt 1).

• 1 koordinat for å spesifisere punkt 3 (som må ligge på en sirkel omkring aksen mellom 1 og 2 slik at r_{13} = c_{13} og r_{23} = c_{23} (se fig. 13).

La x, y, z være akser i et fast, “eksternt” koordinatsystem og x′, y′, z′ aksene som ligger fast i det stive legemet (se fig. 14).

Foruten 3 koordinater til å spesifisere origo i (x′, y′, z′)-systemet relativt til (x, y, z)-systemet, trengs retningene til x′, y′ og z′ i forhold til x, y, z. Det er hensiktsmessig å bruke “retningscosinusene” α_{1}, α_{2}, α_{3} for å spesifisere retningen til x′:

α_{1} = cos(i⃗′, i⃗) = i⃗′ · i⃗
α_{2} = cos(i⃗′, j⃗) = i⃗′ · j⃗
α_{3} = cos(i⃗′, k⃗) = i⃗′ · k⃗

og tilsvarende oppskrift med β for j⃗′ og γ for k⃗′. Ettersom

i⃗′ = (i⃗′ · i⃗)i⃗ + (i⃗′ · j⃗)j⃗ + (i⃗′ · k⃗)k⃗,

har vi altså:

\begin{aligned}i⃗′ & = & α_{1}i⃗ & + & α_{2}j⃗ & + & α_{3}k⃗ \\ j⃗′ & = & β_{1}i⃗ & + & β_{2}j⃗ & + & β_{3}k⃗ \\ k⃗′ & = & γ_{1}i⃗ & + & γ_{2}j⃗ & + & γ_{3}k⃗ \end{aligned}  (5.1)

Vi kan selvsagt invertere denne prosessen, dvs. uttrykke i⃗, j⃗ og k⃗ ved sine komponenter langs i⃗′, j⃗′ og k⃗′:

i⃗ = (i⃗ · i⃗′)i⃗′ + (i⃗ · j⃗′)j⃗′ + (i⃗ · k⃗′)k⃗′ = α_{1}i⃗′ + β_{1}j⃗′ + γ_{1}k⃗′

Figur 14: Legemets posisjon er gitt av tre punkter når vi kjenner føringene

osv.

Retningscosinusene gir sammenhengen mellom vilkårlige vektorer i de to systemene (x, y, z) og (x′, y′, z′). (NB: Anta nå felles origo i de to systemene!). For eksempel har en posisjonsvektor r⃗ x′-komponent gitt ved

x′ = r⃗ · i⃗′ = (xi⃗ + yj⃗ + zk⃗) · i⃗′ = α_{1}x + α_{2}y + α_{3}z,

og en vilkårlig vektor G⃗ har y′-komponent

G_{y′} = G⃗ · j⃗′ = (G_{x}i⃗ + G_{y}j⃗ + G_{z}k⃗) · j⃗′ = β_{1}G_{x} + β_{2}G_{y} + β_{3}G_{z}.

Vi har 9 retningscosinuser, men har sett at vi bare trenger 3 koordinater for å bestemme legemets orientering entydig. Reduksjonen kan vi gjøre ved hjelp av ortogonalitetsbetingelser:

i⃗ · i⃗ = (α_{1}i⃗′ + β_{1}j⃗′ + γ_{1}k⃗′)^{2} = α_{1}^{2} + β_{1}^{2} + γ_{1}^{2} = 1
i⃗ · j⃗ = (α_{1}i⃗′ + β_{1}j⃗′ + γ_{1}k⃗′) · (α_{2}i⃗′ + β_{2}j⃗′ + γ_{2}k⃗′) = α_{1}α_{2} + β_{1}β_{2} + γ_{1}γ_{2} = 0,

etc. På kompakt form:

α_{l}α_{m} + β_{l}β_{m} + γ_{l}γ_{m} = δ_{lm}  (5.2)

Vi kan altså ikke bruke retningskosene som generaliserte koordinater i f.eks. en Lagrangeformulering, ettersom de ikke er uavhengige (vi skal se at vi kan formulere et sett av tre uavhengige funksjoner av retningskosene, jf. Eulervinklene). De er likevel nyttige størrelser for å beskrive sammenhengen mellom kartesiske koordinatsystemer, [...].

5.2 Ortogonale transformasjoner

Vi innfører nå en mer hensiktsmessig notasjon ved å la x, y, z → x_{1}, x_{2}, x_{3}. Transformasjonene blir da:

\begin{aligned}x′_{1} & = & α_{1}x_{1} & + & α_{2}x_{2} & + & α_{3}x_{3} \\ x′_{2} & = & β_{1}x_{1} & + & β_{2}x_{2} & + & β_{3}x_{3} \\ x′_{1} & = & γ_{1}x_{1} & + & γ_{2}x_{2} & + & γ_{3}x_{3} \end{aligned}

Dette er en lineær transformasjon som generelt kan skrives:

\begin{aligned}x′_{1} & = & a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + & a_{13}x_{3} \\ x′_{2} & = & a_{21}x_{1} & + & a_{22}x_{2} & + & a_{23}x_{3} \\ x′_{3} & = & a_{31}x_{1} & + & a_{32}x_{2} & + & a_{33}x_{3}, \end{aligned}

5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 54

Figur 15: Ortogonal Transformasjon

der a_{ij} er konstante koeffisienter (dvs. uavhengige av x,x′). Med summekonvensjon:

x′_{i} = a_{ij}x_{j}, i ∈ {1, 2, 3}. (5.3)

Lengden av r⃗ må være upåvirket av transformasjonen (som svarer til en rotasjon), dvs

x′_{i}x′_{i} = x_{i}x_{i} ⇒ a_{ij}a_{ik}x_{j}x_{k} = x_{i}x_{i}

som gir

a_{ij}a_{ik} = δ_{jk}  (5.4)

Om vi setter inn α, β, γ i (5.4), ser vi umiddelbart at dette er akkurat de 6 betingelsene fra ligning (5.2). Vi definerer transformasjonsmatrisen,

𝔸 = [ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ] ,

med matriseelementer a_{ij}.

5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 55 Eksempel: To dimensjoner

Transformasjonsmatrise:

𝔸 = [ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ] .

Ortogonalitetsbetingelser, 3 stk.:

a_{ij}a_{ik} = δ_{jk}

Med 4 matriseelementer og 3 ortogonalitetsbetingelser, har vi 1 uavhengig størrelse som vi betrakter som rotasjonsvinkelen φ. For φ har vi (se figur):

x′_{1} = x_{1} cos φ + x_{2} sin φ
x′_{2} = −x_{1} sin φ + x_{2} cos φ

dvs.

a_{11} = cos φ, a_{12} = sin φ
a_{21} = − sin φ, a_{22} = cos φ

gir:

𝔸 = [ \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} ]

Vi sjekker for ortogonalitet:

a_{11}a_{11} + a_{21}a_{21} = 1 ⟹  cos^{2} φ + sin^{2} φ = 1
a_{12}a_{12} + a_{22}a_{22} = 1 ⟹  sin^{2} φ + cos^{2} φ = 1
a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} = 1 ⟹ cos φ sin φ − sin φ cos φ = 0

OK!

Transformasjonsligningen r′ = 𝔸r⃗ kan betraktes på to måter:

1. Passiv betraktningsmåte: 𝔸 er en operator som roterer koordinatsystemet (mot klokka i eksempelet på forrige side), mens vektoren r⃗ er i ro. Vi finner dermed komponentene av r⃗ i det roterte koordinatsystemet.

2. Aktiv betraktningsmåte: 𝔸 oppfattes som en operator som roterer vektoren r⃗ mens koordinatsystemet ligger fast. Vi finner dermed en ny vektor r′ i det uendrede koordinatsystemet (vi må rotere vektoren med klokka for å få samme ligninger r′ = 𝔸r⃗ som ovenfor - fig. 16).

Figur 16:

5.3 Formelle egenskaper til transformasjonsmatrisen

Vi ser på to suksessive trasformasjoner:

r⃗ \underbrace{⟶ r′}_{𝔹} \underbrace{⟶ r′′}_{𝔸}

Med summekonvensjon skriver vi dette som

x′_{k} = b_{kj}x_{j}
x′′_{i} = a_{ik}x′_{k}
⇓
x′′_{i} = a_{ik}b_{kj}x_{j} ≡ c_{ij}x_{j};  c_{ij} = a_{ik}b_{kj}

Vi ser herav at to ortogonale transformasjoner 𝔸 og 𝔹 etter hverandre er ekvivalent med én transformasjon ℂ slik at ℂ = 𝔸𝔹. Det kan vises at også ℂ er en ortogonal transformasjon. Generelt er

𝔸𝔹 ≠ 𝔹𝔸,

så transformasjonen er ikke-kommutativ. Videre er

(𝔸𝔹)ℂ = 𝔸(𝔹ℂ),

så transformasjonen er assosiativ.

Så langt har vi jobbet med kvadratiske matriser. Vi innfører nå søylematriser:

x = [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ] , x′ = [ \begin{matrix}x′_{1} \\ x′_{2} \\ x′_{3} \end{matrix} ] .

Matrisen 𝔸x blir dermed en søylematrise med elementer (𝔸x)_{i} = a_{ij}x_{j} = x′_{i} = (x′)_{i}, dvs:

x′ = 𝔸x.

Legg merke til at vi her ikke har gjort annet enn å skrive vektoren r⃗ som en søylematrise x der antall elementer tilsvarer dimensjonaliteten til rommet vi betrakter.

Den inverse transformasjonen skriver vi som 𝔸^{−1}, med matriseelementer a_{ij}^{−1} (NB: a_{ij}^{−1} er (i, j)-elementet av 𝔸^{−1}, ikke “1/a_{ij}”!). Transformasjonen 𝔸^{−1} skal bringe x tilbake til x:

x_{i} = a_{ij}^{−1}x′_{j}
⇒ x′_{k} = a_{ki}x_{i} = a_{ki}a_{ij}^{−1}x′_{j}
⇒ \underbrace{a_{ki}a_{ij}^{−1}}_{(𝔸𝔸^{−1})_{kj}} = \underbrace{δ_{kj}}_{𝕀_{kj}}

altså:

𝔸𝔸^{−1} = 𝕀,

der 𝕀 er enhetsmatrisen, her i 3 × 3-utgaven:

𝕀 = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ]

Av x_{i} = a_{ij}^{−1}x′_{j} = a_{ij}^{−1}a_{jk}x_{k} fås a_{ij}^{−1}a_{jk} = δ_{ik}, dvs. 𝔸^{−1}𝔸 = 𝕀, dvs

𝔸 og 𝔸^{−1} kommuterer!

(5.5)

Vi ser nå på dobbeltsummen a_{kl}a_{ki}a_{ij}^{−1}. Ved å bruke ortogonalitetsbetingelsene a_{kl}a_{ki} = δ_{il} blir dette lik a_{lj}^{−1}. Alternativt kan vi bruke at a_{ki}a_{ij}^{−1} = δ_{kj} og dermed blir dobbeltsummen lik a_{jl}. Altså: a_{lj}^{−1} = a_{jl}. Men a_{jl} = ã_{lj}, altså (l, j)-elementet av den transponerte matrisen 𝔸̃. Dette betyr at

𝔸^{−1} = 𝔸̃ og 𝔸̃𝔸 = 𝕀 for ortogonale matriser.

(5.6)

Med summekonvensjon skriver vi 𝔸̃𝔸 = 𝕀 ⇒ ã_{ij}a_{jk} = δ_{ik} og 𝔸𝔸̃ = 𝕀 ⇒ a_{ij}ã_{jk} = δ_{ik}, så:

a_{ji}a_{jk} = δ_{ik}  sum over første indeks
a_{ij}a_{kj} = δ_{ik}  sum over andre indeks

(5.7)

Vi betrakter endelig determinanten |𝔸| til den (forutsatt kvadratiske) matrisen 𝔸. Fra matematikken i 1. klasse husker vi at

|𝔸𝔹| = |𝔸| · |𝔹|.

Ettersom 𝔸̃𝔸 = 𝕀, blir |𝔸̃| · |𝔸| = 1, og da determinanten ikke avhenger av ombytte rader ↔ kolonner, får vi |𝔸̃| = |𝔸|, og dermed

|𝔸|^{2} = 1 for alle ortogonale matriser.  (5.8)

Dette medfører at |𝔸| = e^{iθ}, med 0 ≤ θ ≤ 2π. |𝔸| er reell, så |𝔸| = ±1.

5.4 Eulervinklene

Vi fant i avsnitt 5.2 at de 9 a_{ij} ikke er brukbare som generaliserte koordinater ettersom et rent roterende legeme med ett fast punkt kun har 3 frihetsgrader, og de 9 koordinatene dermed ikke kan være uavhengige. Med 6 ortogonalitetsbetingelser reduserte vi antallet uavhengige størrelser til 3.

I tillegg har vi alltid én ekstra betingelse: transformasjonen må være fysisk mulig. Matematisk vil det si at den må kunne fremgå kontinuerlig fra enhetsmatrisen (som svarer til null rotasjon), noe som medfører at vi må ha |𝔸| = |𝕀| = +1. Vi kan ikke ha |𝔸| = −1 dersom transformasjonen skal være fysisk realiserbar.

For eksempel innebærer matrisen

𝕊 = [ \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ]

en refleksjon av koordinataksene: x′ = 𝕊x ⇒ x′ = −x, y′ = −y, z′ = −z. Denne transformasjonen må utelates, da |𝕊| = −1, og det er jo rimelig, ettersom 𝕊 gjør et “høyrehåndssystem” om til et “venstrehåndssystem” (se figur 17).

Figur 17:

Vi må finne 3 uavhengige parametre for å spesifisere orienteringen til det stive legemet. Disse må være slik at den tilhørende ortogonale transformasjonen 𝔸 har |𝔸| = +1. Det mest vanlige valget er de såkalte Eulervinklene, som er tre suksessive rotasjonsvinkler (se fig 18):

Figur 18: Eulervinklene

1. xyz → ξηζ ved rotasjon ϕ i positiv dreieretning omkring z-aksen. x′′ = 𝔻x, x′′ = [ \begin{matrix}ξ \\ η \\ ζ \end{matrix} ], x = [ \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ].

2. ξηζ → ξ′η′ζ′ ved rotasjon θ i positiv dreieretning omkring ξ-aksen. x′′′ = ℂx′′, x′′′ = [ \begin{matrix}ξ′ \\ η′ \\ ζ′ \end{matrix} ].

3. ξ′η′ζ′ → x′y′z′ ved rotasjon ψ i positiv dreieretning om ζ′-aksen. x′ = 𝔹x′′′, x′ = [ \begin{matrix}x′ \\ y′ \\ z′ \end{matrix} ].

𝔻 beskriver rotasjon omkring z-aksen:

𝔻 = [ \begin{matrix}cos ϕ & sin ϕ & 0 \\ −sin ϕ & cos ϕ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] ,  (5.9)

ℂ beskriver rotasjon omkring ξ-aksen (knutelinjen):

ℂ = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos θ & sin θ \\ 0 & −sin θ & cos θ \end{matrix} ] ,  (5.10)

𝔹 beskriver rotasjon omkring ζ′-aksen:

𝔹 = [ \begin{matrix}cos ψ & sin ψ & 0 \\ −sin ψ & cos ψ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] ,  (5.11)

og vi får produktet 𝔸 = 𝔹ℂ𝔻:

𝔸 = [ \begin{matrix}cos ψ cos ϕ − cos θ sin ϕ sin ψ & cos ψ sin ϕ + cos θ cos ϕ sin ψ & sin ψ sin θ \\ −sin ψ cos ϕ − cos θ sin ϕ cos θ & −sin ψ sin ϕ − cos θ cos ϕ cos ψ & cos ψ sin θ \\ sin θ sin ϕ & −sin θ cos ϕ & cos θ \end{matrix} ]  (5.12)

Den inverse transformasjonen x = 𝔸^{−1}x′ er gitt ved 𝔸^{−1} = 𝔸̃ som fås ved å la rader og kolonner bytte plass i 𝔸 jf. (5.6).

5.5 Infinitesimale transformasjoner

To påfølgende rotasjoner kan beskrives med et produkt av to matriser, 𝔸𝔹. Vi vet at matrisemultiplikasjon generelt ikke er kommutativ, dvs. 𝔸𝔹 ≠ 𝔹𝔸. Dette ser vi best ved et eksempel som vist i figur 19.

Figur 19: Endelige rotasjoner kommuterer generelt ikke.

Så langt har vi sett på endelige transformasjoner. Vi skal se at i motsetning til de fleste endelige transformasjoner, er infinitesimale transformasjoner kommutative. Betrakt, på tensorform, den infinitesimale transformasjonen

x′_{i} = x_{i} + e_{ij}x_{j} = (δ_{ij} + e_{ij})x_{j}, e_{ij} ≪ 1.

På matriseform:

x′ = (𝕀 + 𝔼)x.

Vi ser så på to suksessive infinitesimale transformasjoner:

(𝕀 + 𝔼_{1})(𝕀 + 𝔼_{2}) = 𝕀 + 𝔼_{1}𝕀 + 𝕀𝔼_{2} + ⋯
= 𝕀 + 𝔼_{1} + 𝔼_{2},

ettersom ledd av 2. orden i infinitesimale størrelser alltid kan neglisjeres (at 𝔼 er en “infinitesimal” transformasjon betyr her nettopp at e_{ij} er så små at ledd O(e_{ij}^{2}) kan neglisjeres uten korreksjoner). Ettersom 𝕀 + 𝔼_{1} + 𝔼_{2} = 𝕀 + 𝔼_{2} + 𝔼_{1}, har vi at

(𝕀 + 𝔼_{1})(𝕀 + 𝔼_{2}) = (𝕀 + 𝔼_{2})(𝕀 + 𝔼_{1}),  (5.13)

dvs.

Infinitesimale transformasjoner er kommutative (5.14)

Vi ser umiddelbart at den inverse transformasjonen må være

𝔸^{−1} = 𝕀 − 𝔼,

fordi 𝔸𝔸^{−1} = (𝕀 + 𝔼)(𝕀 − 𝔼) = 𝕀, der vi igjen neglisjerer ledd O(e^{2}). Vi vet fra før at transformasjonsmatrisen skal være ortogonal, dvs.

𝔸̃ ≡ 𝕀 + 𝔼̃ = 𝔸^{−1} ⇒ 𝔼̃ = −𝔼
⇓

ẽ_{ij} ≡ e_{ji} = −e_{ij},  (5.15)

dvs. at 𝔼 er antisymmetrisk. En generell infinitesimal antisymmetrisk matrise har dermed kun tre uavhengige elementer og kan skrives på formen

𝔼 = [ \begin{matrix}0 & dΩ_{3} & −dΩ_{2} \\ −dΩ_{3} & 0 & dΩ_{1} \\ dΩ_{2} & −dΩ_{1} & 0 \end{matrix} ]  (5.16)

og dermed:

x′ − x ≡ dx = 𝔼x

= [ \begin{matrix}0 & dΩ_{3} & −dΩ_{2} \\ −dΩ_{3} & 0 & dΩ_{1} \\ dΩ_{2} & −dΩ_{1} & 0 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ] .

På komponentform (med summekonvensjon):

dx_{i} = ϵ_{ijk}x_{j}dΩ_{k}

eventuelt

dr⃗ = r⃗ × d⃗Ω.  (5.17)

Merk at størrelsen d⃗Ω er en differensiell vektor (ikke differensialet av en endelig vektor). Vi sammenligner med bevegelsesligningene for rotasjon vi fant i kapittel 2.6.2, og ser at vi kan tolke d⃗Ω fysisk som en liten endring i rotasjonsvinkel ved å skrive

d⃗Ω = n⃗dΦ,

der dΦ er en liten vinkel (se fig. 20).

Figur 20:

5.6 Tidsendring av en vektor

La oss nå bruke resultatet fra forrige avsnitt til å se på tidsendring av en vektor. Betrakt et legeme som roterer med vinkelhastighet ω⃗ = \frac{dΩ}{dt} sett fra et system utenfor legemet. På grunn av rotasjon av legemets koordinatsystem i det eksterne systemet, vil endringen av en vilkårlig vektor G⃗ (= r⃗, v⃗, L⃗ etc.) oppleves forskjellig i dette eksterne systemet og i et system som ligger fast i legemet: (dG⃗_{body}) ≠ (dG⃗_{space})

Betrakt en vektor G⃗ fiksert i legemet, dvs. (dG⃗)_{body} = 0. Da blir

(dG⃗)_{space} = (dG⃗_{rot.}) = dΩ⃗ × G⃗.

Den naturlige generaliseringen er

(dG⃗)_{space} = (dG⃗)_{body} + dΩ⃗ × G⃗.

Tidsendringen er da relatert ved

(\frac{dG⃗}{dt})_{space} = (\frac{dG⃗}{dt})_{body} + ω⃗ × G⃗,  (5.18)

der ω⃗ = \frac{dΩ⃗}{dt} er instantan vinkelhastighet. Da G⃗ er en generell vektor, kan vi skrive operatorrelasjonen:

(\frac{d}{dt})_{space} = (\frac{d}{dt})_{body} + ω⃗×

(5.19)

For eksempel: G⃗ = r⃗ ⟹ v⃗_{space} = v⃗_{body} + ω⃗ × r⃗.

Mer formell utledning av (\frac{d}{dt})_{space} = (\frac{d}{dt})_{body} + ω⃗× :

Betrakt komponent G_{i} av G⃗ langs x_{i}-aksen i rommet:

G_{i} = a_{ij}^{−1}G′_{j} = ã_{ij}G′_{j} = a_{ji}G′_{j}.

I løpet av dt endrer både G′_{j} og a_{ji} seg. Differensiering gir:

dG_{i} = a_{ji}dG′_{j} + da_{ji}G′_{j}

Anta at ved tidspunkt t = 0 er (x, y, z) sammenfallende med (x′, y′, z′). Det medfører at vektorkomponentene av G⃗ er like, G_{j} = G′_{j}, mens differensialene er ulike: a_{ji}dG′_{j} = dG′_{i}. Transformasjons matrisen 𝔸 er lik 𝕀 ved t = 0, men endres til 𝕀 + 𝔼 i løpet av dt. Dermed:

da_{ji} = (𝔼̃)_{ij} = −(𝔼)_{ij},

ettersom 𝔼 er antisymmetrisk, som vi viste tidligere. Vi uttrykker nå e_{ij} ved hjelp av Levi-Civita-tensoren:

−e_{ij} = −ϵ_{ijk}dΩ_{k} = ϵ_{ikj}dΩ_{k}.

Vi kan lett sjekke at dette stemmer ved å sammenligne med matrisen i (5.16). Uttrykket for dG_{i} kan vi nå skrive på formen:

dG_{i} = dG′_{i} + ϵ_{ikj}dΩ_{k}G_{j}
= dG′_{i} + (dΩ⃗ × G⃗)_{i} ,

som gir

dG⃗ = dG⃗′ + dΩ⃗ × G⃗,

som er det samme som vi fant tidligere.

5.6.1 Komponentene ω⃗ langs legemets akser

Vi ønsker videre å finne komponentene av ω⃗ langs legemets akser x′, y′, og z′. Rotasjonen som svarer til ω⃗ kan oppfattes som 3 suksessive rotasjoner med vinkelhastigheter henholdsvis ω_{ϕ} = ϕ̇, ω_{θ} = θ̇ og ω_{ψ} = ψ̇. Vi bruker nå teorien fra tidligere for å finne komponentene:

• ω⃗_{ϕ} svarer til rotasjon om z-aksen, dvs. ω⃗_{ϕ} = [ 0 ; 0 ; ϕ̇ ], og:

ω′_{ϕ} = 𝔸ω⃗_{ϕ}.

Vi fant 𝔸 i (5.12), og ved å sette inn i denne får vi

(ω_{ϕ})_{x′} = ϕ̇ sin θ sin ψ,  (ω_{ϕ})_{y′} = ϕ̇ sin θ cos ψ,  (ω_{ϕ})_{z′} = ϕ̇ cos θ.

• ω⃗_{θ} tilsvarer rotasjon om ξ-aksen, dvs. ω⃗_{θ} = [ θ̇ ; 0 ; 0 ], og transformasjonen blir

ω′_{θ} = 𝔹ω⃗_{θ}.

Med 𝔹 fra avsnitt om Eulervinklene, får vi:

(ω_{θ})_{x′} = θ̇ cos ψ,  (ω_{θ})_{y′} = −θ̇ sin ψ,  (ω_{θ})_{z′} = 0

• Da ω⃗_{ψ} tilsvarer rotasjon om ζ′, og dermed omkring z′, er ingen transformasjon nødvendig:

ω′_{ψ} = ω⃗_{ψ} [ 0 ; 0 ; ψ̇ ] .

Legges alle de tre sammen, får vi:

ω_{x′} = ϕ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ
ω_{y′} = ϕ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ
ω_{z′} = ϕ̇ cos θ + ψ̇

(5.20)

5.7 Corioliskraften

Vi går tilbake til (\frac{d}{dt})_{space} = (\frac{d}{dt})_{body} +ω⃗×. La “space”-systemet være et (tilnærmet) inertialsystem fiksert f.eks. i forhold til våre nærmeste stjerner, og la dette systemet kjennetegnes med indeks s. “Body”-systemet har akser som roterer med jorda, som vi antar er et stivt legeme, og kjennetegnes ved indeks r (for “relativ”). Se fig (21). Vi antar at vi kan neglisjere tidsavhengigheten til ω⃗.

Figur 21: Jordens rotasjon i to forskjellige koordinatsystemer. ω⃗ er antatt konstant.

Vi anvender (\frac{d}{dt})_{space} = (\frac{d}{dt})_{body} + ω⃗× på r⃗:

v⃗_{s} = v⃗_{r} + ω⃗ × r⃗,

og setter deretter inn v⃗_{s}:

(\frac{d}{dt}v⃗_{s})_{s} = (\frac{d}{dt}v⃗_{s})_{r} + ω⃗ × v⃗_{s}

= [\frac{d}{dt}v⃗_{r} + \frac{d}{dt}(ω⃗ × r⃗)]_{r} + ω⃗ × v⃗_{r} + ω⃗ × (ω⃗ × r⃗).

Ettersom [\frac{d}{dt}(ω⃗ × r⃗)]_{r} = ω⃗ × v⃗_{r}, får vi:

a⃗_{s} = a⃗_{r} + 2ω⃗ × v⃗_{r} + ω⃗ × (ω⃗ × r⃗)  (5.21)

Vi har antatt at “space”-systemet er et inertialsystem, som medfører at Newtons lover gjelder. F⃗ = ma⃗_{s} kan nå skrives slik:

F⃗_{eff} = ma⃗_{r};  F⃗_{eff} ≡ F⃗ + \underbrace{2mv⃗_{r} × ω⃗}_{Corioliskraften} − \underbrace{mω⃗ × (ω⃗ × r⃗)}_{Sentrifugalkraften}

(5.22)

Figur (22) viser at vi Corioliskraften gir et avvik mot høyre på nordlige halvkule og mot venstre på sørlige halvkule. Jordens vinkelhastighet er ω = 7, 29 · 10^{−5}s^{−1}. Som i den formelle utledningen av operatorrelasjonen for tidsendring av vektor, legger vi også her rommets akser sammenfallende med jordens i et gitt tidspunkt, og vi finner at rω^{2} = 3, 38cm/s^{2} er maksimale sentripetalakselerasjon. Figur (23) viser hvordan F⃗_{Cor.} påvirker vindsystemer:

5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 64 Figur 22: Figur 23:

6 Bevegelsesligninger for stive legemer

I Kapittel 5 lærte vi at vi trenger 6 uavhengige koordinater for å beskrive et stivt legeme, der et hensiktsmessig valg kunne være tre romlige koordinater og tre vinkler (ofte Eulervinklene). Vi så videre på ortogonale transformasjoner. Alt dette kan kategoriseres som verktøy for å beskrive legemers bevegelse. I dette kapittelet skal vi konsentrere oss om dynamikk, bevegelsesligninger og anvendelser av verktøyene.

6.1 Dreieimpuls og kinetisk energi

Vi betrakter rotasjon av et stivt legeme. Vinkelhastigheten ω⃗ om et vilkårlig punkt er den samme for alle punktmasser i legemet: ω⃗_{1} = ω⃗_{2} (opplagt? Formlet bevis kan finnes i Goldstein s. 190). Vi kan derfor si at ω⃗ gjelder for legemet som helhet. Origo kan velges hvor som helst, men et naturlig valg vil være tyngdepunktet (noteres ved indeks CM - “centre of mass”). Vi antar videre rotasjon om et fast punkt, f.eks. CM.

Total dreieimpuls om det faste punktet:

L⃗ = ∑_{i} m_{i}(r⃗_{i} × v⃗_{i}).

Ved ren rotasjonsbevegelse har vi v⃗_{i} = ω⃗ × r⃗_{i}, så

L⃗ = ∑_{i} m_{i}r⃗_{i} × (ω⃗ × r⃗_{i}) = ∑_{i} m_{i} [ω⃗r_{i}^{2} − r⃗_{i}(r⃗_{i} · ω⃗)]

Se nå på en komponent av L⃗, for eksempel L_{x}:

L_{x} = ∑_{i} m_{i} [ω_{x}r_{i}^{2} − x_{i}(x_{i}ω_{x} + y_{i}ω_{y} + z_{i}ω_{z})]

= ∑_{i} m_{i} [ω_{x}(r_{i}^{2} − x_{i}^{2}) − ω_{y}x_{i}y_{i} − ω_{z}x_{i}z_{i}] .

Vi får naturligvis tilsvarende uttrykk for L_{y} og L_{z}, og ser at komponentene av L⃗ er lineært relatert til komponentene av ω⃗. Dette kan vi skrive på formen (med summekonvensjon):

L_{j} = I_{jk}ω_{k},  (6.1)

der I_{jk} er treghetstensoren eller -matrisen. Av uttrykket for L_{x} over kan vi slutte at:

I_{xx} = ∑_{i} m_{i}(r_{i}^{2} − x_{i}^{2})
I_{xy} = − ∑_{i} m_{i}x_{i}y_{i}

etc. Med kontinuerlig fordelt masse får vi overganger m_{i} → ρ(r⃗) og ∑_{i} → ∫_{V} dV, så:

I_{xx} = ∫_{V} ρ(r⃗)(r^{2} − x^{2})dV
I_{xy} = − ∫_{V} ρ(r⃗)xydV.

Om vi lar x, y, z → x_{1}, x_{2}, x_{3}, kan vi skrive generelt:

I_{jk} = ∫_{V} ρ(r⃗) (r^{2}δ_{jk} − x_{j}x_{k}) dV  (6.2)

En vanlig notasjon for tensorer gir ligning (6.1) på formen:

L⃗ = I^{↔} ·ω⃗  (6.3)

Kinetisk energi for bevegelsen omkring det faste punktet er

T = \frac{1}{2} ∑_{i} m_{i}v_{i}^{2} = \frac{1}{2} ∑_{i} m_{i}v⃗_{i} · v⃗_{i} = \frac{1}{2} ∑_{i} m_{i}v⃗_{i} · (ω⃗ × r⃗_{i})

= \frac{1}{2} ∑_{i} m_{i}ω⃗ · (r⃗_{i} × v⃗_{i}) = \frac{1}{2}ω⃗ · L⃗,

der vi har brukt at v⃗_{i}(= v⃗_{i,space}) = ω⃗ × r⃗_{i}, da v⃗_{i,body} = 0. Med L⃗ = I^{↔} ·ω⃗:

T = \frac{1}{2}ω⃗· I^{↔} ·ω⃗  (6.4)

Kan også skrives med summekonvensjon som

T = \frac{1}{2}ω_{j}I_{jk}ω_{k} = \frac{1}{2}I_{jk}ω_{j}ω_{k}.

Med n⃗ som rotasjonsakse (dvs. ω⃗ = ωn⃗), får vi

T = \frac{1}{2}n_{j}ωI_{jk}n_{k}ω = \frac{1}{2}(n_{j}I_{jk}n_{k})ω^{2} = \frac{1}{2}Iω^{2},

der vi har definert treghetsmomentet omkring rotasjonsaksen:

I ≡ n_{j}I_{jk}n_{k} = n⃗· I^{↔} ·n⃗

Av (6.2) ser vi at I_{jk} = I_{kj}, dvs. I^{↔} er en symmetrisk matrise. Videre er alle I_{jk} reelle, og dermed er I^{↔} hermitesk (selvadjungert). For hermitesk operator gjelder at:

𝔸 = 𝔸^{†} ≡ (𝔸̃)^{∗}.

Da kan vi alltid diagonalisere I^{↔}, dvs. finne et koordinatsystem der I^{↔} er diagonal:

I^{↔}= [ \begin{matrix}I_{1} & 0 & 0 \\ 0 & I_{2} & 0 \\ 0 & 0 & I_{3} \end{matrix} ] ,

der elementene I_{1}, I_{2} og I_{3} kalles hovedtreghetsmomentene. Hovedaksene kaller vi x_{1}, x_{2}, x_{3}, med dreieimpulskomponenter:

L_{1} = I_{1}ω_{1}, L_{2} = I_{2}ω_{2}, L_{3} = I_{3}ω_{3},

og kinetisk energi

T = \frac{1}{2} ∑_{j} I_{j}ω_{j}^{2}

For eksempel har en symmetrisk snurrebass I_{1} = I_{2} ≠ I_{3}, og en sfærisk snurrebass I_{1} = I_{2} = I_{3} = I ⇒ L⃗ = Iω⃗.

6.2 Eulerligningene

Vi skal finne bevegelsesligninger for rotasjon av et stivt legeme omkring et fast punkt. Fra kapittel 1:

(\frac{dL⃗}{dt})_{space} = N⃗,

som gjelder i inertialsystemer (dvs. i det faste systemet som ikke roterer). Fra kapittel 5 har vi (ligning 5.19):

(\frac{d}{dt})_{space} = (\frac{d}{dt})_{body} + ω⃗×

⟹ (\frac{dL⃗}{dt})_{space} = (\frac{dL⃗}{dt})_{body} + ω⃗ × L⃗,

altså sett fra det roterende koordinatsystemet (dropper heretter indeksene “space” og “body”):

\frac{dL⃗}{dt} + ω⃗ × L⃗ = N⃗,  (6.5)

som er Eulerligningene på vektorform når ett punkt er fiksert.

Eksempel: Eulerligningene for snurrende legeme

Anta at legemets akser ligger langs hovedaksene. Da:

L_{1} = I_{1}ω_{1},  L_{2} = I_{2}ω_{2},  L_{3} = I_{3}ω_{3}.

i-komponenten av Eulerligningen er

L̇_{i} + ϵ_{ijk}ω_{j}L_{k} = N_{i},

så på komponentfor får vi:

I_{1}ω̇_{1} − ω_{2}ω_{3}(I_{2} − I_{3}) = N_{1}
I_{2}ω̇_{2} − ω_{3}ω_{1}(I_{3} − I_{1}) = N_{2}
I_{3}ω̇_{3} − ω_{1}ω_{2}(I_{1} − I_{2}) = N_{3}

6.3 Fri rotasjon av stivt legeme; presesjon

Vi skal betrakte et stivt legeme som roterer fritt og beskrive dets presesjon om rotasjonsaksen. Anta at det ikke virker noe ytre dreiemoment, N⃗ = 0. Eulers ligninger gir da at

I_{1}ω̇_{1} = ω_{2}ω_{3}(I_{2} − I_{3})
I_{2}ω̇_{2} = ω_{3}ω_{1}(I_{3} − I_{1})
I_{3}ω̇_{3} = ω_{1}ω_{2}(I_{1} − I_{2})

Vi må ha to bevegelseskonstanter: kinetisk energi og total dreieimpuls (jf. bevaringslovene vi fant i avsnitt 2.6). Anta symmetrisk legeme; I_{1} = I_{2}. Eulerligningene:

I_{1}ω̇_{1} = ω_{2}ω_{3}(I_{1} − I_{3})
I_{1}ω̇_{2} = −ω_{3}ω_{1}(I_{1} − I_{3})
I_{3}ω̇_{3} = 0.

Av siste ligning ser vi at ω_{3} er konstant, bestemt ved initialbetingelser. De to første vinkelfrekvensene,

ω̇_{1} = −Ωω_{2},  ω̇_{2} = Ωω_{1},

der Ω er en vinkelfrekvens,

Ω = \frac{I_{3} − I_{1}}{I_{1}} ω_{3}.

Vi eliminerer ω_{2} ved å kombinere de to vinkelfrekvensligningene:

ω̈_{i} + Ω^{2}ω_{1} = 0
⟹  ω_{1}(t) = A cos Ωt,  ω_{2}(t) = A sin Ωt.

Vi ser av dette at vektoren ω_{1}i⃗ + ω_{2}j⃗ har konstant størrelse og roterer (presesserer) omkring legemets z-akse med vinkelfrekvens Ω, så ettersom ω_{3} er en konstant, er ω⃗ av konstant lengde og presesserer om rotasjonsaksen. Presesjonen er relativt til legemets akser, som selv roterer med en høyere vinkelfrekvens ω⃗.

Kinetisk energi

T = \frac{1}{2}I_{1}(ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}) + \frac{1}{2}I_{3}ω_{3}^{2} = \frac{1}{2}I_{1}A^{2} + \frac{1}{2}I_{3}ω_{3}^{2} = konst.
L^{2} = I_{1}^{2}A^{2} + I_{3}^{2}ω_{3}^{2} = konst.

A og ω_{3} kan altså uttrykkes ved T og L.

Vi ser at dersom I_{1} ≃ I_{3}, blir Ω ≪ ω

Eksempel: Jordas rotasjon

Jordkloden er litt flattrykt ved polene, så om vi lar z-aksen være polaraksen, skriver vi I_{3} > I_{1} = I_{2}.

Ω = \frac{I_{3} − I_{1}}{I_{1}} ω_{3} ≃ \frac{1}{300}ω_{3}.

Vi vet av egen erfaring at

\frac{2π}{ω_{3}} = 1 døgn.

Dette gir en presesjonsperiode på \frac{2π}{Ω} ≃ \frac{2π}{ω_{3}} · 300 = 300 døgn. Den målte perioden er 440 døgn (kalles “Chandler wobble”). Avviket antas å skyldes at jorda ikke er et perfekt stivt legeme.

Eksempel: Gyroskopeffekten

Betrakt et hjul orientert vertikalt, i yz-planet. Enden på akslingen hviler fritt på et støttepunkt. Når hjulet roterer hurtig, med vinkelfrekvens ω_{s}, vil det presessere i horisontalplanet med vinkelfrekvens Ω. Vi har

ω⃗_{s} = ω_{s}x̂;  I^{↔}= ( \begin{matrix}I_{x} & 0 & 0 \\ 0 & I_{y} & 0 \\ 0 & 0 & I_{z} \end{matrix} ) ,  I_{x} = ∫ dm(r^{2} − x^{2}) = mR^{2}

det vil si

L⃗_{s} = I^{↔} ω⃗_{s} = I_{x}ω_{s}x̂ = mR^{2}ω_{s}x̂.

Vi har for enkelhets skyld antatt masseløse eiker i hjulet. Lar nå koordinatsystemet xyz ligge fast i forhold til hjulets aksling (som også har masse ≪ m). Tyngdekraften fører til et moment omkring støttepunktet:

N⃗ = r⃗ × F⃗ = d · x̂ × mg(−ẑ) = mgd · ŷ.

Kraftmomentet fører til at L⃗_{s} endrer seg (i lab.systemet):

dL⃗_{s} = N⃗dt.

Vi ser nå nærmere på dL⃗_{s}, som er parallel med N⃗, dvs. parallell med ŷ og dermed normal på L⃗_{s} (med andre ord: L⃗_{s} roterer i horisontalplanet).

|ΔL⃗_{s}| = |L⃗_{s}|Δθ
⇒ |\frac{dL⃗_{s}}{dt} | = |L⃗_{s}|\frac{dθ}{dt} = mR^{2}ω_{s}Ω

Vi kan nå bestemme presesjonshastigheten Ω:

|\frac{dL⃗_{s}}{dt} | = |N⃗| ⇒ mR^{2}ω_{s}Ω = mgd ⇒ Ω = \frac{gd}{R^{2}ω_{s}} ,

uavhengig av m. Ω øker når ω_{s} avtar. Vi kunne gjøre et enkelt eksperiment ved å lage oss et lekegyroskop. Anta en ring med radius R = 2, 2cm, lengde d = 3, 2cm. For å oppnå en presessjon Ω = 2s^{−1} må vi som følge av beregningene over ha ω_{s} ≃ 700s^{−1}.

Snorens hastighet, v_{snor} = Rω_{s} = 15m/s, som, viser det seg, gir rimelig samsvar mellom teori og eksperiment. Friksjon vil gjøre at ω_{s} avtar, slik at Ω øker. Sett fra det roterende koordinatsystem: y-komponenten av bevegelsesligningen \frac{dL⃗_{s}}{dt} + ω⃗ × N⃗ gir

\underbrace{\frac{dL⃗_{y}}{dt}}_{=0} +ΩL_{s} − \underbrace{ω_{s}L_{z}}_{=0} = N_{y}

Dermed

Ω = \frac{N_{y}}{L_{s}} = \frac{gd}{R^{2}ω_{s}}

som før!

Eksempel: Symmetrisk snurrebass med ett punkt fiksert

Vi betrakter en symmetrisk snurrebass som spinner rundt en hovedakse. Denne påvirkes av tyngdens akselerasjon g⃗. Vi antar at ett punkt på symmetriaksen er fiksert. Koordinatsystemet x′y′z′ ligger fast i rommet slik at g⃗ = −gẑ′, mens xyz ligger fast i snurrebassen slik at ẑ er symmetriakse. Symmetrisk snurrebass vil si at

I_{1} = I_{2} ≠ I_{3}, (x_{1}x_{2}x_{3}) = (xyz).

Kinetisk energi er

T = \frac{1}{2}I_{j}ω_{j}^{2} = \frac{1}{2}I_{1}(ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2}) + \frac{1}{2}I_{3}ω_{3}^{2}.

Vi bruker Eulervinklene ϕ, θ, ψ som (generaliserte) uavhengige koordinater. Fra s. 62 har vi at

ω_{1} = ϕ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ
ω_{2} = ϕ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ
ω_{3} = ϕ̇ cos θ + ψ̇

Dette gir oss at

ω_{1}^{2} + ω_{2}^{2} = ϕ̇^{2} sin^{2} θ + θ̇^{2},  ω_{3}^{2} = (ϕ̇ cos θ + ψ̇)^{2}
⇒ T = \frac{I_{1}}{2} (ϕ̇^{2} sin^{2} θ + θ̇^{2}) + \frac{I_{3}}{2} (ϕ̇ cos θ + ψ̇)^{2}

Potensiell energi:

V = −m_{i}r⃗_{i} · g⃗ = −MR⃗ · g⃗ = Mgl cos θ

Vi setter dermed opp Lagrangefunksjoenen

L = T − V = \frac{I_{1}}{2} (ϕ̇^{2} sin^{2} θ + θ̇^{2}) + \frac{I_{3}}{2} (ϕ̇ cos θ + ψ̇)^{2} − Mgl cos θ

L er uavhengig av ϕ og ψ, som dermed er sykliske koordinater, og de tilhørende generaliserte impulsene p_{ϕ}, p_{ψ} er tidskonstanter. Dette kan vi også se fysisk: N⃗ = R⃗ × Mg⃗ har retning langs knutelinjen, mens z og z′ begge står normalt på knutelinjen. Dermed har N⃗ ingen komponent langs z og z′, dvs ingen endring i dreieimpulsen omkring disse aksene. De gjenværende generaliserte impulsene er

p_{ψ} = \frac{∂L}{∂ψ̇} = I_{3}(ϕ̇ cos θ + ψ̇) = I_{3}ω_{3} = I_{1}a = tidskonst.
p_{ϕ} = \frac{∂L}{∂ϕ̇} = (I_{1} sin^{2} θ + I_{3} cos^{2} θ)ϕ̇ + I_{3}ψ̇ cos θ = I_{1}b = tidskonst.

Konstantene a og b er definert i det ovenstående. I tillegg har vi energibevarelse ettersom systemet vårt er konservativt:

E = V + T = \frac{I_{1}}{2} (ϕ̇^{2} sin^{2} θ + θ̇^{2}) + \frac{I_{3}}{2} (ϕ̇ cos θ + ψ̇)^{2} + Mgl cos θ = tidskonst.

Ligningene for p_{ϕ} og p_{ψ} løses nå mhp. I_{3}ψ̇ og kombimeres. Vi får

I_{1}ϕ̇ sin^{2} θ + I_{1}a cos θ = I_{1}b
ϕ̇ = \frac{b − a cos θ}{sin^{2} θ}

Eksempel fortsetter..

som gir

ψ̇ = \frac{I_{1}a}{I_{3}} − cos θ \frac{b − a cos θ}{sin^{2} θ} .

Kinetisk energi målt i det roterende systemet blir

E′ ≡ E − \frac{I_{3}}{2} ω_{3}^{2} = \frac{I_{1}}{2} θ̇^{2} + \frac{I_{1}}{2} \frac{(b − a cos θ)^{2}}{sin^{2} θ} + Mgl cos θ

Uttrykket er ekvivalent med et éndimensjonalt problem i variablen θ med effektivt potensial

V′(θ) = Mgl cos θ + \frac{I_{1}}{2} \frac{(b − a cos θ)^{2}}{sin^{2} θ} .

Vi substituerer u = cos θ og innfører nye konstanter α = 2E′/I_{1} og β = 2Mgl/I_{1}. Ligningen for E′ kan da omskrives (bruker at sin^{2} θ = 1 − cos^{2} θ):

E′ = \frac{I_{1}}{2} \frac{u̇}{sin^{2} θ} + \frac{I_{1}}{2} \frac{(b − au)^{2}}{sin^{2} θ} + Mglu
⟹ E′(1 − u^{2}) = \frac{I_{1}}{2} u̇^{2} + \frac{I_{1}}{2} (b − au)^{2} + Mglu(1 − u^{2})
⟹ α(1 − u^{2}) = u̇^{2} + (b − au)^{2} + βu(1 − u^{2})
⟹ u̇^{2} = (1 − u^{2})(α − βu) − (b − au)^{2}
= βu^{3} − (α + a^{2})u^{2} + (2ab − β)u + α − b^{2} ≡ f(u)

Røtter av høyre side gir u̇ = 0, dvs. θ̇ = −u̇/ sin θ = 0, dvs. ved hvilke vinkler θ̇ skifter fortegn. Vi har

f(±1) = −(b ∓ a)^{2} < 0 og
lim_{u→±∞} f(u) = ±∞

som vil si at det må finnes en rot u_{3} > 1 som er ufysikalsk (|u| = | cos θ| ≤ 1 når θ er reell)!

Fysisk akseptable verdier må forutsette at f(u) = u̇^{2} ≥ 0, dvs. u mellom u_{1} og u_{2} (som begge har absoluttverdi mindre enn 1), dvs. θ antar kun slike verdier at cos θ ∈ ⟨u_{1}, u_{2}⟩. Bevegelsen kan illustreres ved linjen som z-aksen tegner på overflaten av en enhetskule med sentrum i det faste punktet:

Hva skal til for å få en regulær presesjon? θ er da konstant, dvs. θ(t) = θ(t = 0) ≡ θ_{0}. Videre θ_{1} = θ_{2} = θ_{0}, så f(u) må ha en dobbel rot i u_{0} = cos θ_{0}. Vi får to ligninger, f(u_{0}) = 0 og df(u_{0})/du = 0.

Eksempel fortsetter.. Førstnevnte gir

α − βu_{0} = \frac{(b − au_{0})^{2}}{1 − u_{0}^{2}}

og df(u_{0})/du = 0 gir

\frac{β}{2} = \frac{a(b − au_{0})}{1 − u_{0}^{2}} − u_{0} \frac{α − βu_{0}}{1 − u_{0}^{2}} .

Vi kombinerer de to og får

\frac{β}{2} = \frac{a(b − au_{0})}{1 − u_{0}^{2}} − u_{0} (\frac{b − au_{0}}{1 − u_{0}^{2}} )^{2} .

Fra før har vi at

ϕ̇ = \frac{b − a cos θ_{0}}{sin^{2} θ_{0}} = \frac{b − au_{0}}{1 − u_{0}^{2}} ,

så

\frac{β}{2} = aϕ̇ − ϕ̇^{2} cos θ_{0}.

Innsatt β = Mgl/I_{1} og a = I_{3}ω_{3}/I_{1} = I_{3}(ψ̇ + ϕ̇ cos θ_{0})/I_{1} får vi

Mgl = ϕ̇(I_{3}ω_{3} − I_{1}ϕ̇ cos θ_{0})
⟹ ϕ̇ = \frac{I_{3}ω_{3} ± \sqrt{I_{3}^{2}ω_{3}^{2} − 4MglI_{1} cos θ_{0}}}{2I_{1} cos θ_{0}} .

Vi krever ϕ̇ reell, så uttrykket under rottegnet må være positivt:

I_{3}^{2}ω_{3}^{2} > 4MglI_{1} cos θ_{0}.

Herav kan vi konkludere:

• for θ_{0} > π/2, dvs. cos θ_{0} < 0 er regulær presesjon mulig for vilkårlig ω_{3}.

• for θ_{0} > π/2, dvs. cos θ_{0} < 0 er regulær presesjon mulig kun dersom ω_{3} > \frac{2}{I_{3}} \sqrt{MglI_{1} cos θ_{0}}. De to røttene til ϕ̇ betegnes gjerne “langsom” og “rask” presesjon. La oss gå tilbake til Mgl = ϕ̇(I_{3}ω_{3} − I_{1}ϕ̇ cos θ_{0}). Ved meget langsom presesjon er I_{1}ϕ̇ cos θ_{0} ≪ I_{3}ω_{3}, dvs.

ϕ̇ ≈ \frac{Mgl}{I_{3}ω_{3}} .

Ved rask presesjon er situasjonen omvendt, Mgl ≪ leddene på høyre side. I dette tilfellet får vi roten

ϕ̇ ≈ \frac{I_{3}ω_{3}}{I_{1} cos θ_{0}} .

⋯

Når f(u = 1) = 0, er θ = 0 en “vendevinkel”. Vi skal se litt på dette. Anta θ = 0 ved t = 0. Da er p_{ϕ} = p_{ψ}, og dermed a = b (i henhold til vår definisjon av disse størrelsene).

6 BEVEGELSESLIGNINGER FOR STIVE LEGEMER 73 Eksempel fortsetter.. Vi får nå for E′.

E′ = E − \frac{I_{3}}{2} ω_{3}^{2} = \frac{I_{1}}{2} \underbrace{θ̇^{2}}_{=0} +\frac{I_{1}a}{2} \underbrace{lim_{θ→0} \frac{(1 − cos θ)^{2}}{sin^{2} θ}}_{=0} +Mgl = Mgl
⟹ α ≡ \frac{2E′}{I_{1}} = \frac{2Mgl}{I_{1}} = β,
⟹ u̇^{2} = (1 − u^{2})β(1 − u) − a^{2}(1 − u)^{2} = (1 − u)^{2} [β(1 + u) − a^{2}] ,

dvs. u = 1 er en dobbel rot og vi får u_{3} = a^{2}/β − 1.

• \frac{a^{2}}{β} > 2 (rask presesjon) ⟹ u_{3} > 1 ⟹ kun mulig med u = 1, dvs. θ = 0.

• \frac{a^{2}}{β} < 2 ⟹ u_{3} < 1 ⟹ nutasjon mellom θ = 0 og θ = θ_{3}.

I grensetilfellet a^{2}/β = 2 får vi at

\frac{I_{3}^{2}ω′^{2}}{2MglI_{1}} = 2
⟹ ω′ = \frac{2}{I_{3}} \sqrt{MglI_{1}}

Vi kan konkludere med at en snurrebass slett ikke er noe trivielt leketøy!

7 Små oscillasjoner

Studiet av små svingninger er en av grunnsteinene i fysikken, og har mange anvendelser innen mange forskjellige felter, for eksempel

• vibrasjoner i molekyler

• gittervibrasjoner i faste stoffer (fononer)

• vibrasjoner i mekaniske systemer

• svingninger i koblede elektriske kretser

• akustikk

Viktigheten av å kunne behandle oscillerende systemer kommer til uttrykk ikke minst i kvantemekanikken, der en kvantisert teori for vibrasjoner har spilt en vesentlig rolle i den senere forståelsen av teknologisk viktige og rent kvantemekaniske fenomener superledning og vakuumfluktuasjoner i det elektromagnetiske feltet.

7.1 Kort rekapitulering

Vi skal se på en klassisk beskrivelse av oscillerende systemer, og begynner med en rask rekapitulering av den éndimensjonale harmoniske oscillatoren.

Potensialet, V (x) = \frac{1}{2}kx^{2}, og Newtons andre lov gir

F = mẍ = −\frac{∂V}{∂x} = −kx (Hookes lov),

og

mẍ + kx = 0

med løsning

x(t) = ℜe\{Ae^{−iω_{0}t}\}, ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}},

altså en harmonisk svingning med vinkelfrekvens ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}. Med dempning (friksjon): F_{f} = −λẋ gir

mẍ + λẋ + kx = 0,

med løsningen

x(t) = ℜe{Ae^{−i(ω_{0}−iλ/m)t}}
= e^{−λt/m}ℜe{Ae^{−iω_{0}t}},

altså en eksponensielt dempet, harmonisk svingning.

7.2 System av koblede oscillatorer

Vi skal i resten av dette kapittelet betrakte et mer generelt problem, nemlig et system av koblede, lineære harmoniske oscillatorer. At oscillatorene er lineære betyr matematisk at fjærkraften er proporsjonal med utsvinget fra likevekt. For en pendel er dette eksempelvis det samme som at utsvingene er tilstrekkelig små til at sin θ ≈ θ dersom theta er utsvingsvinkelen. Vi begrenser oss med andre ord til å se på små oscillasjoner.

Vi antar at vi har et konservativt system, dvs. at V bare er avhengig av posisjoner. Vi antar videre for enkelhets skyld at alle føringer er tidsuavhengige.

Utgangspunktet er som vanlig et system med N partikler og 3N frihetsgrader. Med k føringer reduseres antall frihetsgrader til 3N − k. Vi antar at vi har transformert til et generalisert koordinatsystem med n uavhengige koordinater, (q_{1}, ..., q_{n}).

Vi sier at systemet er i likevekt når alle generaliserte krefter forsvinner:

Q_{i} = − (\frac{∂V}{∂q_{i}} )_{0} = 0.

Et likevektspunkt er med andre ord et ekstremalpunkt for V. Vi betegner koordinatene i likevektspunktet (q_{01}, ..., q_{0n}).

Vi sier at vi har en stabil likevekt dersom en liten forstyrrelse fra likevekt medfører en liten bundet bevegelse omkring likevektsposisjonen.

Figur 24: Stabil og ustabil likevekt.

Vi sier at vi har en ustabil likevekt hvis en liten forstyrrelse fra likevekt gir en ubundet bevegelse. Vi skal kun se på små utsving fra en stabil likevekt:

q_{i} = q_{01} + η_{i}, der η_{i} er utsving fra likevekt.

Vi velger η_{i} som våre nye generaliserte koordinater. Taylorutvikling av V omkring q_{01} (med summekonvensjon som før):

V (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n}) = V (q_{01}, q_{02}, ..., q_{0n}) + (\frac{∂V}{∂q_{i}} )_{0} η_{i} + \frac{1}{2} (\frac{∂^{2}V}{∂q_{i}∂q_{j}} )_{0} η_{i}η_{j} + ...

Vi har brukt den forhåpentligvis selvforklarende notasjonen at index 0 svarer til verdien tatt i likevektspunktet (q_{01}, q_{02}, ..., q_{0n}). Likevektsbetingelsen er i seg selv at (\frac{∂V}{∂q_{i}} )_{0} = 0, så alle ledd som er lineære i η_{i} faller bort. Nullnivået for V kan vi velge som vi vil, f.eks. slik at V (q_{01}, q_{02}, ..., q_{0n}) = 0, og vi står igjen med, til annen orden i η_{i} (som vi jo har antatt er et lite utsving):

V = \frac{1}{2} (\frac{∂^{2}V}{∂q_{i}∂q_{j}} )_{0} η_{i}η_{j} ≡ \frac{1}{2}V_{ij}η_{i}η_{j}.  (7.1)

Ettersom partiellderivasjon kommuterer, ser vi at V_{ij} = V_{ji}.

Den kinetiske energien kan skrives som en homogen, kvadratisk funksjon av hastighetene:

T = m_{ij}η̇_{i}η̇_{j} = \frac{1}{2}m_{ij}η̇_{i}η̇_{j},  (7.2)

der koeffisientene m_{ij} generelt kan være funksjoner av q_{k} slik V_{ij} var det i tilfellet over:

m_{ij}(q_{1}, ..., q_{n}) = m_{ij}(q_{01}, ..., q_{0n}) + (\frac{∂m_{ij}}{∂q_{k}} )_{0} η_{k} + ...

(jf. eksempel 1b på side 14, der vi hadde

T (r, θ, ṙ, θ̇) = \frac{1}{2}mṙ^{2} + \frac{1}{2}mr^{2}θ̇^{2}

⟹m_{11} = m, m_{22} = mr^{2}, m_{12} = m_{21} = 0.

)

Uttrykket for T, \frac{1}{2}m_{ij}η̇_{i}η̇_{j}, er allerede kvadratisk i η̇, derfor beholder vi konstantleddet i m_{ij} kun til ledende orden og skriver

T = \frac{1}{2}T_{ij}η̇_{i}η̇_{j}; T_{ij} ≡ m_{ij}(q_{01}, ..., q_{0n})

Vi antar symmetri, T_{ij} = T_{ji} (som regel er T_{ij} også diagonal, slik at T_{ij} = T_{i}δ_{ij}).

Vi kan nå skrive opp Lagrangefunksjonen:

L(η, η̇) = T − V = \frac{1}{2} (T_{ij}η̇_{i}η̇_{j} − V_{ij}η_{i}η_{j})

Bevegelsesligningene (dvs. Lagranges ligninger):

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂η̇_{i}} − \frac{∂L}{∂η_{i}} = 0; i = 1, 2, ..., n

La oss se på bevegelsesligningen for én bestemt i (og må da naturligvis kalle summeindekser for noe annet, eksempelvis j og k: L = \frac{1}{2} (T_{jk}η̇_{j}η̇_{k} − V_{jk}η_{j}η_{k})):

\frac{∂L}{∂η̇_{i}} = \frac{1}{2}T_{jk} \frac{∂}{∂η̇_{i}} (η̇_{j}η̇_{k}) = \frac{1}{2}T_{jk} (δ_{ik}η̇_{j} + η̇_{k}δ_{ij})

= \frac{1}{2}T_{ij}η̇_{j} + \frac{1}{2}T_{ik}η̇_{k}

Vi står fritt til å kalle summasjonsindekser for hva vi måtte lyste (så lenge en styrer unna de indekser som allerede finnes innenfor samme ledd, naturligvis), og døper om indeks k i siste ledd til å hete j. Når vi bruker symmetrien T_{ij} = T_{ji}, ser vi at de to leddene er like, altså

\frac{∂L}{∂η̇_{i}} = T_{ij}η̇_{j}

Den tidsderiverte blir

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂η̇_{i}} = T_{ij} \frac{d}{dt}η̇_{j} = T_{ij}η̈_{j}

På akkurat samme måte finner vi at

\frac{∂L}{∂η_{i}} = −V_{ij}η_{j},

og ligningene blir

T_{ij}η̇_{j} + V_{ij}η_{j} = 0;  i = 1, 2, ..., n  (7.3)

altså et sett av n koblede, lineære, homogene 2.ordens diff.ligninger. Vi merker oss

• Løsningen beskriver systemets løsning nær likevekt

• Vi får 2n integrasjonskonstanter (fordi ligningen er av 2. orden), som kan bestemmes for eksempel ved initialinformasjon om η_{i} og η̇_{i}.

• Ligningene har samme form som ligningen for en éndimensjonal harmonisk oscillator.

7.2.1 Svingemoder

Det virker rimelig å gjøre følgende ansats:

η_{i}(t) = A_{i}e^{−iωt}  (7.4)

der A_{i} er komplekse amplituder og ω er en (foreløbig) ukjent størrelse av dimensjon s^{−1}. Det er underforstått at det er ℜe{η_{i}} som representerer den virkelige bevegelsen. Vi setter dette inn i bevegelsesligningene:

V_{ij}A_{j} − ω^{2}T_{ij}A_{j} = 0

som gir n homogene ligninger for A_{i}. Løsningsbetingelsen for et ligningssett på formen 𝔸x = 0, er at determinanten til 𝔸 er null, altså i vårt tilfelle at

det (𝕍 − ω^{2}𝕋) = | \begin{matrix}V_{11} − ω^{2}T_{11} & V_{12} − ω^{2}T_{12} & … & V_{1n} − ω^{2}T_{1n} \\ V_{21} − ω^{2}T_{21} & … & & ⋮ \\ ⋯ & & ... & ⋮ \\ V_{n1} − ω^{2}V_{n1} & … & & V_{nn} − ω^{2}T_{nn} \end{matrix} | = 0  (7.5)

. Dette kalles ofte systemets karakteristiske ligning.

Dette er generelt en nte grads ligning for ω^{2}, som generelt har n forskjellige røtter, ω_{α}^{2}, med α = 1, 2, ..., n. ω_{α} kalles systemets egenfrekvenser. Av fysiske grunner krever vi at ω_{α}^{2} ≥ 0 og at ω_{α} er reell. Dersom ω_{α} har en imaginærdel, ω_{α} = ω′ + iω′′, har vi nemlig at e^{−iω_{α}} = e^{−iω′t}e^{ω′′}, dvs. eksponensiell økning (ω′′ > 0) eller dempning (ω′′ < 0) av utsvingene. Dette er ikke forenlig med energibevarelse (en kunne naturligvis tenke seg at svingningene var dempet, men vi har valgt å se på et hastighetsuavhengig potensial, og da kan dette ikke være tilfelle. Vi husker fra kapittel 2.6.3 at en Lagrangefunksjon som ikke var eksplisitt tidsavhengig medførte at total mekanisk energi var bevart).

7.2.2 Amplituder

Anta nå at vi har bestemt egenfrekvensene ω_{α} (ligning 7.5 lar seg ofte bare, men ganske enkelt, løse numerisk). Neste spørsmål er hvordan de karakteristiske egensvingningene ser ut, altså hvilke deler av systemet som svinger og hvor mye de svinger i svingemode α.

Vi da bestemme amplitudene A_{iα}, som vi definerer som utslaget langs den generelle koordinaten q_{i} i svingemode α. Disse bestemmes av bevegelsesligningene (Lagranges ligninger) ovenfor, med en modeindeks α i tillegg i forhold til uttrykket i forrige avsnitt,

(V_{ij} − ω_{α}^{2}T_{ij}) A_{jα} = 0.  (7.6)

Merk at vi her betrakter én enkelt svingemode, og dermed ikke betrakter α som en indeks på linje med i og j over, ei heller summerer over α som en indeks (vi ser også at α kun inngår én gang i ett ledd og strengt tatt tre ganger i det andre, idet ω_{α} er kvadrert. God skikk og bruk innen bruk av summekonvensjon sier at en summasjonsindeks skal gå igjen to ganger, hverken mer eller mindre.). Når ω_{α} er kjente, er dette n ligninger (én for hver i, som er eneste frie indeks i ligningen over. Det summeres over j), som bestemmer n − 1 av komponentene i modens “amplitudevektor”

A⃗_{α} = ( A_{1α} ; A_{2α} ; ⋮ ; A_{nα} )

Hvorfor er ikke n ligninger nok til å bestemme alle n komponentene? Svaret er at ligningssettet (7.6) er homogent, og vi kan multiplisere alle A_{jα} med en og samme vilkårlige (komplekse) konstant som ikke vil være bestemt av ligningene. Ettersom A_{jα} generelt er kompleks, betyr dette at det er to ubestemte størrelser; absoluttverdi og fase for A_{jα}, ialt 2n størrelser, det samme som antall nødvendige initialbetingelser dersom en vil bestemme en fullstendig løsning (som vi argumenterte for ovenfor).

7.2.3 Minorer til systemdeterminanten

Vi skal se på et annet verktøy for å bestemme systemets amplituder. La oss nå anta at alle egenfrekvensene ω_{α} er forskjellige. Da gjelder følgende

A_{iα} ∝ Δ_{iα},  (7.7)

der Δ_{iα} er et tall vi lar være proporsjonalt med minoren (evt. kofaktoren) til determinanten |𝕍 − ω_{α}𝕋|, som er definert som determinanten til undermatrisen som fremkommer ved å fjerne rad i og kolonne α fra 𝕍 − ω_{α}𝕋. Fortegnet til Δ_{iα} er gitt ved (−1)^{iα}. Grunnen til at vi lar Δ_{iα} være proporsjonal med og ikke lik minoren (i, α) til systemet, er at vi ønsker å kunne normere Δ_{iα} slik vi vil. Motivasjonen for dette blir åpenbar etterhvert.

Vi skal ikke gi noe fullstendig bevis for at A_{iα} ∝ Δ_{iα} ∝ kofaktor_{iα} her, men bare se på tilfellet n = 3, ligningen der α = 1 og i = 1. Bevegelsesligningene gav

(V_{1j} − ω_{1}^{2}T_{1j}) A_{j1} = 0
(V_{11} − ω_{1}^{2}T_{11}) A_{11} + (V_{12} − ω_{1}^{2}T_{12}) A_{21} + (V_{13} − ω_{1}^{2}T_{13}) A_{31} = 0

Dette uttrykket sammenligngner vi med ligningen |𝕍 − ω_{α}^{2}𝕋| = 0 når vi setter α = 0 og utvikler etter første kolonne:

(V_{11} − ω_{1}^{2}T_{11}) Δ_{11} + (V_{21} − ω_{1}^{2}T_{21}) Δ_{21} + (V_{31} − ω_{1}^{2}T_{31}) Δ_{31} = 0

𝕍 og 𝕋 er begge symmetriske, og vi ser at de to ligningene er like på en ubestemt (kompleks) konstant nær, altså

A_{iα} = C_{α}Δ_{iα}.

Denne motivasjonen lar seg ganske greit generalisere til et bevis for vilkårlig antall koordinater, men det gjør vi ikke her.

Vi hadde at η_{i} = A_{i}e^{−iωt}. Vi har nå funnet at systemet kan oscillere med et diskret sett av egenfrekvenser ω_{α}. Utsvinget langs den generaliserte koordinaten q_{i} er da

η_{iα} = A_{iα}e^{−iω_{α}t} = C_{α}Δ_{iα}e^{−iω_{α}t}.

Differensialligningene vi begynte med var lineære og homogene av orden 2, så superposisjonsprinsippet (som kjent fra matematikken) gjelder og gir oss den mest generelle løsningen

ℜe{η_{i}(t)} = ℜe {∑_{α=1}^{n} η_{iα}(t)} = ℜe {∑_{α=1}^{n} C_{α}Δ_{iα}e^{−iω_{α}t}} .  (7.8)

Den dyktige student greier naturligvis å skille mellom indeks i og den imaginære enheten i = \sqrt{−1} i ligningene over.

Vi ser at tidsvariasjonen av η_{i} er en superposisjon av n harmoniske svinginger med vilkårlige faser og amplituder (husk dog: små utsving), men fikserte frekvenser.

7.2.4 Normalkoordinater

Vi skriver den ovenforstående løsningen på en ny form

ℜe{η_{i}} = ∑_{α=1}^{n} Δ_{iα}Θ_{α}(t),  (7.9)

med et nytt sett uavhengige koordinater

Θ_{α}(t) ≡ ℜe {C_{α}e^{−iω_{α}t}} .  (7.10)

Vi skal se at dette tilsynelatende umotiverte kunstgrepet er hensiktsmessig fordi bevegelsesligningene for Θ_{α} ikke er koblede (slik ligningene for η_{iα} er det). Koordinatene Θ_{α} kaller vi normalkoordinater, og vi sier at systemet oscillerer i normalmode α.

Vi skal i resten av avsnittet vise at bevegelsesligningene for Θ_{α} ikke er koblede. La oss sette inn ℜe{η_{i}} = ∑_{α=1}^{n} Δ_{iα}Θ_{α}(t) i uttrykkene for kinetisk energi T og potensiell energi V (siden sist vi så disse uttrykkene har vi tillatt η_{i} og η̇_{i} å være komplekse, og må passe på å kun bruke realdelen i uttrykkene for T og V):

T = \frac{1}{2}T_{ij}ℜe\{η̇_{i}\}ℜe\{η̇_{j}\} = ∑_{α,β} \frac{1}{2}T_{ij}Δ_{iα}Θ̇_{α}Δ_{jβ}Θ̇_{β}

V = \frac{1}{2}V_{ij}ℜe\{η_{i}\}ℜe\{η_{i}\} = ∑_{α,β} \frac{1}{2}V_{ij}Δ_{iα}Θ_{α}Δ_{iβ}Θ_{iβ}.

Merk at det summeres over i, j, α og β her (naturligvis, for T og V har ingen indekser).

Betrakt igjen ligningene (7.6) som gjaldt for én enkelt mode α, der vi uttrykker amplitudene ved hjelp av minorene Δ_{iα}:

V_{ij}A_{jα} = ω_{α}^{2}T_{ij}A_{jα}
V_{ij}C_{α}Δ_{jα} = ω_{α}T_{ij}C_{α}Δ_{jα}
V_{ij}Δ_{jα} = ω_{α}^{2}T_{ij}Δ_{jα}

En liten kommentar til summekonvensjonen: Vi har valgt å summere eksplisitt over modene α og β der det er aktuelt, men la i og j være underlagt Einsteins summekonvensjon., men en kunne godt ha betraktet α og β som indekser på linje med i, j og latt også dem summere implisitt. Imidlertid vil en se at med notasjonen vi har brukt her kan dette så hendige verktøy være et tveegget sverd om en ikke passer på; en kan lett la seg forvirre av at ligningene som gjelder for hver enkelt mode α tilsynelatende inneholder gjentatte indekser som ikke summeres. En nyttig ting å sjekke når en benytter summekonvensjon er at alle ledd alltid har samme frie indekser. I øverste linje av overstående utregning, for eksempel, ville en summasjon av α på høyre side (der α kan se ut som en repetert indeks) gjøre at venstre side av ligningen hadde en fri indeks α, mens den var summert bort på høyre side.

Vi setter inn uttrykket for V_{ij}Δ_{jβ} i uttrykkene for V og T over:

V = ∑_{α,β} \frac{1}{2}V_{ij}Δ_{jβ}Δ_{iα}Θ_{α}Θ_{β} = ∑_{α,β} \frac{1}{2}ω_{β}^{2}T_{ij}Δ_{jβ}Δ_{iα}Θ_{α}Θ_{β}

= ∑_{α,β} \frac{1}{2}ω_{β}^{2}T_{ij}Δ_{iα}Δ_{jβ}Θ_{α}Θ_{β},

mens T altså var

T = ∑_{α,β} \frac{1}{2}T_{ij}Δ_{ij}Δ_{jβ}Θ̇_{α}Θ̇_{β}

Vi vil kikke på faktoren ∑_{i,j} T_{ij}Δ_{iα}Δ_{jβ} som opptrer i både T og V. Vi går enda en gang tilbake til ligning (7.6),

(V_{ij} − ω_{α}^{2}T_{ij})A_{jα} = 0.

Bruker igjen at A_{jα} = C_{α}Δ_{jα} og skriver opp ligningen for α og β:

V_{ij}Δ_{jα} = ω_{α}^{2}T_{ij}Δ_{jα}
V_{ij}Δ_{jβ} = ω_{β}^{2}T_{ij}Δ_{jβ}

Vi opererer på øvre ligning med ∑_{i} Δ_{iβ} og på nedre ligning med ∑_{i} Δ_{iα}, og får

V_{ij}Δ_{jα}Δ_{iβ} = ω_{α}^{2}T_{ij}Δ_{jα}Δ_{iβ}
V_{ij}Δ_{iα}Δ_{jβ} = ω_{β}^{2}T_{ij}Δ_{iα}Δ_{jβ}

I øverste ligning døper vi om summasjonsindekser slik at j ↔ i og bruker at V_{ij} og T_{ij} er symmetriske ved ombytte av indekser. Omskrevet blir den øvre ligningen altså

V_{ij}Δ_{iα}Δ_{jβ} = ω_{α}^{2}T_{ij}Δ_{iα}Δ_{jβ},

som vi trekker fra den nedre ligningen og får en sammenslått ligning:

(ω_{α}^{2} − ω_{β}^{2})T_{ij}Δ_{iα}Δ_{jβ} = 0.  (7.11)

Dermed er det umiddelbart opplagt at dersom ω_{α} ≠ ω_{β} (vi har antatt at alle ω_{α} er forskjellige, så dette er det samme som at α ≠ β) så må

T_{ij}Δ_{iα}Δ_{jβ} = 0.

I tilfellet α = β er (ω_{α}^{2} − ω_{β}^{2}) = 0, mens vi må kreve at

T_{ij}Δ_{iα}Δ_{jα} ≠ 0,

for ellers står vi bare igjen med den trivielle løsningen der alle amplituder er null.

Vi skal nå benytte at vi nøyde oss med å sette Δ_{iα} ∝ kofaktor_{iα}, med en vilkårlig (kompleks) proporsjonalitetskonstant. Dette gir oss nemlig muligheten tl å normere settet av Δ_{iα} slik vi vil. Vi velger normering slik at

∑_{i,j} T_{ij}Δ_{iα}Δ_{jα} = 1,

og kan dermed sette

∑_{i,j} T_{ij}Δ_{iα}Δ_{jα} = δ_{αβ}.

Dette var ganske mye regning og mange triks, men vi er nå istand til å forenkle uttrykkene for T og V:

T = \frac{1}{2} ∑_{α,β} \underbrace{∑_{i,j} T_{ij}Δ_{iα}Δ_{jβ}}_{=δ_{αβ}} Θ̇_{α}Θ̇_{β} = \frac{1}{2} ∑_{α} Θ̇_{α}^{2}

V = \frac{1}{2} ∑_{α,β} \underbrace{∑_{i,j} T_{ij}Δ_{iα}Δ_{jβ}}_{=δ_{αβ}} ω_{β}^{2}Θ_{α}Θ_{β} = \frac{1}{2} ∑_{α} ω_{α}^{2}Θ_{α}^{2}.

Vi kan nå skrive ned Lagrangefunksjonen med normalkoordinatene som uavhengige variable:

L = \frac{1}{2} ∑_{α} (Θ̇_{α}^{2} − ω_{α}^{2}Θ_{α}^{2})  (7.12)

Lagrangeligningene som vanlig

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂Θ̇_{α}} − \frac{∂L}{∂Θ_{α}} = 0, α = 1, 2, ..., n

mellomregning...

\frac{∂L}{∂Θ̇_{α}} = Θ̇_{α},  \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂Θ̇_{α}} = Θ̈_{α},  \frac{∂L}{∂Θ_{α}} = −ω_{α}^{2}Θ_{α},

og omsider

Θ̈_{α} − ω_{α}^{2}Θ_{α} = 0 ,  (7.13)

som var det vi skulle vise!

Kommentarer:

• Det er ingen kobling mellom ligningene for ulike normale moder, som derfor kan sies å være ortogonale.

• Vi ser at definisjonen på side 78, Θ_{α}(t) ≡ ℜe {C_{α}e^{−iω_{α}t}}, er konsistent med bevegelsesligningene for Θ_{α}.

• Vi trenger 2n initialbetingelser for å bestemme en fullstendig løsning, dvs. for å fastlegge amplitudene |C_{α}| og fasene φ_{α} i integrasjonskonstantene C_{α} = |C_{α}| · e^{iφ_{α}}.

• Med to eller flere sammenfallende ω_{α} (dvs. degenerasjon) blir fremgangsmåten noe modifisert.

Eksempel: Oscillerende partikkel i rommet

Vi betrakter en partikkel som oscillerer i rommet, påvirket av et potensial V = \frac{1}{2}(k_{1}x^{2} + k_{2}y^{2} + k_{3}z^{2}). Den kinetiske energien er T = \frac{1}{2}m(ẋ^{2} + ẏ^{2} + ż^{2}), så

L = T − V = \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{3}(mẋ_{i}^{2} − k_{i}x_{i}^{2}),

og bevegelsesligningene blir (merk: ikke summekonvensjon her; tre ligninger, ikke én)

mẍ_{i} + k_{i}x_{i} = 0, i = 1, 2, 3.

Ansats: x_{i} = A_{i}e^{−iωt} gir ligningene på formen

(−mω^{2} + k_{i})A_{i} = 0 (fortsatt ikke summekonvensjon her)

Dette ligningssettet har løsning hvis og bare hvis

| \begin{matrix}k_{1} − mω^{2} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} − mω^{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} − mω^{2} \end{matrix} | = 0,
⇒ (k_{1} − mω^{2})(k_{2} − mω^{2})(k_{3} − mω^{2}) = 0,
⇒ ω_{1} = \sqrt{\frac{k_{1}}{m}} ,  ω_{2} = \sqrt{\frac{k_{2}}{m}} ,  ω_{3} = \sqrt{\frac{k_{3}}{m}}

Ved sammenligning med formalismen på foregående sider, ser vi

𝕍 = ( \begin{matrix}k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{matrix} )  𝕋 = ( \begin{matrix}m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m \end{matrix} )

𝕍 − ω_{α}^{2}𝕋 = ( \begin{matrix}k_{1} − mω_{α}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} − mω_{α}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} − mω_{α}^{2} \end{matrix} )

De kartesiske koordinatene x_{i} er i dette eksempelet normalkoordinater med bevegelsesligninger ẍ_{i} +ω_{i}^{2}x_{i} = 0, der ω_{i}^{2} = k_{i}/m. Dersom vi hadde hatt sentralfelt, V = V (r), hadde vi fått k_{1} = k_{2} = k_{3} = k, dvs. V = \frac{1}{2}kr^{2}. I dette tilfellet blir alle de tre røttene degenererte; ω_{1} = ω_{2} = ω_{3} = \sqrt{k/m}.

7.3 Fri vibrasjoner av lineært symmetrisk treatomig molekyl

Vi betrakter et lineært, symmetrisk og treatomig molekyl, for eksampel CO_{2}:

La likevektstilstandene være slik at

x_{01} − x_{02} = x_{02} − x_{03} = b.

Utsving fra likevekt, η_{i}:

η_{i} = x_{i} − x_{0i}, i = 1, 2, 3.

Vi antar kun nærmeste nabo-vekselvirkning, samt harmonisk potensial:

V = \frac{1}{2}k [(x_{1} − x_{2}) − b]^{2} + \frac{1}{2}k [(x_{2} − x_{3}) − b]^{2}

= \frac{1}{2}k(η_{1} − η_{2})^{2} + \frac{1}{2}k(η_{2} − η_{3})^{2}.

Kinetisk energi:

T = \frac{1}{2}mẋ_{1}^{2} + \frac{1}{2}mẋ_{3}^{2} + \frac{1}{2}Mẋ_{2}^{2}

= \frac{1}{2}m(η̇_{1}^{2} + η̇_{3}^{2}) + \frac{1}{2}Mη̇_{2}^{2}.

Lagrangefunksjonen blir således

L = T − V = \frac{1}{2}m(η̇_{1}^{2} + η̇_{3}^{2}) + \frac{1}{2}Mη̇_{2}^{2} − \frac{1}{2}k(η_{1} − η_{2})^{2} − \frac{1}{2}k(η_{2} − η_{3})^{2}.

Det er mulig å forenkle dette ytterligere ved å benytte at bevegelsen av CM er upåvirket av vibrasjoner i molekylet (vi husker hvordan vi skilte mellom interne og eksterne krefter i kapittel 1.1). Vi antar at CM er i ro i origo:

m(x_{1} + x_{3}) + Mx_{2} = 0
m(η_{1} + η_{3}) + Mη_{2} = 0.

Vi definerer nå nye, uavhengige koordinater:

Q_{a} = η_{1} + η_{3} Q_{s} = η_{1} − η_{3},

som gir

η_{1} = \frac{1}{2}(Q_{a} + Q_{s}), η_{3} = \frac{1}{2}(Q_{a} − Q_{s}),

og fra ligningen for CM:

η_{2} = −\frac{m}{M} (η_{1} − η_{3}) = −\frac{m}{M} Q_{a}.

Vi setter de nye koordinatene inn i L:

L =\frac{1}{2}m · \frac{1}{4}(Q̇_{a} + Q̇_{s})^{2} + \frac{1}{2}m · \frac{1}{4}(Q̇_{a} − Q̇_{s})^{2} + \frac{1}{2}M · \frac{m^{2}}{M^{2}} Q̇_{a}^{2}

− \frac{1}{2}k [\frac{1}{2}(Q_{a} + Q_{s}) + \frac{m}{M} Q_{a}]^{2} − \frac{1}{2}k [−\frac{1}{2}(Q_{a} − Q_{s}) − \frac{m}{M} Q_{a}]^{2}

=\frac{m}{4} (1 + \frac{2m}{M}) Q̇_{a}^{2} + \frac{m}{4}Q̇_{s}^{2} − \frac{1}{2}k \{[(\frac{1}{2} + \frac{m}{M} ) Q_{a} + \frac{1}{2}Q_{s}]^{2} + [(\frac{1}{2} + \frac{m}{M} ) Q_{a} − \frac{1}{2}Q_{s}]^{2}\} .

Ser at leddene ∼ Q_{a} · Q_{s} kansellerer hverandre. Innfører molekylets totale masse μ = M + 2m. Dermed blir 1 + 2m/m = μ/M. Vi får nå

L = \frac{m}{4} \frac{μ}{M} Q̇_{a}^{2} + \frac{m}{4}Q̇_{s}^{2} − \frac{1}{2}k [2 (\frac{μ}{2M} )^{2} Q_{a}^{2} + 2 (\frac{1}{2})^{2} Q_{s}^{2}]

= \frac{m}{4} [Q̇_{s}^{2} − \frac{k}{m}Q_{s}^{2} + \frac{μ}{M} Q̇_{a}^{2} − \frac{k}{m} \frac{μ^{2}}{M^{2}} Q_{a}^{2}] .

Med andre ord: Q_{a} og Q_{s} er normalkoordinater. Vi får L på “standardform” ved å innføre

Θ_{s} = \sqrt{\frac{m}{2}}Q_{s}, Θ_{a} = \sqrt{\frac{mμ}{2M}} Q_{a},

som gir

L = \frac{1}{2} [Θ̇_{s}^{2} − \frac{k}{m}Θ_{s}^{2} + Θ̇_{a}^{2} − \frac{kμ}{mM} Θ_{a}^{2}] .

Vi kjenner igjen dette som samme form som det vi hadde på side 80, og vi kan umiddelbart skrive ned systemets egenfrekvenser:

ω_{s} = \sqrt{\frac{k}{m}}, ω_{a} = \sqrt{\frac{kμ}{mM}} .

La oss gå tilbake til V (η_{i}) og T (η̇_{i}) og bestemme egenfrekvensene ved å løse den sekulære ligningen

|𝕍 − ω^{2}𝕋| = 0.

Her er elementene V_{ij} og T_{ij} i henholdsvis 𝕍 og 𝕋 bestemt ved

T = \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{3} T_{ij}η̇_{i}η̇_{j}, V = \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{3} V_{ij}η_{i}η_{j}.

Sammenligning med uttrykkene for V og T på side 82 gir

𝕍 = ( \begin{matrix}k & −k & 0 \\ −k & 2k & −k \\ 0 & −k & k \end{matrix} ) , 𝕋 = ( \begin{matrix}m & 0 & 0 \\ 0 & M & 0 \\ 0 & 0 & m \end{matrix} ) ,

og ligningen |𝕋 − ω^{2}𝕍| gir

| \begin{matrix}k − ω^{2}m & −k & 0 \\ −k & 2k − ω^{2}M & −k \\ 0 & −k & k − ω^{2}m \end{matrix} | = 0

8 Spesiell relativitetsteori

8.1 Innledning

Anta:

• L = typisk lineær utstrekning av systemet

• λ = h/p = de Broglie-bølgelengde for et legeme i systemet med impuls p (h = Plancks konstant)

• v = typisk hastighet til legeme i systemet

• c = lyshastigheten i vakuum

Vi skal her se nærmere på systemer med λ ≪ L og v/c ∼ 1, som beskrives med Einsteins spesielle relativitetsteori (Generell relativitetsteori omhandler gravitasjon og akselererte referansesystemer. Også denne ble utviklet av Einstein!).

Skal her ikke gå særlig inn på

• tidligere eksperimenter (Michelson-Morley etc.)

• filosofiske betraktninger

• tilsynelatende paradokser

Målet er imidlertid

• å benytte formalisme og begrepsapparat fra klassisk mekanikk til å beskrive den spesielle relativitetsteorien.

Kort rekapitulering...

Et inertialsystem er et referansesystem der Newtons lover gjelder (F⃗ = \frac{dp⃗}{dt}).

Galileitransformasjonen: Anta to inertialsystemer, S og S′, der S′ beveger seg med hastighet v⃗ relativt til S. Et legemes koordinater r⃗ og r′ og tidspunkter t og t′ observert i henholdsvis S og S′ er da relatert ved

r′ = r⃗ − v⃗t  og  t = t′

.

Problemet var at Galileitransformasjonen forutsier forskjellig lyshastighet i S og S′, c′ = c−v (c′ = dr′/dt = dr/dt − v = c − v), mens eksperimentelt er lyshastigheten den samme i S og S′, dvs c = c′, uavhengig av relativ hastighet v (Michelson-Morley, Kennedy-Thorndike, Alväger et al.).

Dette ledet Einstein til sine to grunnleggende postulater:

1. Fysikkens lover er de samme i alle inertialsystemer (“relativitetsprinsippet”; også tilfredsstilt i Newtonmekanikk)

2. Lyshastigheten i vakuum har samme konstante verdi i alle nertialsystemer og er uavhengig av lyskildens bevelgelse (skiller relativitetsteori fra andre teorier).

8.2 Lorentztransformasjonen

Betrakt to inertialsystemer S og S′. S′ beveger seg med en hastighet v⃗ relativt til S. Antar felles origo ved t = t′ = 0, dessuten at v⃗ er parallell med z-aksen. Lorentztransformasjonen er da gitt ved:

x′ = x,
y′ = y,
z′ = γ(z − vt),
t′ = γ(t − \frac{vz}{c^{2}} ),

der vi har definert:

γ = \frac{1}{\sqrt{1 − β^{2}}} , β = \frac{v}{c} .

Invers transformasjon fås ved å la v → v′. Vi ser at transformasjonsligningene er lineære. Lorentztransformasjonen gjør at lyshastigheten c er invariant, dvs. den samme sett fra de to systemene S og S′. La oss vise dette:

Anta en punktkilde i origo i S′ som emitterer en lysbølge ved t = 0. Ligning for lysfronten:

r′ = ct′
⇒ (r′)^{2} = c^{2}(t′)^{2}
⇒ (x′)^{2} + (y′)^{2} + (z′)^{2} = c^{2}(t′)^{2}

Vi skal se at vi får samme ligning for lysfronten i S:

(x′)^{2} + (y′)^{2} + (z′)^{2} − c^{2}(t′)^{2} = x^{2} + y^{2} + γ^{2}(z − vt)^{2} − c^{2}γ^{2}(t − \frac{vz}{c^{2}} )^{2}

= x^{2} + y^{2} + z^{2} − z^{2} + γ^{2}(z^{2} − 2vzt + v^{2}t^{2}) − c^{2}γ^{2}(t^{2} − \frac{2v}{c^{2}} zt + \frac{v^{2}z^{2}}{c^{2}} )

= x^{2} + y^{2} + z^{2} − z^{2} \underbrace{(1 − \frac{1}{1 − β^{2}} + \frac{β^{2}}{1 − β^{2}} )}_{=0} −z \underbrace{(2vγ^{2}t − 2vγ^{2}t)}_{=0} +γ^{2}t^{2}(v^{2} − c^{2})

= x^{2} + y^{2} + z^{2} − c^{2}t^{2} \underbrace{γ^{2}(1 − v^{2}/c^{2})}_{=1}

= x^{2} + y^{2} + z^{2} − c^{2}t^{2},

som betyr at

1. Hvis (x′)^{2} + (y′)^{2} + (z′)^{2} = c^{2}(t′)^{2}, er også x^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2}t^{2}.

2. Lysfronten beveger seg med samme hastighet i både S og S′.

For v ≪ c ser vi at vi får x′ = x; y′ = y; z′ = z − vt; t′ = t, så

Lorentztransformasjon ⟶^{v≪c} Galileitransformasjon.

Invers transformasjon:

x = x′,
y = y′,
z = γ(z′ + vt′),
t = γ(t′ + \frac{vz′}{c^{2}} ,

(Opplagt! Vi må kunne la v → −v ettersom S beveger seg med hastighet −v relativt til S′. Finnes også ved å løse ut for z og t fra transformasjonsligningene for z′ og t′.)

På vektorform:

r′ = r⃗ + [γ(z − vt) − z] \frac{v⃗}{v} .

Da v⃗ · r⃗ = vz blir z = \frac{v⃗·r⃗}{v}, så

r′ = r⃗ + [(γ − 1)\frac{v⃗ · r⃗}{v} − γvt] \frac{v⃗}{v}

= r⃗ + (γ − 1)\frac{(β⃗ · r⃗)β⃗}{β^{2}} − γctβ⃗.

Tilsvarende for t′:

t′ = γt − \frac{γvz}{c^{2}} = γt − \frac{γ}{c^{2}} v⃗ · r⃗ = γt − \frac{γ}{c} \frac{v⃗}{c} · r⃗

= γt − \frac{γ}{c} β⃗ · r⃗.

Da Lorentztransformasjonen er lineær, kan vi bruke ideer og formelapparat fra kapittel 5. Innfører en “4. dimensjon” med variabelen

x_{4} = ict,

dvs vi innfører et 4-dimensjonalt Minkowskirom med akser

x_{1} = x; x_{2} = y; x_{3} = z; x_{4} = ict.

Vi får dermed for den invariante størrelsen:

(x′)^{2} + (y′)^{2} + (z′)^{2} − c^{2}(t′)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} − c^{2}t^{2} = ∑_{μ=1}^{4} x_{μ}x_{μ} ≡ x_{μ}xμ

(vi benytter summekonvensjonen: sum over repeterte indekser).

En vektor i Minkowskirommet kaller vi en 4-vektor. Standard notasjon i denne forbindelse:

• greske indekser for 4-vektorer (α, β, μ, ...)

• romanske indekser for 3-vektorer (i, j, k, ...).

Vi kan nå uttrykke invarians av lyshastigheten ved å si at x_{μ}x_{μ} er en invariant. Med andre ord: normen av posisjonsvektoren i Minkowskirommet er konstant under en Lorentztransformasjon. Fra kapittel 5.2: en lineær transformasjon som ikke endrer vektorens lengde (størrelse, norm) er en såkalt ortogonal transformasjon.

Lorentztransformasjonen er en ortogonal transformasjon i Minkowskirommet

Lorentztransformasjonen på matriseform:

x′ = 𝕃x  evt.  x′_{μ} = L_{μν}x_{ν}

Vi valgte relativ hastighet v langs z-aksen: v⃗ = vẑ = vx̂_{3}, gir transformasjonsmatrisen:

𝕃 = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & γ & iβγ \\ 0 & 0 & −iβγ & γ \end{matrix} ]

Fra kapittel 5 vet vi også at for en ortogonal matrise gjelder:

𝕃^{−1} = 𝕃̃,

der 𝕃̃ er den transponerte av 𝕃. Invers Lorentztransformasjon kan derfor skrives slik:

x_{μ} = L_{μν}^{−1}x′_{ν} = L̃_{μν}x′_{ν} = L_{νμ}x′_{ν},

og vi kan umiddelbart skrive ned den inverse transformasjonsmatrisen:

𝕃^{−1} = 𝕃̃ = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & γ & −iβγ \\ 0 & 0 & iβγ & γ \end{matrix} ]

Som før ser vi at invers Lorentztransformasjon svarer til å la v → −v.

8.2.1 Einsteins addisjonsformel

Vi ser som før på to inertialsystemer S og S′ der S′ beveger seg i forhold til S med hastighet v langs z-aksen. Vi velger at origo i de to systemene sammenfaller ved t = t′ = 0. Vi lar u⃗ = \frac{dr⃗}{dt} være den vanlige tredimensjonale hastigheten til en materiell partikkel i systemet S. På komponentform: u_{x} = \frac{dx}{dt},u_{y} = \frac{dy}{dt} og u_{x} = \frac{dz}{dt}.

I S′-systemet er tilsvarende u′_{x} = \frac{dx′}{dt′},u′_{y} = \frac{dy′}{dt′} og u′_{x} = \frac{dz′}{dt′}. Fra Lorentztransformasjonen får vi at

dx′ = dx
dy′ = dy
dz′ = γ(dz − vdt)
dt′ = γ(dt − \frac{v}{c^{2}} dz),

som gir oss

u′_{x} = \frac{dx′}{dt′} = \frac{dx}{γ(dt − \frac{v}{c^{2}} dz)} = \frac{u_{x}}{γ(1 − vu_{z}/c^{2})}.  (8.1)

Tilsvarende blir

u′_{y} = \frac{u_{y}}{γ(1 − vu_{z}/c^{2})},  (8.2)

mens

u′_{z} = \frac{dz′}{dt′} = \frac{γ(dz − vdt)}{γ(dt − \frac{v}{c^{2}} dz)} = \frac{u_{z} − v}{1 − vu_{z}/c^{2}}  (8.3)

Ligningene (8.1), (8.2) og især (8.3), kalles Einsteins addisjonsformler. Vi legger merke til at

1. Når v ≪ c, dvs. β ≪ 1 og γ ≃ 1, blir u′_{x} = u_{x}, u′_{y} = u_{y} og u′_{z} = u_{z} − v, altså u′ = u⃗ − v⃗. Dette er Galileitransformasjonen.

2. Den ekstremt relativistiske grensen v → c, β → 1 gir u′_{z} → \frac{u_{z}−c}{1−u_{z}/c} ≈ −c, men vi ser at vi hele tiden har |u′_{z}| < c.

8.2.2 Formelle egenskaper til 𝕃

En generell transformasjon i Minkowskirommet (som bevarer konstanten c) kan skrives på formen:

x′ = 𝕃x + a,

der 𝕃 er en ortogonal 4×4-matrise og a en 4-dim. translasjonsvektor (svarer til skifte av origo. Kan være romlig translasjon eller omdefinering av nullpunkt for tid).

En transformasjon som består av en Lorentztransformasjon og en translasjon (som dette) kalles en Poincarétransformasjon. Kalles også en inhomogen Lorentztransformasjon når a ≠ 0.

At 𝕃 er ortogonal medfører (se kapittel 5.3)

𝕃𝕃̃ = 𝕃̃𝕃 = 𝕀.

Det gir 10 betingelser (det kan du selv sjekke) for elementene i 𝕃 og dermed 16-10=6 uavhengige elementer i 𝕃. Med 4 uavhengige elementer i a, gir det at en generell Poincarétransformasjon har 6+4=10 uavhengige elementer.

En homogen Lorentztransformasjon har formen x′ = 𝕃x og har dermed 6 frie elementer. Vi skal videre kun se på homogene Lorentztransformasjoner.

Ortogonalitetsbetingelsen gir at (jf. kapittel 5.3)

𝕀 = 𝕃𝕃̃
⇓
1 = |𝕀| = |𝕃𝕃̃| = |𝕃| · |𝕃̃|
⇓
|𝕃| = ±1.

Vi skiller mellom • |𝕃| = 1: proper Lorentztransformasjon; kan gå kontinuerlig over i identitetstransformasjonen 𝕀.

• |𝕃| = −1: improper Lorentztransformasjon; kan ikke fremkomme kontinuerlig fra identitetstransformasjonen. Fås f.eks. ved inversjon av romaksene men ikke tidsaksen.

Vi skal nå se at vi må ha L_{44}^{2} ≤ 1. Vi har at 𝕃𝕃̃ = 1, så

L_{μα}L̃_{αν} = δ_{μν} ⟹ L_{44}^{2} + L_{4j}L_{4j} = 1.

Ettersom L_{4j} forbinder en imaginær koordinat x′_{4} med en reell romkoordinat x_{j}, må vi ha L_{4j}L_{4j} ≤ 0 (og reell), og dermed

L_{44}^{2} = 1 − L_{4j}L_{4j} ≥ 1  (og reell).  (8.4)

Vi mellom de to mulige måtene dette kan oppfylles på

• L_{44} ≥ 1: ortokron transformasjon.

• L_{44} ≤ −1: ikke-ortokron transformasjon. Involverer tidsinversjon.

Den eneste typen Lorentztransformasjon som kan gå kontinuerlig over i 𝕀 er proper og ortokron, dvs. med |𝕃| = +1 og L_{44} ≥ 1. Dette kalles gjerne begrenset Lorentztransformasjon, og reduserer seg til Gailieitransformasjonen ved v ≪ c.

8.3 Litt om reell metrikk

Dette er ikke direkte eksamensstoff, men notasjonen vi presenterer her, dukker opp senere for den som vil se nærmere på f.eks. feltteori.

Definerer et Riemannrom med koordinater x_{μ} som kan være reelle eller komplekse. Metrikken eller den metriske tensoren g_{μν} gir uttrykket for et infinitesimalt buelengdeelement:

ds^{2} = g^{μν}dx_{μ}dx_{ν}

Notasjonen er:

• Kovariante vektorkomponenter har nedre indeks: x_{μ}

• Kontravariante vektorkomponenter har øvre indeks: x^{μ}.

Navnene har sammenheng med måten vektorene endrer seg under infinitesimale transformasjoner. Vi skal ikke gå nærmere inn på dette her.

Den metriske tensoren g gir sammenhengen mellom x_{μ} and x^{ν}:

x_{μ} = g_{μν}x^{n}u, x^{μ} = g^{μν}x_{ν}

For veielementet ds kan vi da skrive:

ds^{2} = dx_{μ}g^{μν}dx_{ν} = dx_{μ}dx^{μ}.

Det betyr at dersom ds^{2} er invariant, så er også dx_{μ}dx^{μ} invariant.

For det komplekse Minkowskirommet vi har regnet med hadde vi x_{4} = ict, så vi kan bruke g = 𝕀, og får

ds^{2} = dx^{2} + dy^{2} + dz^{2} − c^{2}dt^{2},

som vi tidligere har vist at er en invariant. I dette tilfellet blir g_{μν} = g^{μν}, x_{μ} = x^{ν} og vi har Tr(g) = +4. “Tr” står for “Trace” eller spor på norsk , og er en operator definert som:

Tr(𝔸) = ∑_{μ} A_{μμ},

dvs. summen av diagonalelementene i matrisen.

La oss se på et par alternativer til det komplekse Minkowskirommet.

1. La

x^{0} = ct,  x^{1} = x,  x^{2} = y,  x^{3} = z.

For å få ds^{2} = g_{μν}dx^{μ}dx^{ν} invariant, la oss velge metrikken

g_{μν} = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ,

som gir

dx_{0} = g_{0ν}dx^{ν} = g_{00}dx^{0} = −c · dt
dx_{1} = g_{1ν}dx^{ν} = g_{11}dx^{1} = dx
dx_{2} = g_{2ν}dx^{ν} = g_{22}dx^{2} = dy
dx_{3} = g_{3ν}dx^{ν} = g_{33}dx^{3} = dz,

altså

ds^{2} = −c^{2}dt + dx^{2} + dy^{2} + dz^{2},

som vi vet er invariant. I dette tilfellet er Tr(g) = +2.

2. La igjen

x^{0} = ct,  x^{1} = x,  x^{2} = y,  x^{3} = z,

men nå med metrikken

g_{μν} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) ,

og vi får

dx_{0} = +dx^{0} = c · dt
dx_{1} = −dx^{1} = −dx
dx_{2} = −dx^{2} = −dy
dx_{3} = −dx^{3} = −dz,

med kurveelementet

ds^{2} = c^{2}dt − dx^{2} − dy^{2} − dz^{2},

igjen en invariant. I dette tilfellet er Tr(g) = −2.

I vitenskapen er det gjerne slik at dersom noe kan gjøres på to måter, så gjøres det på begge, og valg av metrikk er dessverre intet unntak. De to valgene over er akkurat like gode, og er begge i bruk i forskjellige deler av litteraturen til potensiell forvirring for leseren.

En god motivasjon til å benytte reell metrikk istedet for den komplekse dukker raskt opp når en skal kombinere metrikken med kvantemekanikk, slik en for eksempel raskt må i partikkelfysikk. Sett at en betrakter en bølgefunksjon i et 4-dimensjonalt rom beskrevet av en kompleks Minkowski-metrikk, og ønsker å komplekskonjugere denne (svarer til i → −i). Bølgefunksjonen skal konjugeres (imaginærdel skifter fortegn), mens selve rommet, og dermed koordinatsystemet, forblir uforandret (imaginærdel skifter ikke fortegn), og dermed må en holde styr på hvilke i-er som hører koordinatsystemet til og hvilke som hører bølgefunksjonen til. I dette kurset støter vi imidlertid ikke på slike problemer og fortsetter derfor ubekymret å betrakte den komplekse formuleringen.

8.4 Kovariant firedimensjonal formulering

Til grunn i relativitetsteorien ligger prinsippet om at alle inertialsystemer har nøyaktig samme fysiske lover (ekvivalensprinsippet), og som vi har sett gjør dette at det er nødvendig at tidskoordinaten transformeres på samme måte som romkoordinater ved overgang mellom inertialsystemer, og at alle de fire koordinatene må inngå i relativistiske bevegelsesligninger på like fot (de som kjenner Schrödingerligningen fra kvantemekanikken husker kanskje at denne inneholder dobbeltderivasjon av romkoordinater, men kun en enkel derivasjon med hensyn på tiden. Schrödingerligningen kan derfor ikke være relativistisk, og det er den heller ikke). Dette er en motivasjon for å innføre det firedimensjonale Minkowskirommet i vår spesielle relativitetsteori. I den generelle relativitetsteorien er en lignende formulering (se evt. kap. 8.3) ikke bare hensiktsmessig, men temmelig nødvendig.

MERK: Uttrykket “kovariant” her har ingenting å gjøre med distinksjonen mellom de ulike vektorkomponentene i avsnitt 8.3! I denne forbindelse setter vi likhetstegn mellom kovarians og forminvarians. Vi ønsker altså å se i hvilken grad fysiske ligninger bevarer sin form under en Lorentztransformasjon. Anta at en fysisk ligning har formen

F_{αβγ...} = G_{αβγ...},

da er ligningen kovariant dersom

F′_{αβγ...} = G′_{αβγ...}

etter en Lorentztransformasjon. α, β osv. er de frie indeksene i ligningen (i motsetning til eventuelle summerte indekser).

Vi starter med å betrakte et punkt i Minkowskirommet med koordinater (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}). En partikkel som beveger seg i rommet vil beskrives av en “vei” i Minkowskirommet.

“World line” egenlinje

En liten endring av koorinatene langs egenlinjen beskrives av 4-vektoren dx_{μ}. Vi har sett at dx_{μ}dx_{μ} er en Lorentzinvariant (dvs. har samme verdi målt i alle inertialsystemer).

Vi definerer egentiden:

dx_{μ}dx_{μ} ≡ −c^{2}dτ^{2}.  (8.5)

Vi legger nå inertialsystemet S′ “på” partikkelen som beveger seg, dvs. partikkelen er i ro i S′. Da har vi

dx′_{μ} = (0, 0, 0, icdt′)  ⟹  dx′_{μ}dx′_{μ} = −c^{2}dt′^{2}
dτ = dt′

Sett fra inertialsystemet S, beveger partikkelen seg med hastighet u (u^{2} = (\frac{dx}{dt})^{2} + (\frac{dy}{dt} )^{2} + (\frac{dz}{dt} )^{2}). Her er

dx_{μ} = (dx, dy, dz, icdt)
dx_{μ}dx_{μ} = dx^{2} + dy^{2} + dz^{2} − c^{2}dt^{2}
⇓
−c^{2} (\frac{dτ}{dt} )^{2} = u^{2} − c^{2}
dτ^{2} = (1 − u^{2}/c^{2})dt^{2}
dt = \frac{dτ}{\sqrt{1 − β^{2}}} > dτ

Med ord: klokka i S (der partikkelen beveger seg) viser en tid dt som er lengre enn tida dτ som vises på klokka i S′ (der partikkelen er i ro, partikkelens hvilesystem). Dette kalles tidsdilatasjon Eksempel: Levetid for μ-mesoner (myoner) i atmosfæren

Myoner dannes pga. kosmisk stråling i den ytre atmosfæren ved d ∼6 km. fra jordoverflaten. Levetiden i myonets hvilesystem er τ = 2 · 10^{−6}s Myonets hastighet ift. jorden er (typisk) 2.994 · 10^{8}m/s, altså ganske nær lysets hastighet. Ikkerelativistisk ville et myon tilbakelegge en avstand l_{0} = vτ = 600m iløpet av sin levetid, og nesten ingen myoner skulle nå frem til oss. Dette er ikke i samsvar med målinger ved jordoverflaten, der myondeteksjoner er hyppige. En relativistisk betraktning må til.

• Sett fra jorda: Myonets levetid blir

t = \frac{τ}{\sqrt{1 − v^{2}/c^{2}}} ≈ 32 · 10^{−6}s,

og med hastigheten v =2,994·10^{8}m/s kan et typisk meson tilbakelegge en avstand

l = vt ≈ 9, 6km > d,

dvs. de fleste myoner når frem til jorda!

• Sett fra myonets hvilesystem: Jorda beveger seg med hastigheten v =2,994·10^{8}m/s mot myonet. Lorentztransformasjonen z′ = γ(z − vt) gir sammenhengen mellom avstand z′ observert fra jorda og avstand z og tid t observert fra myonets hvilesystem. La myonet dannes ved t = 0. Avstand til jorda, sett fra myonet, blir dermed

z = z′\sqrt{1 − β^{2}} ≈ 375m,

der vi har brukt z′ ≈ 6km. Det betyr at jorda når frem til myonet etter en tid t = z/v ≈ 1, 25 · 10^{−6}s, altså i god tid før myonet dør!

Eksperiment, CERN 1975: Bailey et al. Physics Letters 55B, 420 (1975)

Eksempel: Tvillingparadokset

Vi ser på følgende tilfelle. Klokke B reiser vekk fra klokke A, snur og kommer tilbake. Klokke A viser at B har vært borte en tid T, mens klokke B viser at B har vært borte en tid T/γ.

Men: Kan ikke klokke B oppfatte situasjonen slik at det er den som er i ro mens A reiser vekk og kommer tilbake? Isåfall ville B forvente at A har målt en tid T/γ^{2} på sin klokke.

Nei! Situasjonen er ikke symmetrisk! Asymmetrien kommer av at B snur. Han endrer sin hastighet fra v til −v (eller tilsvarende) og utsettes dermed for en akselerasjon (som han selv kan måle). Med andre ord skifter B fra ett inertialsystem til et annet, mens A ikke gjør det.

Denne asymmetrien kan utledes mer rigorøst ved å betrakte lyssignaler emittert fra A og B med jevne mellomrom (målt på klokkene A og B) og benytter Dopplereffekten: På vei ut mottar bode A og B den andres signal med redusert frekvens f′ = f[(1 − β)/(1 + β)]^{1/2}. Når B snur, mottar han straks signaler med frekvens f′′ = f[(1 + β)/(1 − β)]^{1/2} fra A, mens det tar en tid L/c før A begynner å motta signaler med frekvens f′′ fra B.

Eksempel: Klokker i rutefly rundt jorden

Nøyaktige Cs-klokker er i eksperiment blitt plassert i fly som går rundt jorda. Tidsdilatasjon ble da målt

med en nøyaktighet på ca. 10% [Hafele og Keating, Science 177, 166 (1972)].

Med v ∼ 500km/h∼ 140m/s blir γ ≈ 1 + 10^{−13}. Dermed, med Δt ≈ 11timer ≈ 4 · 10^{4}s, blir Δτ = Δt(1 − 10^{−13}) = Δt − 4 · 10^{−9}s. Klokka i flyet har altså saknet med 4 nanosekunder i forhold til den på jorda, i overenstemmelse med det som ble målt.

Vi har sett at ds^{2} = dx_{μ}dx_{μ} kan være positiv, negativ eller lik null. Vi skiller mellom disse tilfellene:

• romrettet (“space-like”) dersom x_{μ}x_{μ} > 0,

• tidrettet (“time-like”) dersom x_{μ}x_{μ} < 0,

• lyslik eller null (“light-like”) dersom x_{μ}x_{μ} = 0.

Hvorfor disse betegnelsene? Betrakt to hendelser beskrevet ved hhv. x_{1μ} = (r⃗_{1}, ict_{1}) og x_{2μ} = (r⃗_{1}, ict_{2}). Vi ser på differansevektoren

X_{μ} = x_{1μ} − x_{2μ} = (r⃗_{1} − r⃗_{2}, ic(t_{1} − t_{2})).

med normen

X_{μ}X_{μ} = |r⃗_{1} − r⃗_{2}|^{2} − c^{2}(t_{1} − t_{2})^{2}

Vi velger et koordinatsystem slik at r⃗_{1} − r⃗_{2} ligger langs z-aksen. I et system S′ som beveger seg med hastighet v langs z-aksen, blir da

t′_{1} − t′_{2} = γ [t_{1} − t_{2} − \frac{v}{c^{2}} (z_{1} − z_{2})] = \frac{γ}{c} [c(t_{1} − t_{2}) − β(z_{1} − z_{2})]

Hvis X_{μ} er romrettet (eller null), er X_{μ}X_{μ} ≥ 0, dvs. c|t_{1} − t_{2}| ≤ |z_{1} − z_{2}|, og det vil alltid finnes en hastighet ≤ c som gir t′_{1} − t′_{2} = 0, dvs. det rinnes alltid et inertialsystem S′ der de to hendelsene oppfattes som simultane. Hvis X_{μ} er tidrettet, er X_{μ}X_{μ} < 0, c|t_{1} − t_{2}| > |z_{1} − z_{2}|, og vi kan ikke finne et inertialsystem der hendelsene oppfattes som simultane.

Heldelser med romrettet separasjon kan altså ikke forbindes med et lyssignal, m.a.o. kan de to hendelsene ikke influere hverandre. De to hendelsene kan gjøres simultane, så “før” og “etter” er ikke entydig bestemt. Hendelser med tidrettet separasjon kan forbindes med et lyssignal, så de to hendelsene har mulighet til å influere hverandre. Nå kan hendelsene imidlertid ikke gjøres simultane (dvs. t_{1} > t_{2} ⇒ t′_{1} > t′_{2} uansett inertialsystemer) så “før” og “etter” er entydige begreper. Vi kan nå snakke om kausalitet, prinsippet om årsak før virkning.

8.4.1 Firerhastighet

Det virker naturlig å definere den firedimensjonale hastigheten slik

u_{μ} = \frac{dx_{μ}}{dτ} ,  (8.6)

der dx_{μ} = (dx_{i}, ic · dt) og τ er den Lorentzinvariante skalaren vi kalte egentiden.

u_{i} = \frac{dx_{i}}{dτ} = γ \frac{dx_{i}}{dt} = γu_{i}
u_{4} = \frac{dx_{4}}{dτ} = ic\frac{dt}{dτ} = icγ,

altså

u_{μ} = γ(u⃗, ic)  (8.7)

Firerhastigheten er tidsrettet, for

u_{μ}u_{μ} = γ^{2}u^{2} − γ^{2}c^{2} = \frac{u^{2} − c^{2}}{1 − u^{2}/c^{2}} = −c^{2} < 0.  (8.8)

Det er nyttig å merke seg at u_{μ}u_{μ} = −c^{2} er en invariant.

8.4.2 Firerstrømtetthet

Vi husker kontinuitetsligningen for en generell ladningstetthet ρ (“ladning” kan her bety f.eks. masse, total sannsynlighet elektrisk ladning):

∇ · j⃗ − \frac{∂ρ}{∂t} = 0,

der j⃗ er den tilhørende strømtettheten. Ligningen er ekvivalent med en lokal bevaringslov ladningen tilsvarende ρ: divergensen (det vil si netto strøm ut av et infinitesimalt volumelement) er lik tidsendringen i tettheten (altså tidsendringen av mengden ladning innenfor samme infinitesimale volumelement), eller med andre ord: all endring av ladning innenfor et lite volum skyldes strøm av ladning gjennom volumets overflate.

Merk at enhver bevaringslov i relativitetsteorien er nødt til å ha en slik lokal form. “Bevaring” av ladning betyr ikke annet enn at den totale ladningen er lik til enhver tid, men vi kan ikke tillate at en ladning forsvinner ett sted og dukker opp igjen en endelig avstand unna i samme øyeblikk, fordi samtidighet ikke er et absolutt begrep. Sett fra et annet inertialsystem ville det da se ut som om ladningen et lite øyeblikk forsvant eller ble doblet, og den totale ladningen altså ikke bevart.

Kontinuitetsligningen får en elegant form dersom vi definerer firerstrømtettheten

j_{μ} = (j_{i}, icρ).  (8.9)

Da kan kontinuitetsligningen skrives på formen

\frac{∂}{∂x_{μ}} j_{μ} ≡ ∂_{μ}j_{μ} = 0  (8.10)

Ikke uventet er firervektoren j_{μ} nettopp ρ_{0}Uμ, der ρ_{0} er ladningstettheten i inertialsystemet hvor ladningen er i ro, og U_{μ} er firerhastigheten. Dermed:

j_{μ} = ρ_{0}U_{μ} = (γρ_{0}u⃗, icγρ_{0}) = (ρu⃗, icρ) = (j⃗, icρ)  (8.11)

Ladningstettheten ρ for en ladning i bevegelse blir større enn ρ_{0} på grunn av lengdekontraksjonen; ρ = γρ_{0} > ρ_{0}. Ladningsbevarelsen bør holde sett fra ethvert inertialsystem, så vi forventer (forlanger!) at kontinuitetsligningen er kovariant under en Lorentztransformasjon. Da

dx_{μ} = L′_{μν}dx′_{ν} = L̃_{μν}dx_{ν} = L_{νμ}dx_{ν},

følger det at

\frac{∂}{∂x′_{ν}} = \frac{∂x_{μ}}{∂x′_{ν}} \frac{∂}{∂x_{μ}} = L_{νμ} \frac{∂}{∂x_{μ}} .

Dermed transformerer både \frac{∂}{∂x_{μ}} og j_{μ} på samme måte som dx_{μ} under en Lorentztransformasjon, og divergensen ∂_{μ}j_{μ} må derfor være en Lorentzinvariant skalar. Kontinuitetsligningen er dermed kovariant (dvs. har samme form før og etter en vilkårlig Lorentztransformasjon).

8.4.3 Maxwells ligninger og firerpotensial

Litt rekapitulasjon først; Maxwells ligninger (i et medium):

∇ · D⃗ = ρ  ∇ × H⃗ = j⃗ + \frac{∂}{∂t}D⃗
∇ · B⃗ = 0  ∇ × E⃗ = −\frac{∂B}{∂t} ,

der vi har brukt

D⃗ = ϵ_{0}E⃗ + P⃗
H⃗ = \frac{1}{μ_{0}} B⃗ + M⃗

(ϵ_{0}μ_{0} = 1/c^{2}, μ_{0} = 4π · 10^{−7}H/m). Lorentzkraften::

F⃗ = q(E⃗ + u⃗ × B⃗)

Ettersom ∇ · B⃗ = 0, kan vi innføre det elektromagnetiske vektorpotensialet

B⃗ = ∇ × A⃗,

ettersom ∇ · (∇ × A⃗) = 0 for en vilkårlig vektor A⃗. Dermed

∇ × E⃗ + \frac{∂}{∂t}(∇ × A⃗) = 0
⇒ ∇ × (E⃗ × \frac{∂A⃗}{∂t}) = 0,

så vi kan skrive

E⃗ + \frac{∂A⃗}{∂t} = −∇φ,

fordi ∇ × ∇χ = 0 for vilkårlig skalar χ. Vi antar så at vi er i vakuum; P⃗ = 0 og M⃗ = 0:

∇ · D⃗ = ϵ_{0}E⃗ = ϵ_{0} (−∇φ.\frac{∂A⃗}{∂t}) .

∇ · D⃗ = ρ, så

∇ · [ϵ_{0} (−∇φ.\frac{∂A⃗}{∂t})] = ρ

∇^{2}φ + \frac{∂}{∂t}(∇ · A⃗) = −ρ/ϵ_{0}

Vi har videre i vakuum at H⃗ = \frac{1}{μ_{0}} B⃗, og Maxwell-ligningen for curl til magnetfeltet kan vi skrive

∇ × H⃗ = j⃗ + \frac{∂D⃗}{∂t}
\frac{1}{μ_{0}} ∇ × B⃗ = j⃗ + ϵ_{0} \frac{∂}{∂t} (−∇φ − \frac{∂A⃗}{∂t})

∇ × ∇ × A⃗ = μ_{0}j⃗ − ϵ_{0}μ_{0}∇\frac{∂φ}{∂t} − ϵ_{0}μ_{0} \frac{∂^{2}A⃗}{∂t^{2}}

Fra matematikken har vi identiteten ∇ × ∇ × A⃗ = ∇(∇ · A⃗) − ∇^{2}A⃗, så

∇^{2}A⃗ − \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}A⃗}{∂t^{2}} − ∇ (∇ · A⃗ + \frac{1}{c^{2}} \frac{∂φ}{∂t}) = −μ_{0}j⃗

Maxwells 2 skalare ligninger og to vektorligninger for E⃗ og B⃗ (tilsammen åtte skalare ligninger) er nå redusert til en skalar ligning og en vektorligning for φ og A⃗ (tilsammen fire skalare ligninger), men de er fremdeles koblede. Vi kan “dekoble” ligningene ved å utnytte at vi har en viss frihet til selv å velge φ og A⃗;

Da B⃗ = ∇ × A⃗, vil B⃗ bli uforandret ved transformasjonen

A⃗ ⟶ A⃗′ = A⃗ + ∇χ  (χ er en vilkårlig konstant),  (8.12)

fordi ∇ × ∇χ = 0. Men ettersom E⃗ = −∇φ − \frac{∂A⃗}{∂t}, må vi samtidig foreta transformasjonen

φ ⟶ φ′ = φ − \frac{∂χ}{∂t}  (8.13)

for at også E⃗ skal forbli uforandret. Denne friheten til å justere potensialene φ og A⃗ kalles justérinvarians eller (mer vanlig) gaugeinvarians.

Et vanlig valg er å ta χ som oppfyller

∇^{2}χ − \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}χ}{∂t^{2}} = 0.

Dette er såkalt Lorentz-gauge og henger sammen med Lorentzbetingelsen

∇ · A⃗ + \frac{1}{c^{2}} \frac{∂φ}{∂t} = 0.  (8.14)

(Hvis ∇ · A⃗ + \frac{1}{c^{2}} \frac{∂φ}{∂t} = 0, får vi

∇ · A⃗′ + \frac{1}{c^{2}} \frac{∂φ′}{∂t} = ∇ · (A⃗ + ∇χ) + \frac{1}{c^{2}} \frac{∂}{∂t} (φ − \frac{∂χ}{∂t})

= \underbrace{∇ · A⃗ + \frac{1}{c^{2}} \frac{∂φ}{∂t}}_{=0} + \underbrace{∇^{2}χ − \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}χ}{∂t^{2}}}_{=0} . OK! )

Bruker nå Lorentzbetingelsen til å dekoble ligningene for φ og A⃗:

∇^{2}φ + \frac{∂}{∂t}(∇ · A⃗) = −\frac{ρ}{ϵ_{0}}
∇^{2}φ + \frac{∂}{∂t}(−\frac{1}{c^{2}} \frac{∂φ}{∂t}) = −\frac{ρ}{ϵ_{0}}

(∇^{2} − \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} ) φ = −\frac{ρ}{ϵ_{0}}  (8.15)

og

∇^{2}A⃗ − \frac{1}{c^{2}} \frac{∂A⃗}{∂t} − ∇ \underbrace{(∇ · A⃗ + \frac{1}{c^{2}} \frac{∂φ}{∂t})}_{=0} = −μ_{0}j⃗

(∇^{2} − \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} ) A⃗ = −μ_{0}j⃗.  (8.16)

Nå kan vi innføre firerpotensialet

A_{μ} = (A⃗, iφ/c).  (8.17)

Lorentzbetingelsen får da formen

∂_{μ}A_{μ} = 0  (8.18)

og “bølgeligningene” 8.15 og 8.16 kan skrives som

□^{2}A_{μ} = −μ_{0}j_{μ},  (8.19)

der

□^{2} ≡ ∂_{μ}∂_{μ} = ∇^{2} − \frac{1}{c^{2}} \frac{∂^{2}}{∂t^{2}}  (8.20)

er D’Alemberts operator. Firerstrømtettheten j_{μ} definerte vi i ligning 8.9.

Dermed ser vi at A_{μ} transformerer som j_{μ}, dvs. som x_{μ}, under en Lorentztransformasjon (□^{2} er en invariant skalar operator), og vi kan konkludere med at

Maxwells elektromagnetiske teori er kovariant, det vil si i samsvar med den spesielle relativitetsteorien.

(8.21)

8.5 Relativistisk mekanikk

Newtons 2. lov, F⃗ = ma⃗, er invariant under en Galileitransformasjon, men ikke under en Lorentztransformasjon. Dermed er det nødvendig å finne en generalisering av Newtons mekanikk som

• tilfredsstiller kravet om kovarians i spesiell relativitetsteori, og

• reduserer seg til \frac{d}{dt}(mu_{i}) = F_{i} for v_{i} ≪ c.

Vi ønsker å arbeide med følgende størrelser:

m, invariant masse
τ, egentid
U_{μ}, firerhastighet
K_{μ}, Minkowskikraften

Ettersom

lim_{u→0} dτ = lim_{u→0} \frac{1}{γ} dt = dt
lim_{u→0} U_{i} = lim_{u→0} γu_{i} = u_{i},

må vi kreve at

lim_{u→0} K_{i} = F_{i}.

Når vi nå skal forsøke å finne uttrykk for K_{i}, bruker vi elektromagnetisk teori, fordi

• Vi har sett at den er kovariant, og

• vi kjenner allerede Lorentzkraften,

F⃗ = q(E⃗ + u⃗ × B⃗)

Vi har

F⃗ = q(E⃗ + u⃗ × B⃗) = q(−∇φ − \frac{∂A⃗}{∂t} + u⃗ × ∇ × A⃗)
u⃗ × ∇ × A⃗ = ∇(u⃗ · A⃗) − (u⃗ · ∇)A⃗
⇓
F_{i} = −q [∂_{i}(φ − u⃗ · A⃗) + \frac{dA_{i}}{dt} ]

Da

U_{μ}A_{μ} = γu_{i}A_{i} + γic\frac{iφ}{c} = γ(u⃗ · A⃗ − φ),

og dτ = γdt, får en

F_{i} = −q [−\frac{1}{γ} ∂_{i}(U_{μ}A_{μ}) + \frac{1}{γ} \frac{dA_{i}}{dτ} ] = \frac{q}{γ} [∂_{i}(U_{μ}A_{μ}) − \frac{dA_{i}}{dτ} ] .

Både ∂_{i} ≡ \frac{∂}{∂x_{i}} og dA_{i} transformerer som romkomponenter av en firervektor (mens U_{μ}A_{μ} og dτ er invariante skalarer), så vi identifiserer

K_{i} = q [∂_{i}(U_{μ}A_{μ}) − \frac{dA_{i}}{dt} ]

K_{i} = γF_{i}  (8.22)

Minkowskikraften blir altså

K_{μ} = q [∂_{μ}(U_{μ}A_{μ}) − \frac{dA_{μ}}{dτ} ]  (8.23)

for kraft på ladde partikler.

Det er nå naturlig å innføre firerimpulsen:

p_{μ} = mU_{μ} = (mγu⃗, icγm),  (8.24)

slik at vi kan skrive Minkowskikraften på formen

K_{μ} = \frac{dp_{μ}}{dτ} .  (8.25)

Med (8.25), dτ = \frac{dt}{γ} og K⃗ = γF⃗, får vi:

F⃗ = \frac{dp⃗}{dt}  (8.26)

også relativistisk!

Hva så med tidsdimensjonen av Minkowskikraften, K_{4}? Vi fant i ligning 8.8 at U_{μ}U_{μ} = −c^{2}, så

U_{μ}K_{μ} = U_{μ} \frac{d}{dτ} (mU_{μ}) = \frac{d}{dτ} (\frac{1}{2}mU_{μ}U_{μ}) = −\frac{d}{dτ} (\frac{1}{2}mc^{2}) = 0,

så

U_{i}K_{i} + U_{4}K_{4} = 0
γu_{i}γF_{i} + icγK_{4} = 0
K_{4} = \frac{iγ}{c} F⃗ · u⃗,

altså

K_{μ} = γ(F⃗ , \frac{i}{c}F⃗ · u⃗).  (8.27)

Vi har \frac{dp_{4}}{dτ} = K_{4}, p_{4} = mU_{4} = icmγ, og K_{4} = \frac{i}{c}γF⃗ · u⃗, og dermed

\frac{d}{dτ} (icmγ) = \frac{i}{c}γF⃗ · u⃗
\frac{d}{dt}(γmc^{2}) = F⃗ · u⃗
\frac{dE}{dt} = F⃗ · u⃗;  E = γmc^{2} = \frac{mc^{2}}{\sqrt{1 − u^{2}/c^{2}}}

(merk: i Goldstein brukes T istedet for E). Alt oppsummert:

\frac{dp⃗}{dt} = F⃗;  \frac{dE}{dt} = F⃗ · u⃗;  p_{μ} = (p⃗, \frac{i}{c}E)  (8.28)

Hvis β ≪ 1 fås E = mc^{2} + \frac{1}{2}mu^{2} = hvileenergi + kinetisk energi (ofte brukes m_{0} om den invariante massen, men vi bruker bare m). Dersom partikkelen er i et ytre felt må den potensielle energien V legges til for at vi skal få den totale energi (målt i forhold til et definert nullpunkt).

Ettersom p_{μ} = mu_{μ} = m\frac{dx_{μ}}{dτ}, må p_{μ} transformere på samme måte sm x_{μ} under en Lorentztransformasjon. Vi velger hastigheten v langs z-aksen som vanlig.

p′ = 𝕃p

𝕃 = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & γ & iβγ \\ 0 & 0 & −iβγ & γ \end{matrix} ] ,

så

p′_{1} = p_{1},  p′_{2} = p_{2}
p′_{3} = γp_{3} + iβγp_{4} = γ(p_{3} − \frac{β}{c} E)
p′_{4} = −iβγp_{3} + γ \frac{iE}{c} p_{4}
\frac{iE′}{c} = −iβγp_{3} + γ \frac{iE}{c} ,

og

E′ = γ(E − vp_{3}).

La oss regne ut invarianten p_{μ}p_{μ} i partikkelens hvilesystem:

p_{μ}p_{μ} = p^{2} − E^{2}/c^{2} = −\frac{(mc^{2})^{2}}{c^{2}} = −m^{2}c^{2},

ettersom p = 0 og γ = 1 i dette systemet. Da kan vi skrive generelt:

E^{2} = p^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}  (8.29)

Et foton har m = 0 og dermed E = pc. Videre har fotonet E = hν, så

pc = pνλ = hν
p_{ph} = \frac{h}{λ}  (8.30)

Dette er de Broglies formel for partikkel-bølge-dualisme.

Eksempel: Energibevarelse og masseendring

Anta fullstendig uelastisk støt (illustrert):

Romlig impulsbevarelse, dvs. at p⃗ er konstant i tid, impliserer umiddelbart at også energien E er bevart, ettersom Lorentztransformasjonen “blander” E med komponenter av p⃗. Dermed må total firerimpuls p_{μ} = (p⃗, \frac{iE}{c}) være bevart.

P_{μ} = p_{1μ} + p_{2μ} = (p⃗_{1} + p⃗_{2}, i\frac{E_{1} + E_{2}}{c}

Bevarelse av P_{4}:

γmc^{2} + γmc^{2} = Mc^{2}  ⟹  M = 2γm > 2m,

så masseøkningen er

ΔM = M − 2m = 2m(γ − 1)c^{2}.

Kinetisk energi før kollisjonen (“sammensmeltingen”) er omgjort til hvileenergi og dermed masse.

8.6 Relativistisk kinematikk

Relativistisk mekanikk spiller en helt sentral rolle innen høyenergi- og partikkelfysikk som f.eks. kommer til anvendelse i partikkelakseleratorer. I partikkelakseleratoren LHC (Large Hadron Collider) som idet dette skriver fremdeles er under bygging ved CERN og er planlagt å komme i drift i 2007, kan protoner akselereres til energier opp til 14 TeV (1 TeV = 10^{12}eV). Til sammenligning er protonets hvileenergi ca. 1 GeV, fire størrelsesordener mindre!

Vi skal se på en situasjon der to partikler kolliderer/vekselvirker og danner nye partikler (muligens fler enn 2).

Vi kjenner altså ikke detaljene i støtet, men vi kan likevel bruke klassisk mekanikk på systemet tilstrekkelig lang tid før og etter selve kollisjonsøyeblikket (som må behandles kvantemekanisk). I CM-systemet er total impuls P⃗ = 0 (både før og etter kollisjonen, pr. definisjon). Bevaring av impuls og energi kan vi som vi har sett uttrykke samlet som bevaring av firerimpuls.

8 SPESIELL RELATIVITETSTEORI 100

Figur 25: Relativistisk kollisjon mellom to partikler. To eller flere partikler produseres. Total firerimpuls før støtet

P_{μ} = p_{1μ} + p_{2μ},

og etter støtet

P′_{μ} = p_{3μ} + p_{4μ} + ...

må være like.

Anta at vi er i CM-systemet, og innfører ekvivalent masse til systemet:

M ≡ \frac{E′}{c^{2}} .  (8.31)

Vi har at

P′_{μ}P′_{μ} = \underbrace{P⃗^{′^{2}}}_{=0} + (\frac{iE′}{c} )^{2} = − (\frac{E′}{c} )^{2} = −M^{2}c^{2}

Da P_{μ}P_{μ} er invariant, må vi også ha P_{μ}P_{μ} = −M^{2}c^{2} før støtet. Dermed

P_{μ}P_{μ} = (p_{1μ} + p_{2μ})(p_{1μ} + p_{2μ}) = p_{1μ}p_{1μ} + p_{2μ}p_{2μ} + 2p_{1μ}p_{2μ}

= −m_{1}^{2}c^{2} − m_{2}^{2}c^{2} + 2 (p⃗_{1} · p⃗_{2} − \frac{E_{1}E_{2}}{c^{2}} )

= −M^{2}c^{2},

der vi har brukt at p_{μ}p_{μ} = −m^{2}c^{2} (se s. 98). Så

−M^{2}c^{4} = (E′)^{2} = (m_{1}^{2} + m_{2}^{2})c^{4} + 2(E_{1}E_{2} − c^{2}p⃗_{1}p⃗_{2}).

Anta at en partikkel i utgangspunktet er i ro i labsystemet, f.eks. p⃗_{2} = 0. Da er E_{2} = m_{2}c^{2}, og

(E′)^{2} = M^{2}c^{4} = (m_{1}^{2} + m_{2}^{2})c^{4} + 2E_{1}m_{2}c^{2}

= (m_{1} + m_{2})^{2}c^{4} + 2E_{1}m_{2}c^{2} − 2m_{1}m_{2}c^{4}

= (m_{1} + m_{2})^{2}c^{4} + 2m_{2}c^{2} \underbrace{(E_{1} − m_{1}c^{2})}_{K_{1}},

der K_{1} er kinetisk energi til partikkel nr. 1. Det vil si (E′)^{2} = M^{2}c^{4} = (m_{1} + m_{2})^{2}c^{4} + 2m_{2}c^{2}K_{1}.

Vi ser at tilgjengelig energi E′ i CM-systemet øker langsomt med innkommende kinetisk energi:

For K_{1} ≫ m_{1}c^{2}, m_{2}c^{2} : E′ ∼ \sqrt{K_{1}}

Terskelenergien (kjent fra atom- og kjernefysikk?) er den minste energien som trengs for å få en reaksjon til å gå. I vårt system tilsvarer dettte at alle reaksjonsproduktene er i ro i CM-systemet etter kollisjonen. I dette tilfellet blir den ekvivalente massen lik summen av massene til reaksjonsproduktene:

M = ∑_{r} m_{r},

så

(∑_{r} m_{r})^{2}c^{4} = (m_{1} + m_{2})^{2}c^{4} + 2m_{2}c^{2}K_{1}

\frac{K_{1}}{m_{1}c^{2}} = \frac{(∑_{r} m_{r})^{2} − (m_{1} + m_{2})^{2}c^{4}}{2m_{1}m_{2}} ,

der vi altså har antatt at partikkel 2, “target” lå i ro. Reaksjonens Q-verdi defineres slik:

Q = ∑_{r} m_{r}(m_{1} + m_{2}) = ny masse i CM-systemet.  (8.32)

Vi får da

(∑_{r} m_{r})^{2} − (m_{1} + m_{2})^{2} = (Q + m_{1} + m_{2})^{2} − (m_{1} + m_{2})^{2} = Q^{2} + 2Q(m_{1} + m_{2})

\frac{K_{1}}{m_{1}c^{2}} = \frac{Q^{2} + 2Q(m_{1} + m_{2})}{2m_{1}m_{2}}

Eksempel: Produksjon av antiproton

Vi betrakter reaksjonen

p + N ⟶ p + N + p + p̄,

der N representerer et nukleon (n eller p). Vi gjør forenklingen

m_{p} ≈ m_{n} ≈ mp̄ ≈ 938MeV/c^{2} ≡ m.

Q-verdien blir

Q = 4m − 2m = 2m,

og

\frac{K_{1}}{mc^{2}} = \frac{(2m)^{2} + 4m · 2m}{2m^{2}} = \frac{4 + 8}{2} = 6
K_{1} = 6mc^{2} = 5.57GeV
\frac{K_{1}}{c^{2}} = 6m = 3Q.

Vi har her latt N ligge i ro. La nå istedet p⃗_{1} = −p⃗_{2} før støtet (dvs. at CM-systemet og lab.systemet nå er det samme). Da får vi

K_{1} = K_{2} = mc^{2} = 938MeV (all kinetisk energi kan gå over i hvileenergi!)
\frac{K_{1}}{c^{2}} = m = \frac{1}{2}Q

Vi ser at det er svært hensiktsmessig å akselerere partiklene i motsatt retning i en ringformet bane.

8.6.1 Relativistisk felttensor

Vi velger konfigurasjonen vår som før:

Lorentztransformasjonen som en 4-dimensjonal tensor av rang 2 skriver vi:

L_{μν} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & γ & iβγ \\ 0 & 0 & −iβγ & γ \end{matrix} )

Den elektromagnetiske felttensoren defineres slik:

F_{μν} = ∂_{μ}A_{ν} − ∂_{ν}A_{μ} = A_{ν,μ} − A_{μ,ν}.  (8.33)

A_{μ} = (A⃗, iφ/c) er det elektromagnetiske firerpotensialet som vi definerte i ligning 8.17.

Vi ser at dette er en antisymmetrisk tensor , dvs.

F_{νμ} = −F_{μν}

(generelt sier vi at en tensor med vilkårlig antall indekser er antisymmetrisk i indeksene α og β dersom et ombytte av de to indeksene gir samme tensor tilbake, men med motsatt fortegn. Dersom dette er tilfelle ved ombytte av et vilkårlig par av indekser, sier vi at tensoren er fullstendig antisymmetrisk). Dersom vi uttrykker E⃗ og B⃗ ved A⃗ og φ,

E⃗ = −∇φ − \frac{∂A⃗}{∂t},  B⃗ = ∇ × A⃗,

kan vi skrive felttensoren slik:

F_{μν} = ( \begin{matrix}0 & B_{3} & −B_{2} & −\frac{i}{c}E_{1} \\ −B_{3} & 0 & B_{1} & −\frac{i}{c}E_{2} \\ B_{2} & −B_{1} & 0 & −\frac{i}{c}E_{3} \\ \frac{i}{c}E_{1} & \frac{i}{c}E_{2} & \frac{i}{c}E_{3} & 0 \end{matrix} )  (8.34)

Vi Lorentztransformerer F_{μν} slik:

L′_{μν} = L_{μα}L_{νβ}F_{αβ}.  (8.35)

Dette er i utgangspunktet 16 ligninger, men ettersom F_{μν} (og dermed nødvendigvis F′_{μν}!) er symmetrisk, blir 6 av ligningene ekvivalente med andre ligninger. Videre er alle diagonalelementene i L_{μν} og L′_{μν} null (følger av antisymmetrien), så fire nye ligninger forsvinner, og det står igjen seks lineært uavhengige ligninger å løse. For eksempel kan vi ta ligningen μ = 4, ν = 1:

\frac{i}{c}E′_{1} = F′_{41} = L_{4α}L_{1β}F_{αβ} = L_{4i}L_{11}F_{i1} = −iβγB_{2} + γ \frac{i}{c}E_{1}

altså

E′_{1} = γ(E_{1} − vB_{2}),  (8.36)

og tilsvarende får vi

E′_{2} = γ(E_{2} + vB_{1}).  (8.37)

μ = 4, ν = 3 gir

F′_{43} = L_{4α}L_{3β}F_{αβ} = −βγL_{3β}F_{3β} + γL_{3β}F_{4β}

= −βγ · iβγ (−\frac{i}{c}E_{3}) + γ^{2} \frac{i}{c}E_{3} = \frac{i}{c}γ^{2}E_{3}(1 − β^{2}) = \frac{i}{c}E_{3},

dvs.

E′_{3} = E_{3}.  (8.38)

Dersom nå v ≪ c, forenkles ligningene 8.36-8.38 som

E′_{1} = E_{1} − vB_{2},  E′_{2} = E_{2} − vB1,  E′_{3} = E_{3},

som vi kan generalisere til en vektorligning:

E⃗′ = E⃗ + v⃗ × B⃗.  (8.39)

Magnetfeltet gis av “romdelen” av F_{μν}:

F′_{ik} = L_{iα}L_{kβ}F_{αβ}.

F.eks. i = 1 og k = 2 gir

B′_{3} = F′_{12} = L_{1α}L_{2α}F_{αβ} = L_{1α}F_{α2} = F_{12} = B_{3}.  (8.40)

På akkurat samme måte får vi for (i, k) = (2, 3) og (i, k) = (1, 3) henholdsvis

B′_{1} = γ(B_{1} + \frac{β}{c} E_{2})  (8.41)
B′_{2} = γ(B_{2} − \frac{β}{c} E_{1}),  (8.42)

Vi ser på tilfellet v ≪ c og som for det elektriske feltet kan også det transformerte magnetfeltet skrives som en generell vektorligning i dette tilfellet:

B⃗′ = B⃗ \frac{1}{c^{2}} (v⃗ × E⃗).  (8.43)

Ligningene 8.39 og 8.43 benyttes mye i magnetohydrodynamikken (MHD). Dersom de skrives på komponentform gir de tilsammen har 6 skalare ligninger, samme antall vi kom frem til ved kun å betrakte symmetrier i ligning 8.35.

9 Kanoniske transformasjoner

Kanoniske transformasjoner er knyttet til Hamiltonformuleringen av mekanikken. Vi så i kapittel 3 at det som regel ikke er noen fordel med Hamiltonformalismen fremfor Lagrangeformalismen når det gjelder å løse konkrete problemer i mekanikken. Fordelene med Hamiltonformulering er av en mer fundamental art: vi bruker nå koordinater q og impulser p som uavhengige variable på samme nivå. Det viser seg viktig i både statistisk mekanikk og kvantemekanikk.

9.1 Transformasjon av faserommet

Faserommet utspennes av 2n akser; n akser for q_{i} og n akser for p_{i}. Vi husker at kanonisk impuls var gitt ved:

p_{i} = \frac{∂L}{∂q̇_{i}} = p(q, q̇, t), i ∈ \{1, 2, ..., n\}

og Hamiltons ligninger var

\begin{matrix}q̇ = \frac{∂H}{∂P} \\ ṗ = −\frac{∂H}{∂q} \end{matrix} \}; i = 1, 2, ..., n.

Vi har allerede sett at vi kan foreta “vanlige” koordinattransformasjoner

Q_{i} = Q_{i}(q, t)

for eksempel fra kartesiske koordinater, q = {x, y}, til plane polarkoordinater, q = {r, ϑ}. En slik transformasjon kalles en punkttransformasjon. Mer generelt, og fortsatt i overenstemmelse med Hamiltonformuleringen, kan vi transformere både q_{i} og p_{i}; en transformasjon a faserommet:

\begin{matrix}Q_{i} = Q_{i}(q, p, t) \\ P_{i} = P_{i}(q, p, t). \end{matrix}

Q_{i} og P_{i} er kanoniske koordinater som oppfyller “Hamiltons ligninger”:

\begin{matrix}Q̇_{i} = \frac{∂K}{∂P_{i}} \\ Ṗ_{i} = −\frac{∂K}{∂Q_{i}} . \end{matrix}  (9.1)

Størrelsen K(Q, P, t) er som vi ser Hamiltonfunksjonen i de nye koordinatene, og (9.1) er en kanonisk transformasjon.

Vi husker fra kapittel 2 at Lagranges ligninger kan utledes fra Hamiltons prinsipp:

δ∫_{t_{1}}^{t_{2}} L(q, q̇, t)dt = 0.

Tilsvarende kan Hamiltons ligninger utlsedes av det modifiserte Hamiltons prinsipp:

δ∫_{t_{1}}^{t_{2}}[p_{i}q̇_{i} − H(p, q, t)]dt = 0.  (9.2)

Dette kan vi se ved å starte med variasjonsprinsippet

δI = δ∫_{t_{1}}^{t_{2}} f(q, q̇, p, t)dt ≡ δ∫_{t_{1}}^{t_{2}}[p_{i}q̇_{i} − H(p, q, t)]dt = 0.

Her oppfattes p_{i} og q_{i} som uavhengige koordinater. Merk at f(q, q̇, p, t) = p_{i}q_{i} − H(p, q, t) ikke inneholder ṗ_{i}. Variasjonsprinsippet δI = 0, fører dermed som vi har sett til Eulerligningene for f, forutsatt at vi kan sette randverdiuttrykkene ved t = t_{1}, t_{2} lik 0. Dette er ok for koordinatene q_{i}:

[\frac{∂f}{∂q̇_{i}} δq_{i}]_{t_{1}}^{t_{2}} = 0,

fordi δq_{i}(t_{1}) = δq_{i}(t_{2}) = 0. Vi trenger også å ha

[\frac{∂f}{∂ṗ_{i}} δp_{i}]_{t_{1}}^{t_{2}} = 0,

men det er også i orden, ettersom f ikke inneholder ṗ, som medfører at \frac{∂f}{∂ṗ} = 0 jfr. ovenfor. Dermed får vi Eulerligningene for f:

\begin{aligned}\frac{d}{dt} \frac{∂f}{∂q̇_{i}} − \frac{∂f}{∂q_{i}} = 0 & ⇒ & ṗ_{i} + \frac{∂H}{∂q_{i}} = 0 \\ \frac{d}{dt} \underbrace{\frac{∂f}{∂ṗ_{i}}}_{=0} −\frac{∂f}{∂p_{i}} = 0 & ⇒ & q̇ − \frac{∂H}{∂p_{i}} = 0, \end{aligned}

som er Hamiltons ligninger. Ettersom Hamiltons ligninger også er oppfylt for P og Q, må det modifiserte Hamiltons prinsipp også gjelde her:

δ∫_{t_{1}}^{t_{2}}[P_{i}Q̇_{i} − K(P, Q, t)]dt = 0.

Vi sammenligner med (9.2), og ser at

\begin{matrix}p_{i}q̇_{i} − H = P_{i}Q_{i} − K + \frac{dF}{dt} , \\ der δF (t_{1}) = δF (t_{2}) = 0. \end{matrix}  (9.3)

F er altså en vilkårlig funksjon med null variasjon i endepunktene.

Kanoniske transformasjoner er nyttige dersom F inneholder halvparten av sine variable fra det gamle og havparten fra det nye koordinatsettet. F kalles da en genererende funksjon og fungerer som en “bro” mellom (q, p) og (Q, P). I valg av F har vi fire mulige alternativer som vi ser på etter tur.

9.1.1 Alternativ 1: F = F_{1}(q, Q, t)

Dette valget gir:

p_{i}q̇_{i} − H = P_{i}Q_{i} − K + \frac{dF_{1}}{dt}

= P_{i}Q_{i} − K + \frac{∂F_{1}}{∂t} + \frac{∂F_{1}}{∂q_{i}} q̇_{i} + \frac{∂F_{1}}{∂Q_{i}} Q̇_{i}

Da q_{i} og Q_{i} er uavhengige, er denne ligningen bare identisk oppfylt dersom

\begin{aligned}p_{i} & = \frac{∂F_{1}}{∂q_{i}} \\ P_{i} & = −\frac{∂F_{1}}{∂Q_{i}} \\ K & = H + \frac{∂F_{1}}{∂t} . \end{aligned}  (9.4)

9.1.2 Alternativ 2: F = F_{2}(q, P, t) − Q_{i}P_{i}

Med dette valget får vi

p_{i}q̇_{i} − H = P_{i}Q̇_{i} − K + \frac{dF_{2}}{dt} − Q̇_{i}P_{i} − Q_{i}Ṗ_{i}

= −K + \frac{∂F_{2}}{∂t} + \frac{∂F_{2}}{∂q_{i}} q̇_{i} + \frac{∂F_{2}}{∂P_{1}} Ṗ_{i} − Q_{i}Ṗ_{i}.

Med q_{i} og P_{i} uavhengige får vi

\begin{aligned}p_{i} & = \frac{∂F_{2}}{∂q_{i}} \\ Q_{i} & = \frac{∂F_{2}}{∂P_{i}} \\ K & = H + \frac{∂F_{2}}{∂t} . \end{aligned}  (9.5)

F_{1}(q, Q, t) og F_{2}(q, P, t) er relatert via Legendretransformasjonen (med P_{i} = −\frac{∂F_{1}}{∂Q_{i}})

F_{1} = −P_{i}Q_{i} + \underbrace{F_{2}(q, P, t)}_{“integrasjonskonst.”}

Altså: P går ut og Q kommer inn (eller omvendt!).

9.1.3 Alternativ 3: F = q_{i}p_{1} + F_{3}(p, Q, t)

Vi fortsetter med tredje mulige valg F = q_{i}p_{1} + F_{3}(p, Q, t). Av

p_{1}q̇_{i} − H = P_{i}Q̇_{i} − K + \frac{dF_{3}}{dt} ,

fås

p_{i}q̇_{i} − H = P_{i}Q̇_{i} − K + p_{i}q̇_{i} + ṗ_{i}q_{i} + \frac{d}{dt}F_{3}(p, Q, t)
−ṗ_{i}q_{i} − H = P_{i}Q̇_{i} − K + \frac{∂F_{3}}{∂t} + \frac{∂F_{3}}{∂p_{i}} ṗ_{i} + \frac{∂F_{3}}{∂Q_{i}} Q̇_{i}.

Da p_{i} og Q_{i} er uavhengige fås på samme måte som over:

\begin{aligned}q_{i} & = −\frac{∂F_{3}}{∂p_{i}} \\ P_{i} & = −\frac{∂F_{3}}{∂Q_{i}} \\ K & = H + \frac{∂F_{3}}{∂t} . \end{aligned}  (9.6)

9.1.4 Alternativ 4: F = q_{i}p_{1} − Q_{i}P_{i} + F_{4}(p, P, t)

Samme prosedyre som i de foregående tilfellene gir

p_{i}q̇_{i} − H = P_{i}Q̇_{i} − K + p_{i}q̇_{i} + ṗ_{i}q_{i} − P_{i}Q̇_{i} − Ṗ_{i}Q_{i} + \frac{d}{dt}F_{4}(p, P, t)
−ṗ_{i}q_{i} − H = −Q_{i}Ṗ_{i} − K + \frac{∂F_{4}}{∂t} + \frac{∂F_{4}}{∂p_{i}} ṗ_{i} + \frac{∂F_{4}}{∂P_{i}} Ṗ_{i},

og som før, ettersom p_{i} og P_{i} er uavhengige får vi

\begin{aligned}q_{i} & = −\frac{∂F_{4}}{∂p_{i}} \\ Q_{i} & = \frac{∂F_{4}}{∂P_{i}} \\ K & = H + \frac{∂F_{4}}{∂t} . \end{aligned}  (9.7)

Eksempel: Generell transformasjon (Goldstein 2. utg. s. 386.)

Betrakt transformasjonen av type 2 ovenfor gitt ved F_{2} = q_{i}P_{i}. Det gir:

p_{i} = \frac{∂F_{2}}{∂q_{i}} = P_{i};  Q_{i} = \frac{∂F_{i}}{∂P_{i}} = q_{i};  K = H.

Funksjonen F_{2} genererer altså identitetstransformasjonen! Litt mer generelt, la F_{2} = f_{i}(q_{1}, q_{2}, ..., q_{n}, t) · P_{i}. Dermed får vi

Q_{i} = \frac{∂F_{2}}{∂P_{i}} = f_{i}(q, t).

De nye koordinatene avhenger bare av de gamle koordinatene og tiden, ikke av impulser. Transformasjonen er av typen Q_{i} = Q_{i}(q, t), dvs. en punkttransformasjon. Altså: en punkttransformasjon er et spesialtilfelle av en kanonisk transformasjon!

9 KANONISKE TRANSFORMASJONER 107 Eksempel: Harmonisk Oscillator (Goldstein 2. utg. s. 389-390.)

Vi starter med H = p^{2}/2m + kq^{2}/2 i “vanlige” koordinater (én dimensjon). Med ω^{2} = k/m kan vi skrive

H = \frac{1}{2m}(p^{2} + m^{2}ω^{2}q^{2}).

Hvis vi kan finne en transformasjon

p = f(P) cos Q; q = \frac{f(P)}{mω} sin Q,

blir K = H syklisk i den nye koordinaten Q:

K = H = \frac{f^{2}(P)}{2m}(cos^{2} Q + sin^{2} Q) = \frac{f^{2}(P)}{2m}.

Vi må bestemme f(P) slik at transformasjonen blir kanonisk. Med transformasjonen ovenfor:

p = mωp · cot Q, uavhengig av f(P).

Dette tilsvarer F av typen F_{1}(q, Q):

p = −\frac{∂}{∂q} F_{1}(q, Q) ⟹ F_{1} = \frac{1}{2}mωq^{2} cot Q (enkleste løsning).

Den andre halvparten av transformasjonen:

P = −\frac{∂F_{1}}{∂Q} = \frac{mωq^{2}}{2 sin^{2} Q} ⟹ q = \sqrt{\frac{2P}{mω}} sin Q.

Sammenligning med de originale transformasjonsligningene gir:

f(P) = \sqrt{2mωP} , ⟹ H = \frac{f^{2}(P)}{2m} = ωP

uttrykt med de transformerte variable. Da Q er en syklisk koordinat, blir konjugert impuls P en konstant. Da har vi sett at H = E =total energi = konstant, og vi får P = E/ω. Bevegelsesligningen for Q:

Q̇ = \frac{∂H}{∂P} = ω ⟹ Q(t) = ωt + α (α fastlegges ved init.bet.)

Løsningen for q blir:

q = \sqrt{\frac{2P}{mω}} sin Q = \sqrt{\frac{2E}{mω^{2}}} sin ωt + α,

som er vanlig løsning for harmonisk oscillator!

9.2 Poissonklammer

Poissonklammen av to funksjoner u og v med hensyn på kanoniske variable q og p defineres slik:

[u, v]_{q,p} = ∑_{i=1}^{n} (\frac{∂u}{∂q_{i}} \frac{∂v}{∂p_{i}} − \frac{∂u}{∂p_{i}} \frac{∂v}{∂q_{i}} ) .  (9.8)

En ser at

[u, v]_{q,p} = − [v, u]_{q,p} .  (9.9)

Videre er det temmelig åpenbart at de følgende relasjonene må holde:

[u, C]_{q,p} = 0 når C er konst. (9.10)
[q_{i}, q_{j}]_{q,p} = [p_{i}, p_{j}]_{q,p} = 0  (9.11)
[q_{i}, p_{j}]_{q,p} = δ_{ij}.  (9.12)

La F = F (q_{i}, p_{i}, t) være en vilkårlig funksjon uttrykt ved kanoniske variable q_{i}, p_{i}. Da er

\frac{dF}{dt} = \frac{∂F}{∂t} + ∑_{i=1}^{n} (\frac{∂F}{∂q_{i}} q̇_{i} + \frac{∂F}{∂p_{i}} ṗ_{i}) = \frac{∂F}{∂t} + ∑_{i=1}^{n} (\frac{∂F}{∂q_{i}} \frac{∂H}{∂p_{i}} − \frac{∂F}{∂p_{i}} \frac{∂H}{∂q_{i}} ) ,

der vi har benyttet Hamiltons ligninger, ligning 3.1, side 31. Altså:

\frac{dF}{dt} = \frac{∂F}{∂t} + [F, H]_{q,p} .  (9.13)

Hvis F er en bevegelseskonstant, dvs. dF/dt = 0, er altså

\frac{∂F}{∂t} + [F, H]_{q,p} .

Med andre ord, dersom F ikke avhenger eksplisitt av t, er betingelsen for at F er en bevegelseskonstant at

[F, H]_{q,p} = 0.

Flere formelle egenskaper til Poissonklammene:

[u_{1} + u_{2}, v]_{q,p} = [u_{1}, v]_{q,p} + [u_{2}, v]_{q,p}  (9.14)
[u_{1}u_{2}, v]_{q,p} = u_{1} [u_{2}, v]_{q,p} + u_{2} [u_{1}, v]_{p,q}  (9.15)
\frac{∂}{∂t} [u, v]_{p,q} = [\frac{∂u}{∂t}, v]_{p,q} + [u, \frac{∂v}{∂t} ]_{p,q}  (9.16)

9.2.1 Sammenheng med kvantemekanikken I kvantemekanikken er en kommutator mellom to operatorer u og v (vi husker at en funksjon også kan sees på som en operator) definert som

[u, v] = uv − vu.

Den kvantemekaniske sammenhengen

[q_{i}, p_{j}] = iℏδ_{ij}

bør være velkjent. Sammen med relasjonen vi fant, [q_{i}, p_{j}]_{q,p} = δ_{ij}, virker det naturlig å anta at sammenhengen mellom en kvantemekaniske kommutatorer og Poissonklammer er

[u, v] = iℏ [u, v]_{q,p} .  (9.17)

En noe nærmere begrunnelse finner en ved å sammenligne Heisenbergs operatorligning i kvantemekanikken,

\frac{dA}{dt} = \frac{∂A}{∂t} + \frac{1}{iℏ} [A, H] ,

med ligning 9.13. Ligningene får ganske riktig samme form når

\frac{1}{iℏ} [A, H] ↔ [F, H]_{q,p}

9.2.2 Jacobis identitet og Poissons teorem

Vi skal kun nevne (ikke utlede) disse resultatene. Vi dropper fra nå av subskriptet _{q,p}. Jacobis identitet lyder:

[u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0  (9.18)

Denne identiteten brukes noen ganger i kvantemekanikken (den som har tid og lyst, kan selv sette inn definisjonen av Poissonklammene i uttrykket over og se at det stemmer).

Videre, Poissons teorem, som lyder:

Teorem 1. Hvis F og G er to bevegelseskonstanter som ikke avhenger eksplisitt av tiden, vil også Poissonklammen [F, G] være en bevegelseskonstant.

Bevis. Sett w = H inn i Jacobis identitet:

[H, [F, G]] + [G, [H, F]] + [F, [G, H]] = 0.

Ettersom F og G er bevegelseskonstanter og ikke eksplisitt tidsavhengige, er [H, G] = 0 og [H, F] = 0 ved ligning 9.13. Da må følgelig

[H, [F, G]] = 0,

som (igjen ved ligning 9.13) impliserer at [F, G] er en bevegelseskonstant. Da er det bevist.

Eksempel: Poissonklammer mellom impuls og dreieimpuls

Vi vil finne Poissonklammene dannet av de kartesiske komponentene av impulsen p⃗ og dreieimpulsen L⃗ = r⃗ × p⃗ for en partikkel. Betrakt

[p_{x}, L_{x}] = [p_{x}, yp_{z} − zp_{y}] = [p_{x}, y] p_{z} − [p_{x}, z] p_{y},

fordi [p_{i}, p_{k}] = 0. Da [p_{i}, x_{k}] = δ_{ik}, blir [p_{x}, y] = 0, [p_{x}, z] = 0 og altså [p_{x}, L_{x}] = 0. Nøyaktig det samme gjelder naturligvis om vi i det ovenstående hadde erstattet x med y eller z. Vi ser videre på to forskjellige komponenter, for eksempel:

[p_{x}, L_{y}] = [p_{x}, zp_{x} − xp_{z}] = \underbrace{[p_{x}, z]}_{=0} p_{x} − [p_{x}, x] p_{z} = + \underbrace{[x, p_{x}]}_{=1} p_{z} = p_{z}.

Syklisk ombytte av x, y, z over gir oss

[p_{y}, L_{z}] = p_{x}, [p_{z}, L_{x}] = p_{y}.

Samlet:

[p_{i}, L_{j}] = ϵ_{ijk}p_{k}.

Alternativt og mer kompakt kan vi gjøre utregningene ovenfor generelt:

[p_{i}, L_{j}] = [p_{i}, ϵ_{jlm}x_{l}p_{m}] = \underbrace{[p_{i}, x_{l}]}_{=−δ_{il}} ϵ_{jlm}p_{m} = −ϵ_{jim}p_{m} = ϵ_{ijk}p_{k}.

Tilsvarende kan vi finne:

[x_{i}, L_{j}] = [x_{i}, ϵ_{jlm}x_{l}p_{m}] = \underbrace{[x_{i}, p_{m}]}_{=−δ_{im}} ϵ_{jlm}x_{l} = ϵ_{jli}x_{l} = ϵ_{ijk}x_{k}.

Eksempel: Poissonklammer mellom dreieimpulskomponenter

Vi vil finne Poissonklammene mellom dreieimpulskomponenter. Benytter summekonvensjonen og regner direkte ut:

[L_{x}, L_{y}] = \frac{∂L_{x}}{∂x_{i}} \frac{∂L_{y}}{∂p_{i}} − \frac{∂L_{x}}{∂p_{i}} \frac{∂L_{y}}{∂x_{i}} , i ∈ \{1, 2, 3\}.

Her er

\frac{∂L_{x}}{∂x_{i}} = \frac{∂}{∂x_{i}} (yp_{z} − zp_{y}) = δ_{yi}p_{z} − δ_{zi}p_{y}
\frac{∂L_{y}}{∂p_{i}} = \frac{∂}{∂p_{i}} (zp_{x} − xp_{z}) = zδ_{xi} − xδ_{zi}
\frac{∂L_{x}}{∂p_{i}} = \frac{∂}{∂p_{i}} (yp_{z} − zp_{y}) = yδ_{zi} − zδ_{yi}
\frac{∂L_{y}}{∂x_{i}} = \frac{∂}{∂x_{i}} (zp_{x} − xp_{z}) = δ_{zi}p_{x} − δ_{xi}p_{z},

som gir

[L_{x}, L_{y}] = (δ_{yi}p_{z} − δ_{zi}p_{y}) (zδ_{xi} − xδ_{zi}) − (yδ_{zi} − zδ_{yi}) (δ_{zi}p_{x} − δ_{xi}p_{z}) = xp_{y} − yp_{x} = L_{z}.

Generaliseringen blir (vises naturligvis på akkurat samme måte, men vi gjør ikke hele utregningen her):

[L_{i}, L_{j}] = ϵ_{ijk}L_{k}.

Ligningen

[L_{i}, L_{j}] = ϵ_{ijk}L_{k},  (9.19)

er nok et eksempel på sammenhengen med kvantemekanikken, der en svært lignende relasjon (på en faktor iℏ nær) definerer algebraen for dreieimpulsoperatorer.

Vi sier at generatorer G_{i} for en Lie-gruppe generelt oppfyller

[G_{i}, G_{j}] = C_{ijk}G_{k},  (9.20)

der C_{ijk} kalles strukturkoeffisientene. I vårt tilfelle er rotasjonsgruppen er en såkalt SO(3) i 3 dimensjoner, og C_{ijk} = ϵ_{ijk}.

9.2.3 Kanonisk transformasjon av Poissonklammer

Poissonklammer er invariante under en kanonisk transformasjon:

[u, v]_{q,p} = [u, v]_{Q,P} .  (9.21)

Dette kan lett vises for den harmoniske oscillatoren, hvor

q = \sqrt{\frac{2P}{mω}} sin Q,  p = mωq cot Q,  P = E/ω.

9.2.4 Liouvilles teorem

(Jf. Landau-Lifshitz: Mechanics (1976), § 46 ) Faserommet utspennes av p_{i} og q_{i}. Et punkt i faserommet tilsvarer en betemt tilstand for systemet. Når systemet utvikler seg, beskriver punktet en faselinje (phase path).

Teorem 2 (Liouvilles teorem). La dΓ = dq_{1} ⋯ dq_{n} · dp_{1} ⋯ dp_{n} være et volumelement i faserommet. Under en kanonisk transformasjon vil et vilkårlig volum av faserommet være invariant:

∫ dq_{1} ⋯ dq_{n} · dp_{1} ⋯ dp_{n} = ∫ dQ_{1} ⋯ dQ_{n} · dP_{1} ⋯ dP_{n}.  (9.22)

Bevis. Ved transformasjon av variable i et multippelt integral vil generelt

∫ dQ_{1} ⋯ dQ_{n} · dP_{1} ⋯ dP_{n} = ∫ D · dq_{1} ⋯ dq_{n} · dp_{1} ⋯ dp_{n},

hvor

D ≡ \frac{∂(Q_{1}...Q_{n}, P_{1}...P_{n})}{∂(q_{1}...q_{n}, p_{1}...p_{n})}

er Jacobideterminanten. Vi må vise at for enhver kanonisk transformasjon er D = 1. Matematisk kan Jacobideterminanten behandles som en brøk:

D = \frac{\frac{∂(Q_{1}...Q_{n},P_{1}...P_{n})}{∂(q_{1}...q_{n},P_{1}...P_{n})}}{\frac{∂(q_{1}...q_{n},p_{1}...p_{n})}{∂(q_{1}...q_{n},P_{1}...P_{n})}} = \frac{∂(Q_{1}...Q_{n})}{∂(q_{1}...q_{n})} |_{P =konst.} ; \frac{∂(p_{1}...p_{n})}{∂(P_{1}...P_{n})} |_{q=konst.} .

Vi antar nå tilfelle 2 under kanoniske transformasjoner, dvs. F_{2} = F_{2}(q_{i}, P_{i}). Da så vi at p_{i} = \frac{∂F_{2}}{∂q_{i}}, Q_{i} = \frac{∂F_{2}}{∂P_{i}}. ik-elementet i telleren:

(\frac{∂Q_{i}}{∂q_{k}} )_{P} = \frac{∂}{∂q_{k}} \frac{∂F_{2}}{∂P_{i}} ,

og ik-elementet i nevneren:

(\frac{∂p_{i}}{∂P_{k}} )_{q} = \frac{∂}{∂P_{k}} \frac{∂F_{2}}{∂q_{i}} .

Da en determinant er uavhengig av ombyttet linjer ↔ spalter (i ↔ k), vil D = 1 under en kanonisk transformasjon. OK!

Vi har sett at tidsutviklingen til systemet kan beskrives som en kanonisk transformasjon. Ettersom faseromvolumet er bevart ved en kanonisk transformasjon, følger det derav at faseromvolumet er konstant.

9.3 Hamilton-Jacobi-teori

Kanoniske transformasjoner kan brukes til løsning av mekaniske problemer. Det vi forsøker å oppnå ved å bruke kanoniske transformasjoner som verktøy er å finne nye koordinater som er sykliske. Med sykliske koordinater, blir integrasjon av tilhørende bevegelsesligninger (som vi har sett mange ganger) trivielle.

En oppnår automatisk nye variable som er konstante ved å kreve at den transformerte Hamiltonfunksjonen K skal være likk null. De kanoniske ligningene blir da:

Q̇_{i} = \frac{∂K}{∂P_{i}} = 0
Ṗ_{i} = −\frac{∂K}{∂Q_{i}} = 0.

K er relatert til den genererende funksjonen F ved

K = H + \frac{∂F}{∂t} ,

som med K = 0 gir

H(p, q, t) + \frac{∂F}{∂t} = 0.

Det er hensiktsmessig her å velge løsningen F = F_{2} = F_{2}(q, P, t). Vi benytter ligning (9.5), p_{i} = ∂F_{2}/∂q_{i}, og endrer notasjon ved å omdøpe F_{2} → S. Resultatet blir

H(q_{1}, ..., q_{n}, \frac{∂S}{∂q_{1}} , ..., \frac{∂S}{∂q_{n}} , t) + \frac{∂S}{∂t} = 0,  (9.23)

som kalles Hamilton-Jacobi-ligningen.

Hamilton-Jacobi-ligningen er en førsteordens partiell differensialligning i n + 1 variable, nemlig q_{1}, ..., q_{n} og t, for den genererende funksjonen S. S kalles for Hamiltons prinsipale funksjon.

Vi vet at de nye impulsene er konstante (vi har transformert problemet til et faserom, dvs. et kanonisk koordinatsett, der de er nettopp det),

P_{i} = konst.

Vi antar løsning på formen

S = S(q_{1}, ..., q_{n}, α_{1}, ..., α_{n+1}, t),

hvor α_{1}, ..., α_{n+1} matematisk sett er n + 1 uavhengige integrasjonskonstanter. Ettersom S selv ikke opptrer i (9.23), vil S + α, hvor α er en vilkårlig konstant, også være en løsning. Dette må tilsvare én av de n + 1 løsningene, og har ingen fysisk betydning ettersom S kun inngår i (9.23) iform av sine forskjellige deriverte. For vårt formål er det derfor nok å sette

S = S(q_{1}, ..., q_{n}, α_{1}, ..., α_{n}, t).

Vi kan nå velge de n integrasjonskonstantene lik de nye konstante impulsene, P_{i} ≡ α_{i} (om dette ikke er åpenbart, så husk at har vi først funnet ett koordinatsett som gjør at impulsene er konstante, så vil dette systemet også ha konstante impulser, men med andre tallverdier, etter en vilkårlig Poincarétransformasjon (se s. 87), inkludert rotasjon og translasjon av hele faserommet, som gir den nødvendige friheten til å velge impulser som ovenfor)

Vi har altså

p_{i} = \frac{∂}{∂q_{i}} S(q, α, t).  (9.24)

Den andre halvparten av transformasjonsligningene mellom gamle og nye koordinater, (9.5), er

Q_{i} = \frac{∂}{∂α_{i}} S(q, α, t) ≡ β_{i}.  (9.25)

Vi tenker oss nå avslutningsvis at vi løser denne ligningen med hensyn på de opprinnelige koordinatene og finner

q_{i} = q_{i}(α, β, t).  (9.26)

I matematisk forstand gir ligningene en ekvivalens mellom

• de ligningene som vi startet med, nemlig 2n kanoniske bevegelsesligninger (1. ordens differensialligninger), og

• de 1. ordens partielle Hamilton-Jacobi-differensialligningene.

Generell løsningsprosedyre

Vi oppsummerer med den generelle løsningsprosedyren vi har sett generelt på ovenfor:

1. Fra kjent Hamiltonfunksjon H, konstruerer vi Hamilton-Jacobi-ligningen,

H + \frac{∂S}{∂t} = 0,

og finner løsningen S = S(q, α, t) for Hamiltons prinsipale funksjon S.

2. Deretter finner vi

Q_{i} = \frac{∂}{∂α_{i}} S(q, α, t) ≡ β_{i},

og derav

q_{i} = q_{i}(α, β, t).

3. Til sist finner vi de opprinnelige impulsene,

p_{i} = \frac{∂}{∂q_{i}} S(q, α, t).

9 KANONISKE TRANSFORMASJONER 113

En forenkling kan gjøres dersom H ikke eksplisitt inneholder t (konservativt system). Da kan vi skrive:

S(q, α, t) = W (q, α) − αt.

Ligningen

H + \frac{∂S}{∂t} = 0
H + \underbrace{\frac{∂W}{∂t}}_{=0} −α = 0,

som betyr at

H = E = α = total energi.

Altså, for konservativt system:

S(q, α, t) = W (q, α) − Et.  (9.27)

Konklusjon: For et konservativt system gir Hamilton-Jacobi-ligningen (9.23) at

H(q, α) = E,  (9.28)

med

α_{i} = \frac{∂S}{∂q_{i}} = \frac{∂W}{∂q_{i}} .  (9.29)

W kalles Hamiltons karakteristiske funksjon.

Eksempel: Harmonisk oscillator

Hamiltonfunksjon for den harmoniske oscillator:

H = \frac{p^{2}}{2m} + \frac{1}{2}kq^{2}.

Med p = \frac{∂S}{∂q} gir betingelsen H + \frac{∂S}{∂t} = 0 at

\frac{1}{2m} (\frac{∂S}{∂q} )^{2} + \frac{1}{2}kq^{2} + \frac{∂S}{∂t} = 0.

Ettersom H ikke er tidsavhengig, skriver vi: S(q, α, t) = W (q, α) − αt.

\frac{1}{2m} (\frac{∂W}{∂q} )^{2} + \frac{kq^{2}}{2} = α

W = \sqrt{mk} ∫ dq\sqrt{\frac{2α}{k} − q^{2}}
S = \sqrt{mk} ∫ dq\sqrt{\frac{2α}{k} − q^{2}} − αt,

Hamiltons prinsipale funksjon. Av fysisk betydning er kun de partielle deriverte av S. Vi definerer som i teksten over

Q ≡ β′ = \frac{∂S}{∂α} = \sqrt{\frac{m}{k}} ∫ \frac{dq}{\sqrt{\frac{2α}{k} − q^{2}}} − t

t + β′ = +\sqrt{\frac{m}{k}} arcsin (k\sqrt{\frac{k}{2α}})
q = \frac{2α}{k} sin(ωt + β),

hvor β = β′ω, ω ≡ \sqrt{\frac{m}{k}} og α = E. Impulsen:

p = \frac{∂S}{∂q} = \sqrt{mk}\sqrt{\frac{2α}{k} − q^{2}} = \sqrt{mk}\sqrt{\frac{2α}{k} − \frac{2α}{k} sin^{2}(ωt + β)}
p = \sqrt{2mα} cos(ωt + β).

Vi ser at dette stemmer med at p = mq̇.

Register

ϵ_{ijk}, Se Levi-Civita-symbolet 4-vektorer, 85

addisjon av hastigheter, Se Einsteins addisjonsformler antisymmetrisk tensor, 101 arbeid, 3

mot friksjon, 12 Atwoods maskin, 14

bevaringslov, 92 Boyles lov, 41 brachistochroneproblemet, 20–21 bundet bevegelse, 38

CM, Se massesenter Coulombpotensial, 47

D’Alemberts operator, 95 D’Alemberts prinsipp, 8 degenerasjon av svingemoder, 80 dissipasjonsfunksjon, Se Rayleighs d. dobbeltpendel, 7 dreieimpuls, 5

bevaringslov for total d., 5

definisjon, 3

egenfrekvenser

til et system av oscillatorer, 76 Einsteins addisjonsformler, 86 ekvivalensprinsippet, 89 ekvivalent masse, 99 elektromagnetisk felttensor, 101 elektromagnetisk potensial, 11–12 energi, 6–7

bevaring av total mekanisk e., 4, 28 Euler-Lagranges ligninger, Se Eulers ligninger Eulerligningene, 66 Eulers ligninger, 18 Eulers teorem, 27 Eulervinklene, 56–58

føringer, 6 holonome/ikke-holonome, 6 rheonome/skleronome, 7

faserom, 109 faserommet, 29 firerimpuls, 96

bevaring av, 98 firerpotensial, elektromagnetisk, 95 firerstrømtetthet, 92 firervektorer

elektromagnetisk potensial, 95 firerhastighet, 92 firerimpuls, 96 firerstrømtetthet, 92 romrettet, tidrettet, lyslik, 91

foton, 98

fri rotasjon, 66 frihetsgrad, 7

Galileitransformasjon, 83

gaugeinvarians, 94 generalisert kraft, 8 generaliserte potensialer, 11–12 genererende funksjon, 104, 111 gyroskopeffekten, 68

Hamilton-Jacobi-ligningen, 110 Hamilton-Jacobi-teori, 110–113 Hamiltons karakteristiske funksjon, 112 Hamiltons ligninger, 30 Hamiltons prinsipale funksjon, 111 Hamiltons prinsipp, 16

det modifiserte H., 103

for ikke-holonome systemer, 21–23 harmonisk oscillator, 39 hermitesitet, 65 hovedakser, 65 hovedtreghetsmoment, 65 hvilesystem, til partikkel, 89

Ideell gasslov, 41

impuls bevaringslov for total i., 5, 25 definisjon, 3 dreie-, Se dreieimpuls kanonisk i., 24 konjugert i., Se kanonisk impuls

inertialsystem, 3, 83

intensitet, 46

Jacobideterminant, 110 Jacobis identitet, 108 justérinvarians, Se gaugeinvarians

kanoniske transformasjoner, 103–110 kanoniske variable, 29 karakteristisk ligning, 76 kausalitetsprinsippet, 92 Keplerproblemet, 42–45 Keplers 2. lov, 35 Keplers 3. lov, 44–45 kinematikk, 51 kinetisk energi

for roterende, stivt legeme, 65 kjeglesnitt, Se sentralbevegelse kommutator

kvantemekanisk, 107 konfigurasjonsrommet, 29 konservativt system, 9

definisjon, 4 Hamiltons prinsipp, 16

kontinuitetsligningen, 92 kovarians, 93

relativistisk kontinuasjonsligning, 93 kraftmoment, 3

Lagranges funksjon, 9

for partikkel i el.mag.felt, 12 Lagranges ligninger, 10

anvendelser, 12–15 for dissipativt system, 12 fra Hamiltons prinsipp, 16–17 med ikke-holonome føringer, 22

Lagranges metode med ubestemte koeffisienter, 22 Legendretransformasjoner, 29 Levi-Civita-symbolet, 10 Levi-Civita-tensoren, 10 Lie-gruppe, 109 likevekt, 7

stabil, ustabil, 74 lineær impuls, Se impuls lineær transformasjon, 52 lokal bevaringslov, 92 Lorentz-gauge, 94 Lorentzbetingelsen, 94 Lorentzkraft, 11 Lorentztransformasjon, 83

begrenset, 87 homogen, 86 inhomogen, 86 Minkowskis matriserepresentasjon, 85 ortokron/ikke-ortokron, 87 proper og improper, 86

lyshastigheten invarians ved Lorentztransformasjon, 84

massesenter definisjon, 4 to legemer, 33

Maxwells ligninger, 11 metrikk, 87 metrisk tensor, 87 Minkowskikraft, 95 Minkowskirom, 85 minor

til en systemdeterminant, 77 monogeniske systemer, 16 Newtons 2. lov

én partikkel, 3 flere partikler, 4 fra Lagranges ligninger, 13

Newtons 3. lov, 4 norm

til 4-vektor, 85 normalkoordinater, 77

omløpstid, 44 oscillator

éndimensjonal harmonisk o., 73 system av koblede o., 74–80

perihel, 43 Poincarétransformasjon, 86 Poissonklammer, 107 Poissons teorem, 108 presesjon, 66

Q-verdi, 100

Rayleighs dissipasjonsfunksjon, 12 Reduksjon til ekvivalent ettlegemeproblem, 33 reduksjon til ekvivalent ettlegemeproblem, 34 redusert masse, 34 relativ posisjon for to legemer, 33 relativitetsteori

spesiell, 83–102 Riemannrom, 87 Rutherfords spredningstverrsnitt, 49

sentralbevegelse, 33–50 baneparameter, 43 brennpunkt, 43 eksentrisitet, 43 halvakse, 43 kjeglesnitt, 43

sentrale krefter, 33–50 små oscillasjoner, 73–82 snurrebass, symmetrisk, 68–72 spor, til kvadratisk matrise, 87 spredning i sentralt kraftfelt, 46–47

s. i Coulombpotensiale, 47 spredningstverrsnitt

totalt, 49 spredningstverrsnitt, differensielt, 46 støtparameter, 46 sterk lov om aksjon og reaksjon, 5 stive legemer

definisjon, 51 strukturkoeffisienter, 109 summekonvensjon, 10, 78 svak lov om aksjon og reaksjon, 4 svingemoder, 76 syklisk koordinat, 25

terskelenergi, 100 tidsdilatasjon, 89 tidsendring av en vektor, 60 tolegemeproblem, 33–50 transformasjoner

aktiv/passiv betraktningsmåte, 55 infinitesimale, 58–59 kommutative egenskaper, 58, 59 ortogonale, 52–53

transformasjonsmatriser, 55–56 assosiative egenskaper, 55 determinant, 56 kommutative egenskaper, 55 transponert t., 56

treghetstensor, 64

uavhengige koordinater, 51–52 ubundet bevegelse, 37

variasjonsregning, 17–18 vendepunkt, 37 vibrasjoner i toatomig molekyl, 80 virialteoremet, 39–40 virkningsintegral/virkning, 16 virtuell forskyvning, 7 virtuelt arbeid, prinsippet om, 8